2024-2025学年福建省三明市高一上册期末数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明市高一上册期末数学质量检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于点，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数若，则实数的取值是（ ）
A．3B．C．3或D．5或
6．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．2023年8月24日，日本政府无视国内外反对呼声，违背应履行的国际义务，单方面强行启动福岛核污染水排海．福岛核污染水中的放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有的8%，则至少经过（参考数据：）（ ）
A．110年B．115年
C．112年D．120年
8．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且，则函数与在内的交点个数为（ ）
A．196B．198C．199D．200
二、多选题（本大题共4小题）
9．若则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为
C．当时，函数的值域为
D．与表示同一个函数
11．函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象关于轴对称B．在上单调递减
C．的值域为D．若，则的取值范围为
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数
B．函数在单调递减，单调递增
C．若，则
D．不等式的解集为
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知幂函数的图象经过点，则 ．
14．函数的定义域为 ．
15．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为50cm，内弧线的长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为14cm，则该扇环的面积为 ．
16．已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知
(1)求的值；
(2)已知，求的值．
18．集合，或，且．
(1)求，的值；
(2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
20．某地区不同身高未成年男性体重平均值如下表：

根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重与身高的关系，现有以下三种模型提供选择：
①，②，③
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个（说明理由）？并利用，，这三组数据求出此函数模型的解析式；
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？
（参考数据：）
21．已知函数是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
22．已知函数，．
(1)若的最小值为，求实数的值；
(2)当时，若，，都有成立，求实数的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义求交集.
【详解】由可得：或，即，
因，故.
故选：C.
2．【正确答案】A
【分析】由对数函数、指数函数单调性即可求解.
【详解】由题意.
故选：A.
3．【正确答案】C
【分析】
根据解析式判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】
由题设，的定义域为且单调递增，
又，，
∴零点所在区间为.
故选：C.
4．【正确答案】D
【分析】由三角函数定义、平方关系以及角的范围即可求解.
【详解】由题意，所以.
故选：D.
5．【正确答案】D
【分析】对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并.
【详解】当时，，解得：；
当时，，解得：；
即实数的取值是5或.
故选：D.
6．【正确答案】C
【分析】先化简函数解析式，依次判断函数的定义域，奇偶性，排除A,B项，对于C,D项，则可以借助于单位圆正弦线或者正弦函数的图象判断函数值的范围即得.
【详解】
由，函数的定义域为，显然关于原点对称，
由可知函数是偶函数，故排除A,B两项；
因当时，，如图，则，即，故排除D项，则C项正确.
故选：C.
7．【正确答案】A
【分析】由对数函数单调性解不等式即可求解.
【详解】设至少经过年（是正整数），“锶90”的剩余量不高于原有的8%，原有“锶90”含量为1，
则，解得,即，
若“锶90”的剩余量不高于原有的8%，则至少经过110年.
故选：A.
8．【正确答案】B
【分析】由题意首先得，进一步，通过数形结合找规律即可得解.
【详解】由题意，
在中，不妨令，得，
所以，经检验满足题意，
所以
所以，
如图所示：
由于与都是奇函数，先考虑时的交点个数，
由图可知时，与的交点分布在这49个区间内，
且每个区间内都有2个交点，
同理时，与的交点分布在这50个区间内，
且每个区间内都有2个交点，
综上所述，函数与在内的交点个数为.
故选：B.
关键点睛：在由求参数时，可先通过令特殊的值代入表达式得到关于的方程组，进一步解之并检验，由此即可顺利得解.
9．【正确答案】CD
【分析】根据不等式性质和作差法逐项分析.
【详解】选项A：因为，所以，故A错误；
选项B：因为，所以，
又因为，所以，故B错误；
选项C：因为，所以，两边同乘，得到，故C对；
选项D：因为，所以，故，D对；
故选：CD
10．【正确答案】ABC
【分析】对于A，掌握带量词的命题的否定规定易得；对于B，当二次项系数含参数时，需要考虑其为0的情况，运用数形结合法即得参数范围；对于C，凑项运用基本不等式求解即得；对于D，同一函数应从相同的定义域和对应法则两方面考虑.
【详解】对于A项，带量词的命题的否定，包括否定量词和否定结论，故A项正确；
对于B项，不等式对一切实数都成立包括两种情况：
①时，不等式为显然恒成立；
②时，恒成立等价于解之得：，
综上可得：数的取值范围为，故B项正确；
对于C项，因，故，当且仅当时，等号成立，
即函数的值域为，故C项正确；
对于D项，两函数定义域都是R，但与的对应法则不同，
故两个函数不是同一函数，故D项错误.
故选：ABC.
11．【正确答案】AD
【分析】利用偶函数的定义可判断A；根据定义域可判断B；根据的范围求出的值域可判断C；根据的单调性可得，且，解不等式求出的范围可判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为，，所以为偶函数，
图象关于轴对称，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，所以在上不具备单调性，
故B错误；
对于C，当时，，
又因为为偶函数，所以，故C错误；
对于D，当时，，所以在单调递减，
又因为为偶函数，若，则，且，
解得，则的取值范围为，故D正确.
故选：AD.
