江苏省南京市六校联合体2024-2025高二上学期期末数学试卷及答案

这是一份江苏省南京市六校联合体2024-2025高二上学期期末数学试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．直线x＋y－1＝0的倾斜角为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(3π,4)
2．已知数列{an}是等差数列，a2＝5，a4＝7，则a7＝( )
A．9B．10C．11D．12
3．“k＜9”是“方程 eq \f(x2,25－k)＋ eq \f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．曲线y＝2lnx在点(e，2)处的切线方程为( )
A．y＝ex－2B．y＝ eq \f(2,e)x＋1C．y＝ex－e2＋2D．y＝ eq \f(2,e)x
5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1的左焦点，则p的值为( )
A．1B．2C．4D．8
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3＋S6＝2S9，则eq \f(a6,a3)＝( )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)C．1或－eq \f(1,2)D．－1或eq \f(1,2)
7．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋m在R上有三个零点，则m的取值范围是( )
A．(－4，0) B．(－20，0) C．(0，4) D．(－∞，eq \f(9,4))
8．已知A(1，0)，B(－1，2)，若在直线y＝k(x＋2)上存在点P，使得PA2＋PB2＝10，则k的取值范围为( )
A．[－2，eq \r(2)] B．[－2，eq \r(6)]
C．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)] D．[2－eq \r(6)，2＋eq \r(6)]
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．设k为实数，直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，则下列说法正确的是( )
A．当k变化时，l恒过定点(0，2)
B．若k＝1，则l在x轴、y轴上的截距之和为4
C．若k＝1，则l的斜率为1
D．当k＝1时，点(1，1)关于直线l的对称点坐标为(－1，2)
10．已知等差数列{an}满足a7＜0，a7＋a8＞0，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是( )
A．a1＞0 B．{an}是递增数列
C．当n=7时，Sn取得最小值 D．使得Sn＞0的n的最小值为13
11．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)， A(x1，y1)，B (x2，y2)为抛物线上的两点，且y1 y2＝－p2，则下列说法正确的是( )
A．直线AB过抛物线C的焦点
B．以AF为直径的圆与y轴相切
C．当|AF|＝3|BF|时，AB＝3p
D．若点D(p，0)，且|AF|＝|AD|，则∠OAD＋∠OBD＜180°
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．数列{an}的通项公式为an＝n＋2n，则它的前6项和为eq \(▲,________)．
13．在边长为8×5 cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为eq \(▲,________)cm3．
（第13题图）
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为B．连接BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C．若OC⊥AB，则椭圆离心率为eq \(▲,________)．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．记Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＋3＝3an．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(1,lg3an·lg3an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．已知圆M经过A(－1，0)，B(5，8)两点，且圆心M在直线y＝x＋2上．
(1)求圆M的方程；
(2)已知以A为端点的弦的长度为7eq \r(2)，求该弦所在直线方程．
17．已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R．
(1)讨论y＝f(x)的单调性；
(2)当a＞0时，求证：f(x)≤eq \f(1,a)－2．
18．已知O为坐标原点，双曲线C： eq \s\d1(\f(x2,a2))－ eq \s\d1(\f(y2,b2))＝1(a＞0，b＞0)过点P(2，1)，渐近线方程为y＝±eq \f(eq \r(2),2)x．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线l过点(2，0)，与双曲线C交于A，B两点，
①若直线l∥OP，求△PAB的面积；
②在x轴上是否存在定点N，使得eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))·eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))为定值?若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．
19．在数列{an}中，按照下面方式构成{bn}：
