高考数学专题06 导数及其应用专项练习（教师版+学生版）

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一、填空题
1．（2024新高考Ⅰ卷·13）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
一、单选题
1．（2022新高考Ⅰ卷·7）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
二、多选题
3．（2022新高考Ⅱ卷·12）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
4．（2023新高考Ⅱ卷·11）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
三、填空题
5．（2022新高考Ⅰ卷·15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
6．（2022新高考Ⅱ卷·14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
一、导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
4、切线问题
（1）在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
（2）过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
二、单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
三、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
四、极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【导数及其应用常用结论】
1、恒成立和有解问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
一、单选题
1．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.
【详解】由，得，则，，
所以曲线在点处的切线方程为.
令，得，令，得，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选：C
2．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程.
【详解】当时，，
当时，，则，
所以，．
则所求的切线方程为，即．
故选：B.
3．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数求解直线l的斜率，即可根据垂直关系得，结合，即可求解.
【详解】易知，设，
联立与可得，故，
由得，所以，，
因为，所以，即，
又，所以.
故选：B.
4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.
【详解】设切点为
因为切线，
所以，
解得（舍去）
代入曲线得，
所以切点为
代入切线方程可得，解得.
故选：D.
5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到，利用基本不等式即可求解.
【详解】由于直线 与曲线 相切，
设切点为，且，所以，
则切点的横坐标 ，则，即 .
又，所以，即，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1.
故选：D
6．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据等式关系构造函数，由其单调性可得，于是结合基本不等式可得的最大值.
【详解】由题，构造函数，则，
显然在上单调递增，所以，即，
所以，当且仅当，时等号成立.
所以的最大值为0.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
7．（2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】C
【分析】首先求函数的导数，利用韦达定理求得，并根据等比数列的性质，代入条件等式，即可求解.
【详解】，
所以是方程的两个实数根，则，，，
根据等比数列的性质，，且
所以，即，得.
故选：C
8．（2024·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.
【详解】，
，，
函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.
故选：D
9．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】A
【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解．
【详解】由得，，
所以，即，
因为，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A．
【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值．
10．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可得，即可得结果.
【详解】因为在内单调递增，
则，即，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构建，
则，
可知在上递减，则，即；
综上所述：.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据构建，利用导数判断其单调性，进而可得.
11．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意令，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项.
【详解】令，则 ，
函数满足，
当时 在上单调递增，
当时在上单调递减，
又由，
即函数的图象关于对称，从而，
对于A，，，，A错误；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，，，D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数的对称性即可.
二、多选题
12．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同直线与相切D．函数有5个零点
【答案】AD
【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确．
【详解】对于A中，由函数，可得，
因为 是函数的一个极值点，可得，
解得，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由，令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；
对于C中，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
由于切点满足直线方程，则，
整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，
所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，所以D正确．
故选：AD．
13．（2024·重庆·三模）若函数既有极小值又有极大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，求得，转化为在上有两个不同的实数根，根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为既有极小值又有极大值，
可得方程在上有两个不同的实数根，
则满足，可得，所以，，，
例如：时，满足上式，此时不成立．
故选：ABC.
14．（2024·山西太原·三模）已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ）
A．的对称中心为B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用，可判断A；令，解得，代入可判断B；利用导数判断出的单调性并求出极值点，结合图像分情况由解出，可得可判断C；利用C选项，若，，得出可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以的对称中心为，故A 正确；
对于B，，令，解得，
当时，
，
因为，所以，可得，
当时，
，
因为，所以，可得，
故B错误；
对于C，令，解得，
当或时，，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数，
所以在时有极大值，在时有极小值，
如下图，当时，若，则
，
可得，即，解得，
所以；
当时，如下图，若，则
，
可得，即，解得，
所以；
综上所述，，故C正确；
对于D，由C选项可知，若，，
所以，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.
15．（2024·河北·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称．B．的图象关于点对称．
C．D．
【答案】BD
【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰.
【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即，
所以的图象关于中心对称，故A错误；
对于B，由为偶函数，所以，
所以，即，
即，则，
所以的图象关于中心对称，故B正确；
对于D，由，，知，
又，，所以，
所以，即，
所以为周期是的函数，即，故D正确.
对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且，
不妨设，所以，周期均为且，
所以，所以C错误；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以，所以周期为，且，所以.
三、填空题
16．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 .
【答案】2
【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求.
【详解】由已知得，解得，
又，
所以得，
所以，
所以.
故答案为：2
17．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
令得，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有极小值，
因为函数在上存在最小值，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
18．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可.
【详解】不妨设，，则，，
所以，当且仅当时取等号，
即，当且仅当时取等号，
所以
，（）
所以当时，取得最小值.
故答案为：
19．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可．
【详解】因为，所以,
所以，
当且仅当即时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：.
20．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
【详解】由，则，
即
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
21．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后解不等式即可.
【详解】因为，，
所以，即，
设，，
令，，即在上单调递增，
令，，即在上单调递减，
则，
所以，
解得.
故答案为：.
22．（2024·福建南平·二模）函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦型函数的单调性可得，利用正弦型函数的极值点可得.
【详解】由在区间上单调递增，
可得，，，
即，，，即，
又在区间上恰有两个极值点，
可得，即.
综上，.
故答案为：.
23．（2024·云南昆明·三模）过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对
【答案】（答案不唯一）
【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对的取值范围进行讨论，得到解的个数，可得对应的切线条数.
【详解】，，
设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，
得切线方程为，
由切线过点，有，
化简得，
设，则，
，解得或；，解得，
在和上单调递减，在上单调递增，
极大值，极小值，
且或时，时，，
的函数图象如图所示，
则当时，无解，；当或时， 有一个解，；
当或时，有两个解， ；当时，有三个解， .
故答案为：（答案不唯一）
24．（2024·河北沧州·三模）若不等式，对于恒成立，则的最大值为 .
【答案】
【分析】令，利用导数求得的单调性和最小值，根据题意转化为，再令，利用导数求得的单调性和最大值，即可求解.
【详解】令函数，则，
由，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
也是最小值为，
由不等式，可得，
所以，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即，即，所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
25．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 .
【答案】
【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值.
【详解】令，则，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，
故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元，将转化为，并利用导数研究的单调性与最值，得到，再利用导数求解的单调性，即可求得的最值.
基本初等函数
导函数
（为常数）