第05讲 平行线的性质（3大知识点+10大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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知识点1：两直线平行同位角相等
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
知识点2：两直线平行内错角相等
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
知识点3：两直线平行同旁内角互补
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
考点一：两直线平行同位角相等
例1．如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ．
【变式1-3】如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 ．
【变式1-4】如图，直线，相交于点，于点，交于点．若，求的度数．
考点二：两直线平行内错角相等
例2.如图，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，，，则图中与相等的角（不包括）共有 个．
【变式2-3】如图，在中，平分，，交于点．若，则的度数为 ．
【变式2-4】如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由．
考点三：两直线平行同旁内角互补
例3.如图，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，直线，直线被直线所截，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】如图所示，若，，和互余，则 ， ．
【变式3-3】如图，，，，则的值为 .
【变式3-4】如图，，，平分，，，求的度数．
考点四：根据平行线的性质探究角的关系
例4.已知，如图，，则，，之间的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】如图，若，，则图中与互补的角有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【变式4-2】如图，，则，，，，满足的数量关系是 ．
【变式4-3】如图，若已知，则、、三者之间的数量关系是 ．
【变式4-4】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

(1)如图1，，点在、内部，，则 ；
(2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为 ；
(3)如图3，直接写出之间的数量关系为 ，并证明．
考点五：根据平行线的性质求角的度数
例5.如图所示，直线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】如图，已知，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为
【变式5-3】如图，，平分，若，则 ．
【变式5-4】（1）如图所示，已知是的平分线，，，求的度数．
（2）已知，垂足为O，经过点O．求的度数．
（3）如图，是的平分线，，求，的度数．
考点六：平行线的性质在生活在的应用
例6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ．
【变式6-3】如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．

【变式6-4】如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．

考点七：根据平行线判定与性质求角度
例7.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】如图，，分别为的平分线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °．
【变式7-3】如图，，点E，F为与之间两点，，若，，则的度数为 ．
【变式7-4】如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
考点八：根据平行线判定与性质证明
例8.已知，如图，平分，平分，，且，则下列结论①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式8-1】如图，，则满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-2】将一副三角板按如图放置，则下列结论：如果，则有；；③如果，则有；如果，那么．其中正确的有 （填正确的序号）．
【变式8-3】完成下面的证明：
如图，在四边形中，平分交线段于点，，，求的度数．
解：平分（已知）
（ ）
又（ ）
______（等量代换）
（ ）
（ ）
又（已知）
______．
【变式8-4】如图，已知，，求证：．
阅读下面的解答过程，并填空（理由）．
证明：（已知），
（ ）
又（已知），
（ ）
（ ）
考点九：求平行线间的距离
例9.平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．3cmB．7cmC．2cmD．5cm
【变式9-1】已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是（ ）
A．B．C．2或D．不能确定
【变式9-2】在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ．
【变式9-3】如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ．
【变式9-4】如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．

（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
考点十：利用平行线间距离解决问题
例10.如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A．B．C．D．
【变式10-1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（ ）
A．无法比较B．①与②相等
C．①是②的2倍D．①是②的3倍
【变式10-2】如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．

【变式10-3】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ．
【变式10-4】按下列要求画图并填空．

(1)过点B画直线的垂线，交直线于点D，
(2)过点B画直线的平行线；
(3)直线和直线的距离是线段_______的长；
(4)若平分且，则_______．
1．如图，，，则、、的关系为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，，则 ．
7．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度．
8．如图，，，，则的值为 .
9．已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ．
10．将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是 （填写序号）．
11．已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数．
12．如图，，平分，平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
13．如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
14．如图，已知，，点E在线段延长线上，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
15．已知，试回答下列问题：
(1)如图①，判断是否平行．
(2)如图②，若点在上，且满足，并且平分．求的度数．
(3)在（2）的条件下，若平行移动，如图③，那么与的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握两直线平行同位角相等；
2．掌握两直线平行内错角相等；
3．掌握两直线平行同旁内角互补。