2024-2025学年北京市房山区高一上册12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年北京市房山区高一上册12月月考数学检测试卷（附解析），共20页。试卷主要包含了解答题共5小题，共50分等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，则∁UA＝（ ）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，2）D．（1，2）
2．（3分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2B．ac＞bcC．2a＞2bD．1a＜1b
3．（3分）sin2π3=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
4．（3分）在同一个坐标系中，函数f（x）＝lgax，g（x）＝a﹣x，h（x）＝xa的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．f(x)=xB．f（x）＝﹣x|x|
C．f(x)=1x2+1D．f（x）＝x3
6．（3分）下列各组角中，终边相同的角是（ ）
A．k2π与kπ+π2（k∈Z）
B．kπ±π3与k3π（k∈Z）
C．（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）
D．kπ+π6与kπ±π6（k∈Z）
7．（3分）已知a＝20.1，b＝lg23，c=lg32，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c
8．（3分）已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a＝1”是f（x）为奇函数的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（3分）科赫（Kch）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：
如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若rD=1N，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）
A．lg23B．lg32C．1D．2lg32
10．（3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）
A．3n（sin30°n+tan30°n）
B．6n（sin30°n+tan30°n）
C．3n（sin60°n+tan60°n）
D．6n（sin60°n+tan60°n）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（4分）已知sinα=−223，且csα＜0，则tanα＝ ．
12．（8分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，若角α的终边经过点P(−45，35)，角β的终边与角α的终边关于原点对称，则sinα＝ ，csβ＝ ．
13．（8分）若扇形所在圆半径为2cm，圆心角为1弧度，则该扇形面积 ，周长为 ．
14．（4分）已知函数f（x）＝lg2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
15．（4分）已知函数f（x）＝2x+b，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝x2﹣4x．记函数T（x）=f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)，给出下列四个结论：
①当b＝0时，T（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增；
②当b＝﹣8时，T（x）是偶函数；
③当b＜0时，T（x）有3个零点；
④当b≥8时，对任意x∈R，都有T（x）＞0．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共5小题，共50分。
16．已知集合A={x|x2−x−2＜0}，B={x||x−52|≥32}．
（Ⅰ）求A∪B，A∩∁RB；
（Ⅱ）记关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，若B∪M＝R，求实数m的取值范围．
17．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是T1℃，空气温度是T0℃，则经过时间t分钟后物体温度T℃可以由公式T=T0+(T1−T0)⋅e−0.25t求得．若把温度是90℃的物体放在10℃的空气中冷却到50℃，大概需要多少分钟？（精确到0.01）（参考数据：ln3＝1.099，ln2＝0.693）
18．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3−2x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
19．已知函数f（x）＝ln（1﹣x）+kln（1+x），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：
条件①：f（x）+f（﹣x）＝0
条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）设函数F（x）＝（1﹣x）（1+x）k，判断函数F（x）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明；
（Ⅲ）设函数g（x）＝f（x）+xk+2|k|，指出函数g（x）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．
20．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则ai≠aj，且ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{ai+ai+1+ai+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．
（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；
（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；
（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．
答案与试题解析
一、单项选择题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，则∁UA＝（ ）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，2）D．（1，2）
【分析】直接利用补集的运算求解．
