2024-2025学年福建省连城县高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省连城县高二上册12月月考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点P在椭圆上，点，，则（ ）
A．2B．C．D．
2．某单位参加年月日在四角井历史文化街区举办的晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．B．C．D．
3．设，则（ ）
A．1B．C．−2D．2
4．已知直线平分圆的周长，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48B．24C．12D．8
6．已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．
7．已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （ ）
A．B．C．D．
8．公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ）
A．B．
C．D．若， 则恒成立
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有7项
B．展开式的各二项式系数的和为64
C．展开式的第6项的系数为30
D．展开式中二项式系数最大的项是第4项
10．设等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．下列说法正确的有（ ）
A．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是
B．设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为
C．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为
D．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若 则n= .
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
14．已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为Sn，则使得成立的的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程．
16．已知正项等差数列满足：，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
17．已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.
(1)求的标准方程；
(2)若为上一点，且，求的面积.
18．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦长MN；
(3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
19．已知双曲线：，，点在C上，为常数，，按照如下公式依次构造点，；过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由椭圆方程为可知，
则，即为椭圆的左、右焦点，
由椭圆定义可得.
故选：C
2．【正确答案】D
【详解】先排三个唱歌节目这有种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有情况.
故选：D.
3．【正确答案】B
【详解】令x=1，则，
故选：B.
4．【正确答案】A
【详解】由，可得圆心为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线过圆的圆心，则，解得．
故选A.
5．【正确答案】B
【分析】利用韦达定理确定，根据等差数列性质有，在应用等差数列前项和公式即可求解.
【详解】因为，是方程的两根，所以，
又因为是等差数列，根据等差数列的性质有：，
设的前6项和为，则.
故选B.
6．【正确答案】B
【详解】直线的斜率为，方程为，当时，，
所以在轴上的截距为.
故选：B
7．【正确答案】A
【分析】由图形可知结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点的轨迹方程.
【详解】，，点关于折痕的对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点， 如图所示：
则有，可知，
所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为.
故选：A
8．【正确答案】D
【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；
变形得，，
，，
所以，又，
所以，，所以，
所以，所以， B正确；

设，，，将坐标代入双曲线方程可得，
，作差后整理可得，即
所以，故C正确；
设直线，则直线，将代入双曲线方程，
可得，则，，将换成即得 ，
则与，的值有关，故D错误，
故选：D.
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A，展开式共有7项，故A正确；
对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B正确；
对于C，展开式的第6项是，其系数为，故C错误；
对于D，展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.
故选：ABD
10．【正确答案】ABC
【详解】方法一：
∵等差数列满足，，
∴由等差数列前项和公式有，解得，
∴，，
对于A，，故选项A正确；
对于B，，当取与最接近的整数即或时，最大，∴，故选项B正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，，故选项D错误.
方法二：
∵等差数列满足，
∴，∴
对于A，，∴，故A正确；
对于B，，，，∴，故选项B正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，故选项D错误.
故选：ABC.
11．【正确答案】BCD
【详解】对于A，设为椭圆的另一焦点，如图，连接，
根据椭圆和直线的对称性，可得四边形为平行四边形，
又因为，所以.
在中，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即，
又因为，所以，
又因为，故，故A错误；
对于B，由，得，，，
则，，，
由余弦定理得，，
则，
则，即，
所以，
设P点的纵坐标为，则，
则，即，故B正确；
对于C，在C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0中，
其中一条渐近线方程为，即，
由题意，焦点到渐近线的距离为，则，即，
又，解得：，
则，所以双曲线的方程为.
记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，横坐标相等，，，
由，即，
得，即，
记的横坐标为，则，于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴.
设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），
在中，，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
所以，即，
所以的范围是，故C正确；
对于D，在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率
，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】4或6
【详解】由，可得或，
解得或.经检验成立
故或.
13．【正确答案】
【分析】
根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出的关系即可作答.
【详解】
由得，又，所以，
双曲线的渐近线方程为，
则点到渐近线的距离，所以在中，，
由余弦定理得，
即，化简得，即，
解得或，因为，所以.
则双曲线的渐近线方程为．
故答案为.
【易错警示】注意题目条件，确定好是过哪个焦点作渐近线的垂线，以及一元二次方程的化简求解.
【关键点拨】根据是双曲线的渐近线的垂线这一条件，求出，利用余弦定理确定之间的数量关系，得到关于的一元二次方程，求出的数量关系即可作答.
14．【正确答案】
【详解】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，
则，，，
解得，，，
所以，，，
由，整理可得，
数列的各项分别为：、、、、、、、、、，
其中前若干项中，数列有项，数列有项，
所以，是数列的第项，
所以，
，
所以，，
令，整理可得，
令，则有，解得，
因为，所以，，可得，
所以，满足不等式的正整数的最小值为，
同理可知，满足不等式的正整数的最大值为，
所以满足不等式的正整数的最小值，即，
设，其中且，
则
，
，
由，整理可得，解得，
所以自然数的最小值为，所以.
故 .
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）联立两直线和，解得，即交点坐标为，
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，
根据题意得：圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为.
综上：直线的方程为或.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设正项等差数列的公差为，则，
由成等比数列，得，即
，又，则，
解得（舍），或，所以.
故数列的通项公式为.
（2）由题意，，
则，且，
所以是首项为2，公比为4的等比数列，
所以的前项和.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设椭圆方程为，
所以，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由于，，根据抛物线的定义有：
，整理得，
所以的面积为.
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为，
则，即，
由，得，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，直线的方程为，
联立，即，
设，，
则，，
所以弦长.
（3）证明：依题意，设直线的方程为，，，
联立，即，
则，
且，，即，
而，，
所以
为定值.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）
由已知有，故的方程为.
（2）方法一：由于过且斜率为的直线为，
与联立，得到方程.
展开即得，
由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.
从而根据韦达定理，另一根，相应的.
所以该直线与的不同于的交点为，
而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.
所以.
这就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
方法二：因为，，，则，
由于，作差得，
，利用合比性质知，
因此是公比为的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，
则.（若在同一条直线上，约定）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
而又有，，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明的取值是与无关的定值，所以.
方法二：由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
这就得到，
以及.
两式相减，即得.
移项得到.
故.
而，.
所以和平行，这就得到，即.
方法三：由于，作差得，
变形得①，
同理可得，
由（2）知是公比为的等比数列，令则②，
同时是公比为的等比数列，则③，
将②③代入①，
即，从而，即.