2024-2025学年山东省青岛市高一上册段考数学检测试卷（12月份）附解析

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高一上册段考数学检测试卷（12月份）附解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）下列与角−7π6的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2kπ+π6(k∈Z)B．k•360°−7π6（k∈Z）
C．k•360°﹣210°（k∈Z）D．kπ+5π6(k∈Z)
2．（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．f(x)=lg2x2与g（x）＝2lg2x
B．f(x)=x3与g(x)=4x6
C．f(x)=(x−1)(x+2)x−1与g（t）＝t+2（t≠1）
D．f(x)=x−1⋅x+1与g(x)=x2−1
3．（5分）函数f(x)=x−2+1ln(6−x)−1的定义域为（ ）
A．[2，6）B．{x|2≤x＜6，且x≠5}
C．{x|2≤x＜6﹣e}D．{x|2≤x＜6，且x≠6﹣e}
4．（5分）已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)xm2−2m在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g（x）＝lga(x+m)a（0＜a＜1）的图象过定点（ ）
A．（0，﹣1）B．（1，0）C．（2，1）D．（3，﹣1）
5．（5分）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记AB的长为l1cm，CD的长为l2＝12cm，若l1：l2＝3：1，AD＝8cm，则扇环的面积为（ ）cm2．
A．128B．1283πC．1603πD．192
6．（5分）若a＝lg34，4b＝5，c=0.2−12，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
7．（5分）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，则（ ）
A．函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称
B．函数y＝f（x）在（1，e）上单调递减
C．若f（a）＝f（b）（a≠b），则ab＝a+b
D．函数y＝f（x）﹣ex+1有两个零点
8．（5分）已知函数y＝f（x）﹣e﹣x﹣1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，y＝f（x）﹣ex是定义在[﹣1，1]上的为偶函数，（e为自然对数的底数，e≈2.71828…），则函数g（x）＝[f（x）]2+f（x﹣1）的值域为（ ）
A．[5+1e，e2+2e+3]B．[2e2+2e+2，e2+2e+3]
C．[2e2+2e+2，5+1e]D．[5+1e，+∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
（多选）9．（6分）下列命题中，其中错误的是（ ）
A．已知f(x−1)=x+1，则f（x）＝x2+2
B．若角α为锐角，则角2α为钝角
C．函数y＝ln（ax2+x+a）的值域为R，则实数a的取值范围是[0，1]
D．正数a，b满足a+2b＝2，则（1+lg2b）•lg2a的最大值为1
（多选）10．（6分）对于函数y＝f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称y＝f（x）为“弱原点对称函数”．已知函数g(x)=[lg2(x+1)]2+2a⋅lg12(x+1)−3，1≤x＜72，−7＜x≤−1是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数a的可能取值有（ ）
A．﹣1B．0C．54D．43
（多选）11．（6分）已知连续函数y＝f（x）满足：
①∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1；
②当x＞0时，恒有f（x）＜1；
③f（1）＝﹣2．
则以下说法正确的是（ ）
A．f（0）＝1
B．f（6x）＝6f（x）﹣5
C．函数y＝f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为10
D．不等式f（2x2）≥f（3x）+2f（x）+4的解集为[12，2]
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，
12．（5分）函数y＝9x+3x+1﹣2，x∈[0，1]的值域是 ．
13．（5分）不等式lg13（x2﹣2x）≥lg3127的解集为 ．