b1＝a1，b2＝max{a1，a2}，b3＝max{a1，a2，a3}，…，bn＝max{a1，a2，…，an}(n≥2)，其中max{a1，a2，…，ai}(2≤i≤n)表示数列a1，a2，…，ai中最大的项．
(1)若数列{an}的前4项分别为2，1，4，3，求数列{bn}的前4项．
(2)若{an}满足a1＝－2，且nan＋1＋2(n＋1)an＝0，
①求b3＋b6的值；
②求{bn}的前n项和Sn．
2024-2025学年高二第一学期期末六校联合调研试题
高二数学参考答案
一、单选题
1－8 D B A D C B A D
二、多选题
9－11 AC BC ABD
三、填空题
12.147 13.18 14．eq \f(eq \r(6)－eq \r(2),2)(eq \r(2－eq \r(3))也对)
四、解答题
15．(1)当n＝1时，2S1＋3＝3a1，a1＝3；2分
当n≥2时，2Sn＋3＝3an，2Sn－1＋3＝3an－1，
作差得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，5分
又因为a1≠0，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以an＝3n．7分
(2)bn＝eq \f(1,n(n＋1))9分
＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，11分
所以Tn＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)．13分
(注：第1问不交代a1≠0不扣分．)
16．(1)AB的中垂线方程为3x＋4y－22＝0，2分
由 eq \b\lc\{(\a\ac(3x＋4y－22＝0, y＝x＋2))解得M(2，4)，4分
又半径r＝MA＝5，
所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝25．(或x2＋y2－4x－8y－5＝0)7分
(2)若弦所在直线斜率不存在，则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在．8分
设弦所在直线方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，设圆心到弦的距离为d，
由7 eq \r(,2)＝2 eq \r(,25－d2)所以d＝eq \f(eq \r(2),2)，10分
即 eq \f(|3k－4|,\r(,k2＋1))＝ eq \f(\r(,2),2)，解得k＝1或 eq \f(31,17)．14分
所以弦所在的直线方程为x－y＋1＝0或31x－17y＋31＝015分
17．(1)x＞0，f'(x)＝ eq \f(1,x)－a，1分
当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)为增函数；4分
当a＞0时，x∈(0， eq \f(1,a))时，f'(x)＞0，x∈( eq \f(1,a)，＋∞)时，f'(x)＜0，
所以f(x)在(0， eq \f(1,a))为增函数，f(x)在( eq \f(1,a)，＋∞)为减函数7分
(2)由(1)可知，a＞0时f(x)max＝f( eq \f(1,a))＝ln eq \f(1,a)－19分
只要证明ln eq \f(1,a)－1≤ eq \f(1,a)－211分
设g(x)＝lnx－1－(x－2)＝lnx－x＋1
g'(x)＝ eq \f(1,x)－1，x∈(0，1)时，g'(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，g'(x)＜0，
∴x＞0，g(x)≤g(1)＝0
所以f(x)≤ eq \f(1,a)－215分
(注：其它构造函数的方法酌情给分)
18．(1)因为点P(2，1)在双曲线C： eq \s\d1(\f(x2,a2))－ eq \s\d1(\f(y2,b2))＝1上，得 eq \s\d1(\f(4,a2))－eq \f(1,b2)＝11分
∵渐近线方程为y＝±eq \f(eq \r(2),2)x．
∴ eq \s\d1(\f(b,a))＝ eq \s\d1(\f(\r(,2),2)),2分
解得a2＝2，即双曲线C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝14分
(2)①直线OP斜率为 eq \s\d1(\f(1,2))，l//OP，故直线l的方程为y＝ eq \s\d1(\f(1,2))x－1
代入双曲线C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝1得x2＋4x－8＝0，x1＋x2＝－4，x1x2＝－8，7分
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝2eq \r(15)，
点P到l的距离为d＝ eq \s\d1(\f(|2|,\r(,1＋4)))＝ eq \f(2\r(,5),5)9分
∴△PAB的面积为S＝ eq \s\d1(\f(1,2))|AB|·d＝2eq \r(3)10分
②解法一：设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(2，1)，B(2，－1)，
则eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(2－n)2－1,
当l经过左、右顶点时,eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(－ eq \r(,2)－n)( eq \r(,2)－n)＝n2－2．
令(2－n)2－1＝n2－2,得n＝ eq \f(5,4)． 12分
下面证明当N为( eq \f(5,4),0)时,eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝－ eq \f(7,16)对所有直线l都成立
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l：x＝my＋2代入双曲线C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝1
