2024-2025学年江苏省南京市高二上册1月期末数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二上册1月期末数学检测试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则“”是“直线与直线垂直”的
A. 充要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 若数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在区间上单调递减B. 的一个增区间为
C. 的一个极大值为D. 的最大值为
4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
5. 已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（ ）.
A. B.
C. D.
6. 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 三个数，，的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）
9. 已知圆和圆交于两点,则（ ）
A. 两圆的圆心距
B. 两圆有3条公切线
C. 直线的方程为
D. 圆上的点到直线的最大距离为
10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ）
A.
B.
C. 时，的最小值为 13
D. 最大时，
11. 抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线方程为
B. 存在直线，使得A、B两点关于对称
C. 最小值为6
D. 当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
12. 已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（ ）
A. 的最小值为B. 取最小值时的值为
C. 的最小值为D. 取最小值时的值为
三、填空题：（本题共4小题，共20分．）
13. 在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______．
14. 已知椭圆焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则______．
15. 设函数的导数为，且，则______．
16. 已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分．）
17. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的解集.
18. 在数列中，，
（1）证明：数列是等比数列.
（2）求数列前项和.
19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
20. 已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列的前项和．
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在不相等的实数，，使得，证明：．
2024-2025学年江苏省南京市高二上学期1月期末数学检测试卷
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．）
1. 已知，则“”是“直线与直线垂直”的
A. 充要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【详解】“直线与直线垂直” 的充要条件为 ，因此“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选C.
2. 若数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据递推式写出数列的前几项，可得an是周期为的周期数列，从而可求得答案.
【详解】数列an满足，，
，
，
，
，
，
是周期为的周期数列，
而，
故．
故选：A
3. 已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在区间上单调递减B. 的一个增区间为
C. 的一个极大值为D. 的最大值为
【正确答案】B
【分析】
由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可
【详解】由的部分图像可得：
在上，，所以单调递增，所以A不正确，B正确；
由，导函数在左右两侧的函数值异号，
所以是的一个极小值，所以C不正确，
同理可知是的一个极大值，并不一定是最大值，D不正确.
故选：B.
4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
5. 已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程.
【详解】由题意，，
在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M，
设，则，
∴，即：，
故选：C.
6. 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，从而可得递推公式，然后由递推公式可求得结果.
【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，
一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，
所以有，，
又因为，，所以，，，，
，，，，，．
故选：A．
7. 三个数，，的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序．
【详解】设，则，
当时，则lnx>1，可得，
可知在上单调递减，
因为，，，
且e2>4>3，则，所以．
故选：D．
8. 已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形，从而．在中，由余弦定理即可得到答案.
【详解】由，结合正弦定理得，
因为，所以，．
又，即，
则，所以．
设，则，
又，则，解得，
所以，，
所以是正三角形，从而．
在中，由，
得，得，所以．
故选：C．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）
9. 已知圆和圆交于两点,则（ ）
A. 两圆的圆心距
B. 两圆有3条公切线
C. 直线的方程为
D. 圆上的点到直线的最大距离为
【正确答案】CD
【分析】根据圆的一般方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求解圆心距判断；根据两圆的位置关系,判断；将两圆的方程作差,得公共弦所在直线方程,即可判断C；通过圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径,即可判断.
【详解】圆的圆心,半径；圆的圆心,半径.
对于,两圆的圆心距,错误;
对于,两圆相交于两点,有2条公切线,错误;
对于,将两个圆的方程作差,得即直线的方程为,正确;
对于,圆心到直线的距离圆上的点到直线的最大距离为正确.
故选:CD.
10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ）
A.
B.
C. 时，的最小值为 13
D. 最大时，
【正确答案】AC
【分析】根据，，即可得到，进而即可判断A；根据，，，，从而列出和的方程组，求解即可判断B；结合A选项知，从而得到，再结合，进而即可C；结合选项A和B知，当时，，当时，，进而即可判断D．
【详解】对于A，由，则，又，则，故A正确；
对于B，结合选项A知，，，
又，所以，解得，故B错误；
对于C，结合选项A知，又，所以时，的最小值为13，故C正确；
对于D，结合选项A和B知，当时，，当时，，所以当最大时，，故D错误．
故选：AC．
11. 抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B. 存在直线，使得A、B两点关于对称
C. 的最小值为6
D. 当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
【正确答案】ACD
【分析】根据得到故,A正确，中点在抛物线上，B 错误,，C正确，计算D正确，得到答案.
【详解】,故，,故,A正确；
设,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；
过作垂直于准线于,则，当共线时等号成立，故C正确；
如图所示：为中点，故,故为直径的圆与轴相切，故D正确；
故选：ACD.