14．（5分）已知函数f(x)=5(12)x+1，x＞0|x2+6x+8|，x≤0，g（x）＝x2﹣2mx+6，若y＝g（f（x））有6个零点，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（10分）（1）计算32−2+21+2×(18)23+22lg4(1−2)2+lg49×lg328的值；
（2）已知点（﹣1，0）在函数y＝ax2﹣（b﹣2）x﹣3的图象上，求y≥0的解集．
16．（10分）伴随着天气转凉，进入到秋冬季传染病高发期，学校购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒．已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：y=86−x−1，0≤x≤45−12x，4＜x≤10，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用．
（1）若一次喷洒2个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值．
17．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x+1是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数y＝f（x）的单调性（无需证明），并求函数y＝f（x）的值域；
（3）不等式f（t•4x﹣1）+f（2t﹣4×2x）＜0对∀x∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
18．（15分）定义：若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x，在其定义域内都有唯一的x0使f（x）f（x0）＝1成立，则称该函数y＝f（x）为“伴随函数”．
（1）若函数f（x）＝x2﹣3x+2，判断函数y＝f（x）是否为“伴随函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2025x﹣2在定义域[a，b]上为“伴随函数”，求a+b的值；
（3）已知函数g（x）＝（x﹣a）2（a≤3）在[14，4]上为“伴随函数”，若∃x∈[14，4]，∀m∈（1，+∞），恒有k⋅g(x)≤lgm4+lg2m+x2−2x，求k的取值范围．
答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）下列与角−7π6的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2kπ+π6(k∈Z)B．k•360°−7π6（k∈Z）
C．k•360°﹣210°（k∈Z）D．kπ+5π6(k∈Z)
【分析】根据角度值，弧度制表示角即可．
解：与角−7π6的终边相同的角表达式为：
2kπ−7π6，k∈Z，或k•360°﹣210°（k∈Z）．
故选：C．
【点评】本题考查角的表示，属于基础题．
2．（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．f(x)=lg2x2与g（x）＝2lg2x
B．f(x)=x3与g(x)=4x6
C．f(x)=(x−1)(x+2)x−1与g（t）＝t+2（t≠1）
D．f(x)=x−1⋅x+1与g(x)=x2−1
【分析】根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．
解：对于A，f（x）＝lg2x2＝2lg2|x|的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lg2x的定义域为{x|x＞0}，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数；
对于B，f（x）=x3的定义域为{x|x≥0}，g（x）=4x6的定义域为R，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数；
对于C，f（x）=(x−1)(x+2)x−1=x+2的定义域为{x|x≠1}，g（t）＝t+2的定义域为{t|t≠1}，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于D，f（x）=x−1•x+1=x2−1的定义域为{x|x≥1}，g（x）=x2−1的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，两函数的定义域不同，不是相同函数．
故选：C．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为相同函数的问题，是基础题．
3．（5分）函数f(x)=x−2+1ln(6−x)−1的定义域为（ ）
A．[2，6）B．{x|2≤x＜6，且x≠5}
C．{x|2≤x＜6﹣e}D．{x|2≤x＜6，且x≠6﹣e}
【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．
解：函数f(x)=x−2+1ln(6−x)−1，
则x−2≥06−x＞06−x≠e，解得2≤x＜6，且x≠6﹣e，