得(m2－2)y2＋4my＋2＝0,y1＋y2＝ eq \f(－4m,m2－2),y1y2＝ eq \f(2,m2－2)14分
所以eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(x1－ eq \f(5,4))(x2－ eq \f(5,4))＋y1y2＝(my1＋ eq \f(3,4))(my2＋ eq \f(3,4))＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋ eq \f(3,4)m(y1＋y2)＋ eq \f(9,16)＝(m2＋1) eq \f(2,m2－2)＋ eq \f(3,4)m eq \f(－4m,m2－2)＋ eq \f(9,16)＝－ eq \f(7,16)
所以在x轴上存在定点N( eq \f(5,4) ,0),使得eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))为定值－ eq \f(7,16)．17分
解法二：设N(n,0),当直线l斜率不为0时,设l：x＝my＋2,代入双曲线C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝1
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(m2－2)y2＋4my＋2＝0,y1＋y2＝ eq \f(－4m,m2－2),y1y2＝ eq \f(2,m2－2), 12分
所以eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(my1＋2－n)(my2＋2－n)＋y1y2
＝(m2＋1) y1y2＋m (2－n)(y1＋y2)＋(2－n)2
＝(m2＋1) eq \f(2,m2－2)＋m (2－n) eq \f(－4m,m2－2)＋(2－n)2
＝eq \f((4n－6)m2＋2,m2－2)＋(2－n)2，14分
若eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))为常数,则 eq \f((4n－6)m2＋2,m2－2)为常数,设 eq \f((4n－6)m2＋2,m2－2)＝λ,λ为常数,则对任意的实数m恒成立, (4n－6) m2＋2＝λ(m2－2),所以 eq \b\lc\{(\a\ac\c1\hs2\vs2(4n－6＝λ,2＝－2λ)),
所以n＝ eq \f(5,4) ,λ＝－1,此时eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝－ eq \f(7,16)．
当直线l斜率时为0，A( eq \r(,2)，0)，B(－ eq \r(,2)，0)，
所以eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(－ eq \r(,2)－n)( eq \r(,2)－n)＝n2－2＝－ eq \f(7,16) ,
所以在x轴上存在定点N( eq \f(5,4) ,0),使得eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))为定值－ eq \f(7,16)．17分
(注：不讨论斜率不存在或不为0的情况,扣1分)
19． (1){bn}的前4项分别为2，2，4，4．4分
(注：写对一个给1分)
(2)①因为nan＋1＋2(n＋1)an＝0，所以eq \f(an＋1,n＋1)＝－2eq \f(an,n)，
所以eq \f(an,n)＝eq \f(a1,1)·(－2)eq \s\up6(n－1)＝(－2)n，
所以an＝n·(－2)n．6分
易知当n为奇数时,an＜0,当n为偶数时,{an}为递增数列,
所以b3＝a2＝8,b6＝a6＝384．
所以b3＋b6＝a2＋a6＝8＋384＝392．10分
②当n＝1时,b1＝a1＝－2,S1＝－2．
当n≥2时,bn＝eq \b\lc\{(\a\al(an－1，n为奇数,an，n为偶数))＝eq \b\lc\{(\a\al((n－1)·2eq \s\up6(n－1)，n为奇数, n·2n，n为偶数)),12分
(i)当n为奇数时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝a1＋a2＋a2＋a4＋a4＋…＋an－1＋an－1＝－2＋2(a2＋a4＋…＋an－1)＝－2＋2(2·22＋4·24＋…＋(n－1)·2eq \s\up6(n－1))，
令M＝2·22＋4·24＋…＋(n－1)·2eq \s\up6(n－1)，4M＝2·24＋4·26＋…＋(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)，
作差得－3M＝2·22＋2·24＋…＋2·2eq \s\up6(n－1)－(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)＝eq \f(8(1－4eq \s\up6(eq \f(n－1,2))),1－4)－(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)
＝eq \f(2eq \s\up6(n＋2)－8,3)－(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)＝(eq \f(5,3)－n)·2eq \s\up6(n＋1)－eq \f(8,3)，
所以M＝eq \f(3n－5,9)·2eq \s\up6(n＋1)＋eq \f(8,9)，
所以Sn＝－2＋2M＝eq \f(3n－5,9)·2eq \s\up6(n＋2)－eq \f(2,9)，经检验n＝1也满足上式．14分
(ii)当n为偶数时，Sn＝Sn－1＋bn＝eq \f(3n－8,9)·2eq \s\up6(n＋1)－eq \f(2,9)＋n·2n＝eq \f(15n－16,9)·2n－eq \f(2,9)．16分
综上，Sn＝eq \b\lc\{(\a\al(eq \f(3n－5,9)·2eq \s\up6(n＋2)－eq \f(2,9)，n为奇数, eq \f(15n－16,9)·2n－eq \f(2,9)，n为偶数))．17分