解：∵全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，
∴∁UA＝{1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题．
2．（3分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2B．ac＞bcC．2a＞2bD．1a＜1b
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解．
解：对于A中，例如a＝1，b＝﹣2，此时满足a＞b，但a2＜b2，所以A错误；
对于B中，当c＝0时，ac＝bc，所以B错误；
对于C中，由指数函数y＝2x为单调递增函数，因为a＞b，可得2a＞2b，所以C正确；
对于D中，例如a＝1，b＝﹣2，此时满足a＞b，但1a＞1b，所以D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3．（3分）sin2π3=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
解：sin2π3=sin（π−π3）＝sinπ3=32．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
4．（3分）在同一个坐标系中，函数f（x）＝lgax，g（x）＝a﹣x，h（x）＝xa的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分a＞1，0＜a＜1两种情况对各个函数的图象分析，判断出结果．
解：当a＞1时，A中，g（x）＝a﹣x应该单调递减，而h（x）＝xa在（0，1）应该在y＝x的下方，所以A不正确；
C中，g（x）＝a﹣x应该单调递减，而h（x）＝xa在（0，1）应该在y＝x的下方，f（x）＝lgax的图象应该单调递增，所以C不正确；
B中，h（x）＝xa在（0，1）应该在y＝x的下方，所以B不正确；
D中，f（x）＝lgax的图象应该单调递增，所以D不正确；
当0＜a＜1时，
A中f（x）＝lgax的图象应该单调递减，所以A不正确；
B中，g（x）＝a﹣x应该单调递增，f（x）＝lgax的图象应该单调递减，所以B不正确；
C中，三个图象正确；
D中，g（x）＝a﹣x应该单调递增，h（x）＝xa应该在（0，1）在y＝x的上方，所以D不正确．
综上所述：只有0＜a＜1时C正确．
故选：C．
【点评】本题考查分类讨论的思想及函数的单调性的判断，属于基础题．
5．（3分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．f(x)=xB．f（x）＝﹣x|x|
C．f(x)=1x2+1D．f（x）＝x3
【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断即可．
解：在A中，f（x）=x的定义域为{x|x≥0}，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A错误；
在B中，f（x）＝﹣x|x|的定义域为R，f（﹣x）＝x|x|＝﹣g（x），是奇函数，x＞0时，f（x）＝﹣x2在（0，+∞）上单调递减，故B正确；
在C中，f（x）=1x2+1是偶函数，故C错误；
在D中，f（x）＝x3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（3分）下列各组角中，终边相同的角是（ ）
A．k2π与kπ+π2（k∈Z）
B．kπ±π3与k3π（k∈Z）
C．（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）
D．kπ+π6与kπ±π6（k∈Z）
【分析】把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．
解：由于 kπ2表示π2的整数倍，而 kπ+π2=（2k+1）π2 表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．
由于kπ±π3=（3k±1）π3 表示π3的非3的整数倍，而 kπ3 表示π3 的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B不满足条件．
（2k+1）π 表示π的奇数倍，（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故C满足条件．
k π+π6=(6k+1)π6，表示π6 的(6k+1)6倍，而 kπ±π6=表示π6 的(6k±1)6倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．
7．（3分）已知a＝20.1，b＝lg23，c=lg32，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：由20.1＞20，得a＝20.1＞1，
又lg22＜lg23＜lg22，得12＜b＜1，
由lg32＜lg33，得c＜12，
综上可得a＞b＞c．
故选：D．
【点评】本题考查对数值大小的比较，考查学生基本的数学运算能力，属于基础题．
8．（3分）已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a＝1”是f（x）为奇函数的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据f（x）为奇函数求出a，再结合充分必要条件的应用即可求解结论．
解：∵函数f(x)=12x+1−a2的定义域为R，
∴f（x）为奇函数，可得f（0）＝0，解得a＝1，
当a＝1时，f（x）=12x+1−12，
f（﹣x）+f（x）=12−x+1−12+12x+1−12=2x2x+1−12+12x+1−12=0，
故f（x）为奇函数．
∴“a＝1”是f（x）为奇函数的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，考查充分必要条件的应用，属于基础题．
9．（3分）科赫（Kch）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：
如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若rD=1N，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）
A．lg23B．lg32C．1D．2lg32
【分析】根据题意，归纳可得n级科赫曲线是由把上一级的科赫曲线全体缩小13的4个相似图形构成的，即可得r、N的值，进而计算可得答案．
解：根据题意，n级科赫曲线是由把上一级的科赫曲线全体缩小13的4个相似图形构成的，
即r=13，N＝4，
若rD=1N，即（13）D=14，则D＝lgr（1N）＝lg34＝2lg32．
故选：D．
【点评】本题考查归纳推理的应用，涉及对数的运算，属于基础题．
10．（3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）
A．3n（sin30°n+tan30°n）