故所求定义域为{x|2≤x＜6，且x≠6﹣e}．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
4．（5分）已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)xm2−2m在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g（x）＝lga(x+m)a（0＜a＜1）的图象过定点（ ）
A．（0，﹣1）B．（1，0）C．（2，1）D．（3，﹣1）
【分析】结合幂函数定义及性质先求出m，然后结合对数函数性质即可求解．
解：因为幂函数f(x)=(m2−4m+4)xm2−2m在区间（0，+∞）上单调递减，
所以m2−4m+4=1m2−2m＜0，解得m＝1，
则函数g（x）＝lga(x+m)a=lga（x+1）﹣1过定点（0，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，还考查了对数函数的性质，属于基础题．
5．（5分）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记AB的长为l1cm，CD的长为l2＝12cm，若l1：l2＝3：1，AD＝8cm，则扇环的面积为（ ）cm2．
A．128B．1283πC．1603πD．192
【分析】由题意可求l1＝36cm，设扇环所在圆的圆心为O，OD＝r，∠AOB＝α，利用扇形的弧长公式可得12=rα36=(r+8)α，解得r=4α=3，进而利用扇形的面积公式即可求解．
解：由题意，AB的长为l1cm，CD的长为l2＝12cm，l1：l2＝3：1，AD＝8cm，
则l1＝36cm，
如图，设扇环所在圆的圆心为O，OD＝r，∠AOB＝α，
则12=rα36=(r+8)α，解得r=4α=3，
则扇环的面积S=12×36×(8+4)−12×12×4=192cm2．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
6．（5分）若a＝lg34，4b＝5，c=0.2−12，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
【分析】利用对数函数的性质，结合基本不等式求解．
解：因为1＝lg33＜lg34＜lg39＝2，
所以1＜a＜2，
因为4b＝5，所以b＝lg45，
因为1＝lg44＜lg45＜lg416＝2，
所以1＜b＜2，
因为lg3•lg5≤(lg3+lg52)2=(lg152)2=(lg15)2＜(lg16)2=（lg4）2，
所以(lg4)2lg3⋅lg5＞1，
所以lg34lg45=lg4lg3⋅lg4lg5=(lg4)2lg3⋅lg5＞1，
即a＞b，
又因为c=0．2−12=5＞2，
所以b＜a＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
7．（5分）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，则（ ）
A．函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称
B．函数y＝f（x）在（1，e）上单调递减
C．若f（a）＝f（b）（a≠b），则ab＝a+b
D．函数y＝f（x）﹣ex+1有两个零点
【分析】对于A，求出函数y＝f（x+1）的定义域即可判断；
对于B，将函数写成分段函数，结合对数型函数的单调性即可判断；
对于C，作出图象，由对数函数的性质可知1a−1=b﹣1，化简整理，即可判断；
对于D，分1＜x＜2和x≥2求出函数的零点，即可判断．
解：对于A，因为f（x+1）＝|lnx|，定义域为（0，+∞），不关于原点对称，
所以函数y＝f（x+1）不是偶函数，
所以函数y＝f（x+1）的图象不关于y轴对称，故A错误；
因为f（x）＝|ln（x﹣1）|=−ln(x−1)，1＜x＜2ln(x−1)，x≥2，
所以函数y＝f（x）在（1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；
对于B，由以上分析，可知y＝f（x）在（1，2）上单调递减，故错误；
对于C，作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：
设f（a）＝f（b）＝m（a＜b），
则有﹣ln（a﹣1）＝ln（b﹣1），
所以1a−1=b﹣1，
所以（a﹣1）（b﹣1）＝1，
化简得ab﹣（a+b）+1＝1，
即有ab＝a+b，故C正确；
对于D，令f（x）﹣ex+1＝0，
则有|ln（x﹣1）|＝ex+1，
由于指数函数的增长速度远大于对数函数的增长速度，
所以当x≥2时，函数y＝ln（x﹣1）与函数y＝ex+1没有交点，
当1＜x＜2时，
令h（x）＝f（x）﹣ex+1＝﹣ln（x﹣1）﹣ex+1，x＞1，
易知此时函数y＝h（x）单调递减，
当x趋于1时，h（x）趋于+∞，
又h（2）＝﹣e2＜0，
所以函数y＝h（x）在（1，2）上只有一个零点，