12．【正确答案】ABD
【分析】根据函数解析式先考虑其定义域，奇偶性和周期性，然后研究函数的其他性质只需考虑轴右侧即可，对于C项，是通过举反例说明其不成立的，而对于D项，则必须研究其一个周期上的图像单调性，极值才能利用抽象函数单调性进行求解.
【详解】因可知函数定义域为R，由可知函数为偶函数，
且，故有一个为，故A项正确；
对于B项，当时，，，则函数在上单调递增，
由奇偶性知，函数在上单调递减，故B项正确；
对于C项，因，， ，则，
但是，故C项错误；
对于D项，先求不等式在一个周期内的解集，取区间，
由不等式可得：，即：也即：(*),
由B项知函数在上单调递增，当时，，因，则函数在上单调递减，
当时，，，则函数在上单调递增，
同理函数在和上单调递减，在上单调递增，如图.

结合图象，由（*）可得：，则在整个定义域上有，
解得：，故D项正确.
故选：ABD.
关键点点睛：本题主要考查由三角函数与绝对值函数复合的函数的性质,属于较难题.
解决此类题的关键在于根据函数式特点，从函数的定义域、奇偶性，周期性入手探究，在具有奇偶性，周期性前提下，使单调性判断只需在小范围上考查即可，同时，常常还需要根据性质作出相应的函数图象，数形结合进行推理计算.
13．【正确答案】
【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将代入即可求解.
【详解】因为幂函数的图象经过点，
所以，则，所以，
则，
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】解指数不等式结合分式有意义的条件即可得解.
【详解】由题意，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为.
15．【正确答案】455
【分析】由扇环补形成两个扇形，设出扇形半径和圆心角，通过扇形相关公式列出方程组，求解即得扇环面积.
【详解】
如图，作出包含扇环的两个扇形和,依题意，的长为50cm, 的长为15cm, cm,
不妨设扇形的半径为，则扇形的半径为，设圆心角,则，解得：，
于是扇环的面积为.
故455.
16．【正确答案】
【分析】由题意对分类讨论，并通过数形结合即可得解.
【详解】题分析：令，已知函数，
依题意与图象有2个不同的交点．
当时，与图象有1个交点，不符合题意．
当时，函数与的图象如图所示，
两个函数图象始终有2个交点，所以，符合题意．
当时，函数与的图象如图所示，
因为，，
所以，，解得，
所以，．
综上所述，的取值范围为．
故答案为.
关键点点睛：在讨论当时，通过画图得出，由此即可顺利得解.
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果；
（2）利用即可得到结果.
【详解】（1）由诱导公式得：，
所以．
（2）由（1）得，由，得．
所以．
18．【正确答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由是方程的根得，再结合已知条件解一元二次不等式得.
（2）由充分不必要条件得集合的包含关系，进一步分类讨论列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为，或，
所以是方程的根，
所以．
由可得或，所以或，
又因为，或，
所以，．
（2）因为或，，
所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时满足题意，此时，即，
当时，此时或，则，
综上所述，实数的取值范围是．
19．【正确答案】(1)；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据表格中的数据，不难看出值和周期特征，易得值，代入一组对应值与，易求出，再整体处理，计算得到递增区间；
（2）先根据三角伸缩平移变换并化简得到，将方程有根问题转化为两函数图象在给定区间上的交点个数问题解决.
【详解】（1）由表中数据可得，，
因为，所以，则，
当时，，则，
所以．
由，得，
所以的单调递增区间为．
（2）
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再将图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则
如图，当时，方程恰有两个实数根，等价于函数，的图象与直线有两个交点，
故可得：．
20．【正确答案】(1)选择模型①，理由见解析，
(2)正常
【分析】（1）根据散点图和表中的数据特征确定应选择模型①，代入三组值，解一个三元方程组即得函数模型的解析式；
（2）依题意，根据该男性的身高代入解析式算出对应的体重平均值，结合其实际体重与平均体重的比值进行判断即可.
【详解】（1）选择模型①，因为体重随着身高的增大而增大，并且增长的速度越来越快，属于指数爆炸性增长模型．
把，，这三组数据分别代入，
可得（Ⅰ）消去，可得： （Ⅱ）将两式相除可得：，
将其代入（Ⅰ）式，可得：解得：，故．
（2）由（1）得，
所以，当时，
由可得：，所以，
所以，
因，
故该未成年男性的体重正常．
21．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数定义得恒等式，化简变形即可求解.
（2）首先通过换元法得，进一步，由此即可得解.
【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，
又因为，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，
令，因为，则，所以，
存在，使得成立，
则，所以，
则，又因为，则，
所以，
所以的取值范围为．
22．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意通过换元法，转换为定区间动轴的二次函数最值问题，对对称轴位置分类讨论即可求解.
（2）由题意首先将原问题转换为在恒成立，进一步在恒成立．通过换元法求得即可.
【详解】（1）函数，
令，，所以，，
①当，即时，，解得，
②当，即时，（舍去）．
综上所述，实数的值为．
（2）当时，对，，都有成立，
则．
由（1）可知时，，
所以．
则在恒成立，
即在恒成立，
则在恒成立．
令，，则，
因为在单调递增，所以，
所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
关键点睛：第一问的关键是转换为二次函数最值求参数，第二问的关键是分离参数与换元法有机结合，由此即可顺利得解.0
0
2
0
0
身高
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重
10
12
15
17
20
27
31
45
50
67