B．6n（sin30°n+tan30°n）
C．3n（sin60°n+tan60°n）
D．6n（sin60°n+tan60°n）
【分析】设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．
解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，
可得a＝2sin360°12n=2sin30°n，
b＝2tan360°12n=2tan30°n，
则2π≈6na+6nb2=6n（sin30°n+tan30°n），
即π≈3n（sin30°n+tan30°n），
故选：A．
【点评】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（4分）已知sinα=−223，且csα＜0，则tanα＝ 22 ．
【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解．
解：因为sinα=−223，
所以cs2α＝1﹣sin2α=1−(−223)2=19，
又csα＜0，
所以csα=−13，
所以tanα=sinαcsα=22．
故22．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
12．（8分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，若角α的终边经过点P(−45，35)，角β的终边与角α的终边关于原点对称，则sinα＝ 35 ，csβ＝ 45 ．
【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，以及β＝α+π+2kπ，k∈Z，即可求解．
解：角α的终边经过点P(−45，35)，
则sinα=35(−45)2+(35)2=35，同理可得，csα=−45，
角β的终边与角α的终边关于原点对称，
则β＝α+π+2kπ，k∈Z，
csβ＝cs（α+π+2kπ）＝﹣csα=45．
故35；45．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
13．（8分）若扇形所在圆半径为2cm，圆心角为1弧度，则该扇形面积 2cm2 ，周长为 6cm ．
【分析】根据扇形面积公式以及弧长公式即可求解．
解：由题意可得r＝2，α＝1，
弧长为l＝αr＝2，
故周长为l+2r＝6cm，扇形面积为12αr2=2cm2．
故2cm2；6cm．
【点评】本题主要考查扇形的面积和周长，属于基础题．
14．（4分）已知函数f（x）＝lg2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 （﹣4，4] ．
【分析】根据复合函数的单调性函数x2﹣ax+3a在[2，+∞）是增函数，且x2﹣ax+3a＞0，所以根据二次函数的单调性及最小值便有a2≤24+a＞0，解该不等式组即得a的取值范围．
解：设g（x）＝x2﹣ax+3a，根据对数函数及复合函数的单调性知：
g（x）在[2，+∞）上是增函数，且g（2）＞0；
∴a2≤24+a＞0；
∴﹣4＜a≤4；
∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．
故（﹣4，4]．
【点评】考查复合函数的单调性，二次函数的单调性及最小值，以及对数函数的单调性及定义域．
15．（4分）已知函数f（x）＝2x+b，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝x2﹣4x．记函数T（x）=f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)，给出下列四个结论：
①当b＝0时，T（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增；
②当b＝﹣8时，T（x）是偶函数；
③当b＜0时，T（x）有3个零点；
④当b≥8时，对任意x∈R，都有T（x）＞0．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】根据题意，结合函数f（x），g（x）的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解．
解：因为g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝x2﹣4x，
当x＜0时，可得g（x）＝g（﹣x）＝x2+4x，所以g(x)=x2−4x，x≥0x2+4x，x＜0．
对于①，当b＝0时，f（x）＝2x，令f（x）＝g（x），解得x＝0，x＝﹣2，x＝6，
如图所示，
T(x)=x2+4x，x＜−22x，−2≤x≤2，x2−4x，x＞2
结合图象，可得函数T（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增，所以①正确；
对于②，当b＝﹣8时，可得f（x）＝2x﹣8，
令x2﹣4x＝2x﹣8，即x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，
当x＜2时，可得T（x）＝g（x）；当2≤x≤4时，可得T（x）＝f（x）；
当x＞4时，可得T（x）＝g（x），
即T(x)=x2+4x，x＜0x2−4x，0≤x＜22x−8，2≤x＜4x2−4x，x≥4，其中f（﹣3）＝﹣3，f（3）＝﹣2，所以f（﹣3）≠f（3），
所以当b＝﹣8时，函数T（x）不是偶函数，所以②不正确；
对于③，当b＜0时，令f（x）＝0，即2x+b＝0，解得x=−b2＞0，
当x＜0时，令g（x）＝0，即x2+4x＝0，解得x＝﹣4，
当x≥0时，令g（x）＝0，即x2﹣4x＝0，解得x＝0或x＝4，
若0＜−b2＜4时，函数T（x）有三个零点，分别为x＝﹣4，x＝0和x=−b2；
若−b2=4时，即b＝﹣8时，函数T（x）有三个零点，分别为x＝﹣4，x＝0和x＝4；
若−b2＞4时，即b＜﹣8时，函数T（x）有三个零点，分别为x＝﹣4，x＝0和x＝4；
综上可得，当b＜0时，函数T（x）有三个零点，所以③正确；
对于④，当x＜0时，令g（x）＝0，即x2+4x＝0，解得x＝﹣4，
将点（﹣4，0）代入函数y＝f（x），可得2×（﹣4）+b＝0，解得b＝8，如图所示，
当b≥8时，函数T（x）≥0，所以④不正确．
故①③．
【点评】本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
三、解答题共5小题，共50分。
16．已知集合A={x|x2−x−2＜0}，B={x||x−52|≥32}．
（Ⅰ）求A∪B，A∩∁RB；
（Ⅱ）记关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，若B∪M＝R，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求解出一元二次不等式，绝对值不等式的解集为集合A，B，然后根据并集概念求解出A∪B，再根据交集和补集概念求解出A∩∁RB；