即函数y＝f（x）﹣ex+1有1个零点，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了对数型函数的性质、转化思想及数形结合思想，考查了函数的零点，属于中档题．
8．（5分）已知函数y＝f（x）﹣e﹣x﹣1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，y＝f（x）﹣ex是定义在[﹣1，1]上的为偶函数，（e为自然对数的底数，e≈2.71828…），则函数g（x）＝[f（x）]2+f（x﹣1）的值域为（ ）
A．[5+1e，e2+2e+3]B．[2e2+2e+2，e2+2e+3]
C．[2e2+2e+2，5+1e]D．[5+1e，+∞)
【分析】结合函数奇偶性定义求出f（x），代入求g（x），然后利用换元法，结合二次函数的性质即可求解．
解：因为函数y＝f（x）﹣e﹣x﹣1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，y＝f（x）﹣ex是定义在[﹣1，1]上的为偶函数，
所以f（﹣x）﹣ex﹣1＝﹣f（x）+e﹣x+1，f（﹣x）﹣e﹣x＝f（x）﹣ex，
所以f（x）＝ex+1，
则函数g（x）＝[f（x）]2+f（x﹣1）＝（ex+1）2+ex﹣1+1＝e2x+2ex+ex﹣1+2，
因为﹣1≤x≤1，
所以1e≤ex≤e，
令t＝ex，t∈[1e，e]，h（t）=t2+(2+1e)t+2，
根据二次函数的性质可知，当t＝e时，函数取得最大值e2+2e+3，当t=1e时，函数取得最小值2e2+2e+2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了二次函数性质在值域求解中的应用，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
（多选）9．（6分）下列命题中，其中错误的是（ ）
A．已知f(x−1)=x+1，则f（x）＝x2+2
B．若角α为锐角，则角2α为钝角
C．函数y＝ln（ax2+x+a）的值域为R，则实数a的取值范围是[0，1]
D．正数a，b满足a+2b＝2，则（1+lg2b）•lg2a的最大值为1
【分析】利用换元法求函数解析式检验选项A；结合任意角的概念检验选项B；结合对数函数性质检验选项C；结合基本不等式检验选项D．
解：令t=x−1，t≥0，x＝1+t2，
则f(x−1)=x+1可化为f（t）＝2+t2，则f（x）＝x2+2，x≥0，A错误；
角α为锐角，即0＜α＜π2，则2α∈（0，π）不一定为钝角，例如α=π6，B错误；
y＝ln（ax2+x+a）的值域为R，则ax2+x+a能取所有正数，
若a＝0，t＝x满足题意；
若a≠0，则a＞0Δ=1−4a2≥0，解得0＜a≤12，
故0≤a≤12，C错误；
正数a，b满足a+2b＝2，
则（1+lg2b）•lg2a＝lg22b•lg2a≤(lg22b+lg2a2)2=lg22ab4=lg4a（2﹣a）≤lg41＝0，当且仅当a＝2﹣a且a＝2b，即a＝1，b=12时取等号，D错误．
故选：ABCD．
【点评】本题主要考查了换元法求解函数解析式，任意角的概念，对数函数性质，基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）10．（6分）对于函数y＝f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称y＝f（x）为“弱原点对称函数”．已知函数g(x)=[lg2(x+1)]2+2a⋅lg12(x+1)−3，1≤x＜72，−7＜x≤−1是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数a的可能取值有（ ）
A．﹣1B．0C．54D．43
【分析】由“弱原点对称函数”的定义可知，当﹣7＜x≤﹣1时，f（﹣x）＝﹣f（x）有解，即[lg2（﹣x+1）]2﹣2alg2（﹣x+1）﹣1＝0有解，转化为a=12（t−1t）在t∈[1，3）上有解，其中t＝lg2（﹣x+1）∈[1，3），根据函数y＝t−1t的单调性求解即可．
解：因为当1≤x＜7时，
g（x）＝[lg2（x+1）]2+2alg12(x+1)−3＝[lg2（x+1）]2﹣2alg2（x+1）﹣3，
由“弱原点对称函数”的定义可知，
当﹣7＜x≤﹣1时，f（﹣x）＝﹣f（x）有解，
即[lg2（﹣x+1）]2﹣2alg2（﹣x+1）﹣3＝﹣2有解，
所以[lg2（﹣x+1）]2﹣2alg2（﹣x+1）﹣1＝0有解，
令t＝lg2（﹣x+1），
因为﹣7＜x≤﹣1，
所以t∈[1，3），
所以t2﹣2at﹣1＝0在t∈[1，3）上有解，
即a=t2−12t=12（t−1t）在t∈[1，3）上有解，
因为y＝t−1t在t∈[1，3）上单调递增，
所以y＝t−1t∈[0，83），
所以a=12（t−1t）∈[0，43）．
故选：BC．
【点评】本题考查“弱原点对称函数”、对数函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知连续函数y＝f（x）满足：
①∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1；
②当x＞0时，恒有f（x）＜1；
③f（1）＝﹣2．
则以下说法正确的是（ ）
A．f（0）＝1
B．f（6x）＝6f（x）﹣5
C．函数y＝f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为10
D．不等式f（2x2）≥f（3x）+2f（x）+4的解集为[12，2]
【分析】根据赋值法，函数的单调性，针对各个选项分别求解即可．
解：∵∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，
∴令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0）﹣1，∴f（0）＝1，∴A选项正确；
再令y＝x，可得f（2x）＝2f（x）﹣1，
再令y＝2x，可得f（3x）＝f（x）+f（2x）﹣1＝3f（x）﹣2，
同理可得f（4x）＝4f（x）﹣3，
f（5x）＝5f（x）﹣4，f（6x）＝6f（x）﹣5，∴B选项正确；
设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜1，
∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＜1+f（x1）﹣1＝f（x1），
∴f（x）在R上单调递减，
∴y＝f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为f（﹣4），
对f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1中，
令y＝﹣x，可得f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣1＝1，
∴f（x）+f（﹣x）＝2，又f（4x）＝4f（x）﹣3，
∴f（﹣4）＝2﹣f（4）＝2﹣[4f（1）﹣3]＝2﹣[4×（﹣2）﹣3]＝13，
∴y＝f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为f（﹣4）＝13，∴C选项错误；
∵f（2x2）≥f（3x）+2f（x）+4＝f（3x）+f（2x）+1+4＝f（3x）+f（2x）﹣1+6＝f（5x）+6＝f（5x）﹣1+7，
∵f（2）＝2f（1）﹣1＝﹣5，f（﹣2）+f（2）＝2，∴f（﹣2）＝﹣f（2）+2＝7，
∴f（2x2）≥f（5x）+f（﹣2）﹣1＝f（5x﹣2），又f（x）在R上单调递减，
∴2x2≤5x﹣2，解得x∈[12，2]，∴D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查抽象函数的性质，赋值法的应用，属中档题．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，
12．（5分）函数y＝9x+3x+1﹣2，x∈[0，1]的值域是 [2，16] ．
【分析】函数可化为y=(3x+32)2−174，根据题意，结合二次函数的单调性，求出函数y的最小值与最大值，即可得出函数的值域．
解：函数y＝9x+3x+1﹣2＝（3x）2+3•3x﹣2=(3x+32)2−174，
x∈[0，1]时，3x∈[1，3]，
根据二次函数的单调性知，
x＝0时，y取得最小值为1+3﹣2＝2，
x＝1时，y取得最大值为9+9﹣2＝16，
所以函数y的值域是[2，16]．
故[2，16]．
【点评】本题考查了复合函数的单调性与最值问题，是基础题．
13．（5分）不等式lg13（x2﹣2x）≥lg3127的解集为 {x|1−27≤x＜0或2＜x≤1+27} ．
【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解不等式．
解：由lg13（x2﹣2x）≥lg3127=lg1327，可得0＜x2﹣2x≤27，
解得1−27≤x＜0或2＜x≤1+27．
故{x|1−27≤x＜0或2＜x≤1+27}．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质的应用，属于基础题．
14．（5分）已知函数f(x)=5(12)x+1，x＞0|x2+6x+8|，x≤0，g（x）＝x2﹣2mx+6，若y＝g（f（x））有6个零点，则实数m的取值范围为 （6，72）∪（72，358] ．
【分析】令f（x）＝t，由题意可得t2﹣2mt+6＝0有两不同的实数根t1，t2（t1＜t2），作出函数y＝f（x）的图象，根据分Δ＞0及0＜t1＜1，6≤t2≤8或1≤t1＜t2＜6分别求解即可．
解：因为当x＞0时，f（x）＝5×(12)x+1，
所以此时函数单调递减，且f（x）∈（1，6），
作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：
令f（x）＝t，
因为y＝g（f（x））有6个零点，
所以t2﹣2mt+6＝0有两不同的实数根t1，t2（t1＜t2），