12. 已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（ ）
A. 的最小值为B. 取最小值时的值为
C. 的最小值为D. 取最小值时的值为
【正确答案】BC
【分析】将表示为函数 图象上的点到直线 上的点的距离的平方，利用导函数与函数切线的关系即可求解.
【详解】由 ，得： ，
的最小值可转化为函数 图象上的点到
直线 上的点的距离的平方的最小值，
由 得： ，
与直线 平行的直线的斜率为 ，
则令 ，解得： ， 切点坐标为 ，
到直线 的距离 .
即函数 上的点到直线 上的点的距离的最小值为 .
所以的最小值为 ，
过 与 垂直的直线为 ，即 .
由 ，解得： ，即当最小时， .
故选:BC.
三、填空题：（本题共4小题，共20分．）
13. 在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______．
【正确答案】
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
即直线的倾斜角为.
故
14. 已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则______．
【正确答案】##
【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得.
【详解】由题意可知，得，所以，
所以椭圆方程为，
椭圆的右焦点为，当时，，得，
所以.
故
15. 设函数的导数为，且，则______．
【正确答案】
【分析】根据题意，求导可得，令，即可得到，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
令，则，即，
解得，所以，
所以.
故
16. 已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．
【正确答案】 ①. ②. 6
【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性计算得解.
【详解】在数列中，，由得：，而，
于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以数列的通项公式为；
显然，，
则，
由得：，即，令，则，即数列{bn}是递增数列，
由，得，而，因此，，从而得，，
所以满足不等式的的最小值为6.
故；6
四、解答题：（本题共6小题，共70分．）
17. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的解集.
【正确答案】（1）
（2）（0，）
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）求得函数的定义域为，然后在上解不等式即可得解集.
【小问1详解】
依题意，函数的定义域为，
且，
，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
依题意，函数的定义域为，
且，令且，
故不等式的解集为（0，）
18. 在数列中，，
（1）证明：数列是等比数列.
（2）求数列的前项和.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）根据等比数列的通项公式得到，然后分组求和即可.
【小问1详解】
由得，
，
所以数列为首项为1，公比为4 的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，则，
.
19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点．
（1）求圆标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）由已知设出圆心的坐标，再求出的中点，利用求出
的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；
（2）先判断直线斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用
求出直线的斜率即可解决问题.
【小问1详解】
因为圆的圆心在直线上，
所以设圆的圆心为：，
由，
所以的中点，
由题知：，
所以，
即，解得，
所以圆心为，半径
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，因为直线过点，
所以方程为：，代入中解得：
，此时，
满足题意；
②当直线的斜率存在时，
设直线方程为：，
由圆心到直线的距离为：
，
由，
所以，
解得：，
所以直线的方程为：，
综上，直线的方程为：或.
20. 已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列的前项和．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）依题意可求得等差数列 的公差，从而可数列的通项公式；
（2）由已知可得 ，则，两式相减，可得，当时也适合，
故 ，用错位相减法即可
【小问1详解】
设等差数列公差为，
由
得：．
因，所以
所以．
【小问2详解】
①
②
②－① 得：．
所以
当时，，
所以
，
，
上述两式相减得
，
所以
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据周长可求，再根据离心率可求，求出后可求椭圆的方程.
（2）当直线轴时，计算可得的面积的最大值为，直线不垂直轴时，可设，联立直线方程和椭圆方程可求，设与平行且与椭圆相切的直线为：，结合椭圆方程可求的关系，从而求出该直线到直线的距离，从而可求的面积的最大值为.
【详解】（1）由椭圆的定义可知，的周长为，
∴，，又离心率，∴， ，
所以椭圆方程为.
（2）当直线轴时，；
当直线不垂直轴时，设，
，，
∴.
设与平行且与椭圆相切的直线为：，
，
∵，
∴，
∴距的最大距离为，
∴，
综上，面积的最大值为.
方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计算，则可以转化为与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算，此类转化为面积最值计算过程的常规转化.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在不相等的实数，，使得，证明：．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由已知条件求出，分情况讨论导数的正负，即可得函数的单调性；
（2）由（1）可判断出，结合，得出，设，化简得，进而转化为证，然后换元，令，即证成立，构造新函数，利用导数判断其单调性，即可得证．
【小问1详解】
函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由得，所以在上单调递增；
由得，所以在上单调递减；
故时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
证明：，，
由（1）可知，当时，在上是增函数，
故不存在不相等的实数，使得，所以．
由得，即，
不妨设，则，则，
要证，只需证，
即证，只需证，
令，则只需证，即证，
令，则，
所以在上是增函数，所以，
从而，故.
方法点睛：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解为，若，则可以认为函数在区间上“极值点偏移”．极值点偏移问题的一般处理方法有：
（1）（对称构造）构造辅助函数：对于型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式；
（2）（比值代换）通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明；
（3）（差值代换）通过代数变形，将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.