（Ⅱ）根据不等式先求解出M，然后根据B∪M＝R，列出关于m的不等式组，由此能求出实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）∵x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2，
∴A＝{x|﹣1＜x＜2}，
∵|x−52|≥32，解得x≥4或x≤1，∴B＝{x|x≤1或x≥4}，
∴A∪B＝{x|x＜2或x≥4}，
∵∁RB＝{x|1＜x＜4}，
∴A∩∁RB＝{x|1＜x＜2}．
（Ⅱ）∵关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，
由x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0，得m≤x≤m+4，
∴M＝{x|m≤x≤m+4}，
∵B∪M＝R，∴m≤1m+4≥4，解得0≤m≤1，
∴实数m的取值范围是{m|0≤m≤1}．
【点评】本题考查一元二次不等式，绝对值不等式的解法、集合的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是T1℃，空气温度是T0℃，则经过时间t分钟后物体温度T℃可以由公式T=T0+(T1−T0)⋅e−0.25t求得．若把温度是90℃的物体放在10℃的空气中冷却到50℃，大概需要多少分钟？（精确到0.01）（参考数据：ln3＝1.099，ln2＝0.693）
【分析】根据题意代入数据，利用指数和对数的互化求解即可．
解：已知经过时间t分钟后物体温度T℃可以由公式T=T0+(T1−T0)⋅e−0.25t求得，
又物体原来温度是T1℃，空气温度是T0℃，
则T1＝90，T0＝10，T＝50，
代入T=T0+(T1−T0)⋅e−0.25t，
得10+（90﹣10）•e﹣0.25t＝50，
即e−0.25t=12，
所以−0.25t=ln12=−ln2，
解得t＝4ln2≈4×0.693≈2.77，
即把温度是90℃的物体放在10℃的空气中冷却到50℃，大概需要2.77分钟．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了指数与对数的运算，属中档题．
18．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3−2x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；
（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．
解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，
所以f（0）＝0．（2分）
（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，
所以f(−x)=−x3−2−x．
又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．
所以f(x)=x3+2−x．
综上，f(x)=x3−2x，x＞00，x=0x3+2−x，x＜0（6分）
（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．
因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．
即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．
方法一令3t2﹣2t﹣k＝0，则Δ＝4+12k＜0．由Δ＜0，解得k＜−13．
方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）＝3t2﹣2t，t∈R
则g(t)=3t2−2t=3(t2−23t)=3(t−13)2−13≥−13∴k＜−13
故实数k的取值范围为(−∞，−13)． （10分）
【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．
19．已知函数f（x）＝ln（1﹣x）+kln（1+x），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：
条件①：f（x）+f（﹣x）＝0
条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）设函数F（x）＝（1﹣x）（1+x）k，判断函数F（x）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明；
（Ⅲ）设函数g（x）＝f（x）+xk+2|k|，指出函数g（x）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据题意结合奇偶性的定义求解即可；
（Ⅱ）根据单调性的定义证明即可；
（Ⅲ）根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断g（x）在区间（﹣1，0）上的单调性，再结合零点存在性定理判断即可．
解：（Ⅰ）令1−x＞01+x＞0，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
若选①因为f（x）+f（﹣x）＝0，即f（x）为奇函数，
则ln（1﹣x）+kln（1+x）+ln（1+x）+kln（1﹣x）＝0，所以（1+k）ln（1﹣x2）＝0，
因为对任意x∈（﹣1，1）上式均成立，所以1+k＝0，解得k＝﹣1；
若选②因为f（x）﹣f（﹣x）＝0，即f（x）为偶函数，
则ln（1﹣x）+kln（1+x）﹣[ln（1+x）+kln（1﹣x）]＝0，所以(1−k)ln1−x1+x=0，
因为对任意x∈（﹣1，1）上式均成立，可得1﹣k＝0，解得k＝1．
（Ⅱ）若选①则k＝﹣1，可得F(x)=(1−x)(1+x)−1=1−x1+x=21+x−1，
则函数F（x）在区间（0，1）上单调递减，证明如下：
对任意x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
则F(x1)−F(x2)=(21+x1−1)−(21+x2−1)=21+x1−21+x2=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，
因为0＜x1＜x2＜1，则1+x1＞0，1+x2＞0，x2﹣x1＞0，
所以F（x1）﹣F（x2）＞0，即F（x1）＞F（x2），
所以函数F（x）在区间（0，1）上单调递减；
若选②则k＝1，可得F（x）＝（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，
则函数F（x）在区间（0，1）上单调递减，证明如下：
对任意x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
则F(x1)−F(x2)=(1−x12)−(1−x22)=x22−x12=(x1+x2)(x2−x1)，
因为0＜x1＜x2＜1，则x1+x2＞0，x2﹣x1＞0，
所以F（x1）﹣F（x2）＞0，即F（x1）＞F（x2），
所以函数F（x）在区间（0，1）上单调递减．
（Ⅲ）若选①则k＝﹣1，则g(x)=f(x)+1x+2=ln1−x1+x+1x+2，