所以Δ＝4m2﹣24＞0，解得m＞6或m＜−6，
令h（t）＝t2﹣2mt+6，
结合函数y＝f（x）的图象可知：
当0＜t1＜1时，6≤t2≤8，
则有ℎ(0)=6＞0ℎ(1)=7−2m＜0ℎ(6)=42−12m≤0ℎ(8)=70−16m≥0，解得72＜m≤358；
当1≤t1＜t2＜6时，
则有1＜m＜6ℎ(1)=7−2m≥0ℎ(6)=42−12m＞0，解得1＜m＜72；
综上，m∈（6，72）∪（72，358]．
故（6，72）∪（72，358]．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．
四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（10分）（1）计算32−2+21+2×(18)23+22lg4(1−2)2+lg49×lg328的值；
（2）已知点（﹣1，0）在函数y＝ax2﹣（b﹣2）x﹣3的图象上，求y≥0的解集．
【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解；
（2）先求出a，b的关系，然后结合二次不等式的求法即可求解．
解：（1）32−2+21+2×(18)23+22lg4(1−2)2+lg49×lg328
=3−222+21+2×2−2+2lg2(3−22)+lg23×12lg323
=2−12+2+3﹣22+32
＝6−2；
（2）因为点（﹣1，0）在函数y＝ax2﹣（b﹣2）x﹣3的图象上，
所以a+b﹣2﹣3＝0，即a+b＝5，
则y＝ax2﹣（3﹣a）x﹣3≥0可化为（ax﹣3）（x+1）≥0，
当a＝0时，解得x≤﹣1，
当a≠0时，a（x−3a）（x+1）≥0，
当a＞0时，解得x≥3a或x≤﹣1，
当a＜0时，可化为（x−3a）（x+1）≤0，
当a＜﹣3时，解得−1≤x≤3a，
当a＝﹣3时，解得x＝﹣1，
当﹣3＜a＜0时，解得3a≤x≤−1，
故a＝0时，解集为{x|x≤﹣1}，
当a＞0时，解集为{x|x≥3a或x≤﹣1}，
当a＜﹣3时，解集为{x|−1≤x≤3a}，
当a＝﹣3时，解集为{﹣1}，
当﹣3＜a＜0时，解集为{x|3a≤x≤−1}．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，还考查了含参二次不等式的求解，属于中档题．
16．（10分）伴随着天气转凉，进入到秋冬季传染病高发期，学校购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒．已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：y=86−x−1，0≤x≤45−12x，4＜x≤10，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用．
（1）若一次喷洒2个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值．
【分析】（1）根据分段函数的解析式，求出一次喷洒2个单位的消毒剂时有效杀灭时间的最大值即可；
（2）求从第一次喷洒起，经过x（6≤x≤10）小时后浓度函数g（x）利用基本不等式求出最值，由此求出a的取值范围，即可得出结论．
解：（1）当0≤x≤4时，y=86−x−1为增函数，
当4＜x≤10时，y=5−12x为减函数，
当一次喷洒2个单位的消毒剂，
设0≤x≤42(86−x−1)≥4或4＜x≤102(5−12x)≥4，
解得：103≤x≤4或4＜x≤6，
即103≤x≤6，
又6−103=83，
即有效杀灭时间最长可达83小时；
（2）设从第一次喷洒起，经过x（6≤x≤10）小时后浓度为：
g（x）＝2（5−12x）+a[86−(x−6)−1]＝10﹣x+8a12−x−a＝12﹣x+8a12−x−a﹣2，
因为6≤x≤10，所以12﹣x＞0，所以12﹣x+8a12−x−a﹣2≥42a−a﹣2，
即g（x）≥42a−a﹣2，当且仅当12﹣x=8a12−x，即x＝12﹣22a时取等号；
又因为0≤a≤4，所以6＜12﹣42≤12﹣42a≤12﹣22＜10，满足6≤x≤10，等号成立；
所以42a−a﹣2≥4，即a﹣42a+6≤0，设2a=t，则a=t22，
不等式化为t2﹣8t+12≤0，解得2≤t≤6，即2≤2a≤6，解得2≤a≤18；
综上，a的取值范围是[2，4]，即a的最小值是2．
【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x+1是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数y＝f（x）的单调性（无需证明），并求函数y＝f（x）的值域；
（3）不等式f（t•4x﹣1）+f（2t﹣4×2x）＜0对∀x∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）结合奇函数性质可求出a；
（2）结合指数函数及反比例函数单调性即可求解函数单调性及值域；
