河北省张家口市2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份河北省张家口市2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案，共12页。试卷主要包含了 若复数满足且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是一个平面，是两条不同的直线，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知是椭圆的两个焦点，点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若复数满足且，则（ ）
A. 5B. C. D. 10
5. 已知单位向量与的夹角为，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
7. 已知函数在区间上单调，且，则函数在区间上（ ）
A. 单调递增B. 单调递减
C. 最大值为D. 最小值为
8 已知函数恰有2个零点，则实数（ ）
A. 有最大值，没有最小值B. 有最小值，没有最大值
C 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 某企业有两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：生产线的产品质量指标值，生产线的产品质量指标值. 已知生产线的产量是生产线的倍，则（ ）
A. 生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值
B. 该企业产品质量指标值均值是
C. 生产线产品质量指标值的标准差低于生产线产品质量指标值的标准差
D. ，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同
10. 已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（ ）
A. 该圆柱的体积为
B. 该圆柱的表面积为
C. 直线与平面所成角为
D. 二面角为
11. 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是_____.
13. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的一个交点的纵坐标为，则的离心率为_____.
14. 若无穷数列满足，则称数列为数列. 若数列为递增数列，则_____；若数列满足，且，则_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 6 位同学中有 3 位女生，3 位男生，现将这 6 位同学随机平均分成 ， 两组，进行比赛.
（1）求组中女生的人数的分布列.
（2）记事件: 女生不都在同一组，事件: 女生甲在组. 判断事件 是否相互独立，并证明你的结论.
16. 已知 为 角 所对的边，且满足 , 为 的中点.
（1）求角 ;
（2）若 ，求 AD 的长.
17. 如图，平行四边形中，，，为中点，将沿翻折至，使得平面平面，是线段上的一个动点.
（1）证明：平面；
（2）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 直线经过抛物线的焦点，且与交于两点（点在轴上方)，点（，且）在轴上，直线，分别与交于点，，记直线与轴交点的横坐标为.
（1）若直线垂直于轴，求直线的方程.
（2）证明：.
19. 若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的上界，最小的 称为函数 的上确界，记作 . 与之对应，若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的下界，最大的 称为函数 的下确界，记作 .
（1）若 有下确界 ，则 一定是 的最小值吗? 请举例说明.
（2）已知函数 ，其中 .
(i) 若 ，证明: 有下确界，没有上确界.
(ii)若函数 有下确界，求实数 的取值范围，并证明 .
张家口市2024～2025高三年级期末教学质量监测数学
2025.1
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. B
2. A
3. D
4. B
5. A
6. B
7. C
8. A
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. ABD
10. AD
11. BC
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.
13.
14. ，
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）组中女生的人数可能为0，1，2，3，故的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
所以组中女生的人数 的分布列为
（2）事件相互独立，证明如下：
事件:女生不都在同一组，概率，
事件: 女生甲在组，概率，
，
，
所以事件相互独立.
16.（1）,
由正弦定理得，
，，
∴，
，，
当时，，，∴，，
∵，.
（2），∴，
又∵，由余弦定理得，∴.
由平面向量加法的平行四边形法则可得，
所以，，，即的长为．
17.（1）由，为的中点，则，则，
又平面平面，平面平面，
平面，故平面，
又平面，故，
由，，则，
，，由，则，则，
又，故与相似，故，
则，
故，又，，、平面，
故平面；
（2）由（1）可得、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、D0,1,0、P0,0,1，
则、、 ，
设，，
则，
点到直线的距离
，
由，故则当点到直线的距离最小时，的面积最小，
此时，则，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则有，
取，则，，即，
由轴平面，故平面的法向量可为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
18.（1）由抛物线的焦点为，
若直线垂直于轴，则，令，则、，
，则，即，
，即，
联立，解得或，即，
联立，解得或，即，
故直线的方程为；
（2）设直线为，联立，则有，
故，，
由，则，，
联立，则，
故，即，同理可得，
则，，
则，
令，即有，
又，则，
则，
故，由，
故，即得证.
19.（1）不一定是的最小值．如的下确界，
但0不是的最小值．
（2）（i）证明：当时，，定义域，
所以．
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
所以函数有下确界，．
假设函数有上确界，设，则，
.
因为，这与是的上确界相矛盾，故假设不成立，函数无上确界．
（ii）：先证明．
令函数，则，
设，则，
当，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以，即．
若，当时，．
假设有下确界，则一定存在负数恒成立．
当时，有，矛盾，
故假设不成立，即时，没有下确界．
若，因为，
设，则，
所以在上单调递增．
当时，，所以．
因为连续函数满足，
所以函数在上有零点．
因为在上单调递增，所以在上只有一个零点，设为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
结合（i），若函数有下确界，则实数取值范围为．
又时，，
由（i）知，故下确界．0
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