由（Ⅱ）可知，F(x)=1−x1+x在（0，1）内单调递减，且y＝lnx在定义域内单调递增，
则f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln1−x1+x在（0，1）内单调递减，
又f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣1，0）内单调递减，且y=1x在（﹣1，0）内单调递减，
则g（x）在（﹣1，0）内单调递减，结合g(−12)=ln3＞0，g(−110)=ln119−8＜0，
可知g（x）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点；
若选②则k＝1，则g（x）＝f（x）+x+2＝ln（1﹣x2）+x+2，
由（Ⅱ）可知，F（x）＝1﹣x2在（0，1）内单调递减，且y＝lnx在定义域内单调递增，
则f（x）＝ln（1﹣x）+ln（1+x）＝ln（1﹣x2）在（0，1）内单调递减，
又f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣1，0）内单调递增，
且y＝x+2在（﹣1，0）内单调递增，则g（x）在（﹣1，0）内单调递增，
结合g(−12)=ln34+32＞ln1e+32=12＞0，g(−99100)=ln19910000+101100＜ln1e2+2=0，
可知g（x）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点．
【点评】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则ai≠aj，且ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{ai+ai+1+ai+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．
（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；
（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；
（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．
【分析】（Ⅰ）A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．
（Ⅱ）假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，从而推导出a10＝1，同理推出a1＝1，ai（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，从而m（A）不可能为18．
（Ⅲ）由m（A）＜18，得m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，推导出a10≤4，a7≤4．同理可得：ai≤4（i＝1，4，7，10）． 对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，从而m（A）的最大值为17；假设n（A）≤15．推导出a1＝10．a4＝10，矛盾，假设不成立，从而n（A）≥16．从而n（A）的最小值为16．
解：（Ⅰ）解：∵数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，
对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
i≠j，则ai≠aj，且ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
设集合A＝{ai+ai+1+ai+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，
集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．
∵10+6+1＝17，6+1+2＝9，1+2+7＝10，2+7+8＝17，
7+8+3＝18，8+3+9＝20，3+9+5＝17，9+5+4＝18，
∴A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．
（Ⅱ）证明：假设m（A）≥18，
设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，
则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，
即a10≤1，因为ai≥1（i＝1，2，3，…，10），所以a10＝1，
同理，设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，
可以推出a1＝1，ai（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，
故假设不成立，m（A）不可能为18．
（Ⅲ）解：m（A）的最大值为17，n（A）的最小值为16．
①首先求m（A），由（Ⅱ）知m（A）＜18，而m（A）＝17是可能的．
当m（A）＝17时，
设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，
则S＝55≥3m（A）+a10＝3×17+a10，即a10≤4，
又S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+a7+（a8+a9+a10）＝55，
得55＝S≥3m（A）+a7＝51+a7，即a7≤4．
同理可得：ai≤4（i＝1，4，7，10）．
对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，
此时A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，满足题意．
所以m（A）的最大值为17．
②现证明：n（A）的最小值为16．
先证明n（A）≤15为不可能的，假设n（A）≤15．
设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，
可得55≤3n（A）+a1≤3×15+a1，即a1≥10，元素最大值为10，所以a1＝10．
又（a1+a2+a3）+a4+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55≤3n（A）+a4≤3×15+a4，
同理可以推出a4＝10，矛盾，假设不成立，所以n（A）≥16．
数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10时，
A＝{13，14，15，16}，m（A）＝13，n（A）＝16，A中元素的最大值为16．
所以n（A）的最小值为16．
【点评】本题考查集合的求法，考查集合中元素的最大值和最小值的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
C
B
C
D
C
D
A