河北省廊坊市2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份河北省廊坊市2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案，共11页。试卷主要包含了 非选择题的作答， 考试结束后，只交答题卡， 已知 ，则， 设函数 ，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在本试卷上，否则无效.
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在非答题区域无效.
4. 考试结束后，只交答题卡.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知 和 都是单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
4. 已知等比数列，则（ ）
A 3B. ±3C. 3D.
5. 已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知，随机变量，若 ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 若，则
C. 函数的图象关于直线对称
D
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11的第 75 百分位数是 7
B. 由两个分类变量 的成对样本数据计算得到 ，依据 的独立性检验 ，可判断 独立
C. 经验回归方程 相对于点的残差为
D. 若一组样本数据 的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为
10. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 在点 处的切线方程为 y=-1
B. 当 时， 有三个零点
C. 若 有两个极值点，则
D. 若 在 上有解，则正实数 的取值范围为
11. 如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 点到平面的距离是到平面的距离的倍
B. 若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 若线段 ，则的最小值是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， _____.
13. 设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，若，且 ，则双曲线的渐近线方程为_____.
14. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.
（1）求函数解析式；
（2）设锐角的内角所对的边分别为，若，且b=4，求面积的最大值.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，
.
（1）求证:平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为? 若存在，求出的值; 若不存在，请说明理由.
17. 已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围.
18. 已知函数 ，其中 为自然对数底数.
（1）当 a=2 时，求 的单调区间；
（2）若方程 有两个不同的实根 .
(i)求 的取值范围；
(ii) 证明: .
19. 因受到中国八卦图和《周易》阴阳理论的启发，德国数学家莱布尼茨提出二进制记数法. 用二进制记数只需数字 0 和 1，对于整数可理解为逢二进一，例如: 自然数 1 在二进制中就表示为 表示为 表示为 表示为 . 发现若 可表示为二进制表达式 ，则 ，其中 或 .
（1）记 ，求证:
（2）记 为整数 的二进制表达式中的 0 的个数，如 ，
(i)求 的值；
(ii) 求 的值.
廊坊市2024—2025学年度第一学期期末考试
高三数学试卷
一、选择题
1. D
2. C
3. B
4. C
5. B
6. A
7. A
8. B
二、选择题
9. BCD
10. ACD
11. ACD
三、填空题
12.
13.
14.
四、解答题
15. （1）依题意，.
所以.
（2）由（1）知，解得，
在锐角中，，即，则，解得，
由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，于是，
所以面积的最大值为.
16.（1）在四棱锥中，由平面平面，平面平面，
，平面，得平面，而平面，则，
又，且，平面，于是平面，而平面，
所以平面平面.
（2）假定在棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
取中点为，连接，由，得，
由平面平面，且平面平面，平面，
得平面，而平面，则，由，得，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

显然，，
则，
，，
设，，则，，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
整理得，而，解得，即，
所以在棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
17.（1）由垂直平分线的性质可得，故，
因此点的轨迹为以为焦点的椭圆,且，故，
故椭圆方程.
（2）不妨设直线方程为，分别延长,与椭圆相交于另一点，，连接,
由于，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形，
联立得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，
故
，
点到直线的距离为，
因此，
令，则，，
故，
由于，故单调递增，故，当且仅当时取等号，
故，
因此，
由于是平行四边形对角线的交点，过点，因此四边形与四边形全等，
故,因此.
18.（1）a=2 时，，则，
当单调递增，当单调递减，
故 的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,+∞
（2）(i)令，则，
由（1）知函数在0,1单调递增，在1,+∞单调递减，
故的极大值为，且当时，gx>0，，
因此的大致图象如下：
要使方程 有两个不同实根 ，则的图象与直线有两个不相同的交点，
故
(ii)不妨设，，
则，
故当单调递增，
又故，则，
又，故，
由于，在1,+∞单调递减，
故，因此，
故，得证.
19.（1）根据题意有
，
，
，
，
；
（2）（ⅰ），
，
（ⅱ），
，故从到中，
有、、、共9个，
有个，由，即共有个
有个，由，即共有个
……，
有个，
.