2024-2025学年四川省成都市高三上册一月考试数学（理）检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册一月考试数学（理）检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若实数λ满足，则（ ）
A．B．C．D．1
4．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分，“较强”记为5分，“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断不正确的是（ ）
A．甲、乙的五项能力指标的平均值相同
B．甲、乙的五项能力指标的方差相同
C．如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养
D．如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养
6．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：)
A．70B．80C．90D．100
11．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
12．已知点A，B，C，D均在半径为6的球面上，是边长为9的等边三角形，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 .
14．将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有 种．（用数字作答）
15．已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ．
16．已知双曲线的左右焦点分别为、，若双曲线上的点，使得，且，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题
17．内角A，B，C的对边分别为，，，已知，， 的面积为．
(1)求的值；
(2)若点是边上一点，且，求的长．
18．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这 10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望.
19．图1是直角梯形，，，，，，在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
(1)求证：平面平面
(2)在棱上存在点，使得锐二面角的大小为，求到平面的距离．
20．已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程及弦的长；
(2)椭圆上有一动点，求的最大值．
21．已知函数．
(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个极值点，，证明：．
22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求．
1．C
【分析】解不等式求得集合，进而求得.
【详解】，
解得，所以，
所以.
故选：C
2．C
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数概念求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
3．A
【分析】
先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
故选：A.
4．C
【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率.
【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，
则，则，，
于是，
.
故选：C.
5．D
【分析】由运动素养测评图可以求得平均值以及方差，通过识图可判断甲乙运动素养的高低.
【详解】由图可知：甲的平均值为，
乙的平均值为，A正确；
甲的方差为，
乙的方差为，
B正确；
从长跑、马术、游泳考虑，甲三方面的分值和为，乙三方面的分值和为，乙小于甲，C正确；
从足球、长跑、篮球考虑，甲三方面的分值和为，乙三方面的分值和为，乙与甲相同，D错误.
故选：D
6．A
【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，
依题意，，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
7．C
【分析】先证明出充分性成立，再证明出必要性成立，得到答案.
【详解】由题意得，
若，则，即，
，即，
由与得，
由与得，
依此类推，可得，故是等差数列，充分性成立，
若是等差数列，不妨设，则，
故，即
因为，所以，
所以，必要性成立，
故“”是“是等差数列”的充要条件.
故选：C
8．B
【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案.
【详解】⊙M：的圆心，半径，
由，得，
由题意可得圆心到直线的距离，
即，解得.
故选：B.
9．A
【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案.
【详解】由题可得，，
所以.
故选：A.
10．B
【分析】根据题意列方程，然后取对数求解.
【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，则，即，
两边同时取对数，化简得，
所以，即.
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.
故选：B.
11．D
【分析】令，结合题设为上任意值且，得到为常函数，进而判断各项的正误.
【详解】令，则，
所以，且为定义域内任意值，故为常函数.
令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以不恒成立，不一定成立，A、B错.
故选：D
12．D
【分析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可．
【详解】如图，是外心，即所在截面圆圆心，是球心，
则，，
因为平面，平面，则，
所以，
当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，
此时棱锥的高为，，
所以棱锥体积为．
故选：D．
13．
【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．
【详解】由圆锥的侧面积公式
故2π
14．
【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.
【详解】由题意，可分为三种情况：
当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，
所以不同的分配方法有种不同的安排方法.
故答案为.
15．
【分析】
先根据求出的范围，再利用函数与方程的关系，将函数零点问题转化成相关的两函数图象的交点问题，借助于三角函数的图象观察即可确定参数范围.
【详解】
因，则，结合余弦函数的图象可知，要使函数在上恰有2个零点，
须使函数与直线在上恰有两个交点，即使，解得.
故答案为.
16．
【分析】作出图形，分析可知，点在双曲线的右支上，设交轴于点，连接，则，推导出，利用双曲线的定义得出，利用同角三角函数的基本关系可得出，然后在中根据可求得该双曲线离心率的值.
【详解】如下图所示：
由，可知，，则点在双曲线的右支上，
设交轴于点，连接，由对称性可知，，
所以，，
所以，，所以，，
所以，，
由，解得,
所以，，
因此，该双曲线的离心率为.
故答案为.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
17．(1)
(2)2
【分析】（1）由三角形面积公式直接计算即可；
（2）利用余弦定理求边，角B，结合正弦的和角公式可得，再利用正弦定理计算即可.
【详解】（1）由三角形的面积公式及已知得：，
解得，；
（2）由（1）可知：，
∵，∴，，
由余弦定理得：，
则，
所以，
由正弦定理，．
18．(1)57.5
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.
（2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．
【详解】（1）因为，
所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．
设该板栗园的板栗质量的中位数为，
则，解得，
所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．
的所有可能取值为．
，
，
．
从而的分布列为
故．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证这两个面垂直，只需证明平面内的一条直线垂直于平面即可，因为是等边三角形，可选中点，连接，在平面内寻找与垂直的直线，从而得到线面垂直.
（2）结合（1）的结论，可以以为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量研究空间的角和距离.
【详解】（1）在图1中，过作，所以，又，所以，所以是等边三角形；
连接，可得：也是等边三角形.
在图2中取中点，连接，，
因为，，所以，所以.
且，，PO平面，平面，所以平面，

平面，所以平面平面.
（2）因为，，两两垂直，可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.

则，，，
所以：，.
设，，所以
所以.
设平面的法向量，
则，可取.
取平面的法向量.
锐二面角的大小为，
所以，即或（舍去）.
所以平面的法向量，.
所以点到平面的距离为.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）首先根据已知条件和平方关系求出椭圆方程，然后联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式运算即可求解.
（2）由题意只需求出动点到直线的最大值即可，此时可利用三角换元结合辅助角公式、三角函数性质即可，最终结合弦的长即可求解.
【详解】（1）由题意，解得，
所以椭圆的方程为，
设，
而过点且斜率为1的直线的方程为，即，
将其与椭圆方程联立得，消去并整理得，
所以，
所以弦的长为
.
（2）
由（1）椭圆的方程及弦的长分别为，，且直线的方程为，
由题意动点在椭圆上，不妨设点，
所以点到直线的距离
，
而，
所以，
所以，
所以点到直线的距离有最大值，
所以，
即的最大值为.
21．(1)；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出；
（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；
（3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．
【详解】（1）由题可知，当时，，
，，切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即；
（2）对函数求导可得，．
当时，．则在上单调递增．
当时，．则，．
令，则，或．，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（3）有两个极值，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
．
要证：．即证：．
不妨设，即证：．
即证：对任意的恒成立．
令，．则．
从而在上单调递减，故．
所以．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题.
22．(1)曲线的极坐标方程，曲线的极坐标方程为
(2)
【分析】（1）利用普通方程和极坐标方程之间的转化公式即可；
（2）利用极坐标方程的几何意义即可.
【详解】（1）因为曲线，，
所以曲线的极坐标方程，
因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）联立，解得，
联立，解得，
所以.
0
1
2
3
4