（3）由已知结合奇偶性及单调性进行转化，然后分离参数，结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
解：(1)∵f(x)=a⋅2x−12x+1是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，得a＝1，经检验，当a＝1时，f(x)=a⋅2x−12x+1是定义在R上的奇函数，∴a＝1；
（2）y＝f（x）在R上单调递增，
由（1）知，f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，
∵2x∈（0，+∞），2x+1∈(1，+∞)，22x+1∈(0，2)，1−22x+1∈(−1，1)，
∴y＝f（x）的值域为（﹣1，1）；
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t•4x﹣1）+f（2t﹣4×2x）＜0可化为f（t•4x﹣1）＜f（﹣2t+4×2x），
又f（x）单调递增，
∴t•4x﹣1＜﹣2t+4×2x对∀x∈[﹣1，1]恒成立，
即t＜4×2x+14x+2对∀x∈[﹣1，1]恒成立，令m＝2x，m∈[12，2]，
则t＜4m+1m2+2=4m+1116(4m+1)2−18(4m+1)+3316，
令k＝4m+1，k∈[3，9]，
则t＜1k16+3316k−18恒成立，
又y=k16+3316k−18在[3，33]上单调递减，在[33，9]上单调递增，
故k＝3时，y取得最大值34，
故t＜43，
故t的范围为{t|t＜43}．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
18．（15分）定义：若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x，在其定义域内都有唯一的x0使f（x）f（x0）＝1成立，则称该函数y＝f（x）为“伴随函数”．
（1）若函数f（x）＝x2﹣3x+2，判断函数y＝f（x）是否为“伴随函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2025x﹣2在定义域[a，b]上为“伴随函数”，求a+b的值；
（3）已知函数g（x）＝（x﹣a）2（a≤3）在[14，4]上为“伴随函数”，若∃x∈[14，4]，∀m∈（1，+∞），恒有k⋅g(x)≤lgm4+lg2m+x2−2x，求k的取值范围．
【分析】（1）当x＝1时，f（1）＝0，则不存在x0，使得f（x）f（x0）＝1成立，即可判断；
（2）根据函数f（x）＝2025x﹣2在定义域[a，b]上单调性及“伴随函数”的定义可得f（a）f（b）＝2025a﹣2•2025b﹣2＝1，即可得答案；
（3）首先求得g（x）＝x2，再利用基本不等式求得lgm4+lg2m的最小值为4，将问题转化为k≤[(2x)2−2x+1]max，最后利换元法及二次函数的性质求解即可．
解：（1）y＝f（x）不是伴随函数，理由如下：
令x＝1，f（x）＝f（1）＝0，
所以不存在x0，使得f（x）f（x0）＝1成立，
所以y＝f（x）不是伴随函数；
（2）因为函数f（x）＝2025x﹣2在定义域[a，b]上单调递增且为“伴随函数”，
则存在x1∈[a，b]，使得f（a）f（x1）＝1成立，
若x1∈[a，b），则（a）f（x1）＝1＜f（a）f（b）；
根据题意，存在x2∈[a，b]，使得f（b）f（x2）＝1成立，
若x2∈（a，b]，则（b）f（x2）＝1＞f（a）f（b），矛盾，
故x1＝b，x2＝a，f（a）f（b）＝2025a﹣2•2025b﹣2＝1，
所以a+b﹣4＝0，a+b＝4；
（3）若14≤a≤3，
则当x∈[14，4]时，g（x）min＝g（a）＝0，
此时不存在x0∈[14，4]，使g（a）g（x0）＝1成立，
即此时g（x）不是伴随函数．
所以a＜14，
则g（x）在[14，4]上单调递增，
g(x)min=g(14)=(14−a)2，g(x)max=g(4)=(4−a)2，
由（2）知(14−a)2(4−a)2=1，
又因为a＜14，
所以(14−a)(4−a)=1，得a＝0．
所以g（x）＝x2，x∈[14，4]，
所以lgm4+lg2m=ln4lnm+lnmln2≥2ln4ln2=4，
当且仅当ln4lnm=lnmln2，即m＝2时，等号成立，
因为∃x∈[14，4]，∀m∈（1，+∞）恒有kg(x)≤lgm4+lg2m+x2−2x，
所以k⋅g(x)≤(lgm4+lg2m)min+x2−2x，
即kx2≤4+x2﹣2x，
整理得（k﹣1）x2≤4﹣2x，
所以k≤[(2x)2−2x+1]max，
令t=2x，
因为x∈[14，4]，所以t∈[12，8]，
所以y=t2−t+1=(t−12)2+34在[12，8]上单调递增，
所以当t＝8时，[(t−12)2+34]max=57，
所以k≤57．
所以实数k的取值范围为（﹣∞，57]．
【点评】本题属于新概念题，考查了“伴随函数”的定义及性质，考查了转化思想、基本不等式的应用及二次函数的性质，属于难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
A
D
B
C
B