2024-2025学年四川省成都市高三上册一月考试数学（文）检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册一月考试数学（文）检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ）
A．3B．2C．D．4
4．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．C．5D．10
5．已知向量，，若实数λ满足，则（ ）
A．B．C．D．1
6．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分，“较强”记为5分，“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断不正确的是（ ）
A．甲、乙的五项能力指标的平均值相同
B．甲、乙的五项能力指标的方差相同
C．如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养
D．如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养
8．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：)
A．70B．80C．90D．100
11．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
12．已知点A，B，C，D均在半径为6的球面上，是边长为9的等边三角形，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 .
14．某艺术展览会的工作人员要将A，B，C三幅作品排成一排，则A，B这两幅作品排在一起的概率为 ．
15．已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ．
16．已知双曲线的左右焦点分别为、，若双曲线上的点，使得，且，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题
17．某校名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是: ，，，，.
(1).求图中的值;
(2).根据频率分布直方图，估计这名学生语文成绩的平均分;
(3).若这名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.
18．内角A，B，C的对边分别为，，，已知，， 的面积为．
(1)求的值；
(2)若点是边上一点，且，求的长．
19．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.

（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.
20．已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程及弦的长；
(2)椭圆上有一动点，求的最大值．
21．已知函数．
(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个极值点，，证明：．
22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求．
分数段
1．C
【分析】解不等式求得集合，进而求得.
【详解】，
解得，所以，
所以.
故选：C
2．C
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数概念求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
3．B
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.
【详解】由题意得，，解得.
故选：B
4．B
【分析】判断出圆心在直线上即可求解.
【详解】圆即，故圆心为，
显然圆心在直线上，
故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.
故选:B．
5．A
【分析】
先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
故选：A.
6．C
【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率.
【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，
则，则，，
于是，
.
故选：C.
7．D
【分析】由运动素养测评图可以求得平均值以及方差，通过识图可判断甲乙运动素养的高低.
【详解】由图可知：甲的平均值为，
乙的平均值为，A正确；
甲的方差为，
乙的方差为，
B正确；
从长跑、马术、游泳考虑，甲三方面的分值和为，乙三方面的分值和为，乙小于甲，C正确；
从足球、长跑、篮球考虑，甲三方面的分值和为，乙三方面的分值和为，乙与甲相同，D错误.
故选：D
8．A
【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，
依题意，，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
9．A
【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案.
【详解】由题可得，，
所以.
故选：A.
10．B
【分析】根据题意列方程，然后取对数求解.
【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，则，即，
两边同时取对数，化简得，
所以，即.
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.
故选：B.
11．D
【分析】令，结合题设为上任意值且，得到为常函数，进而判断各项的正误.
【详解】令，则，
所以，且为定义域内任意值，故为常函数.
令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以不恒成立，不一定成立，A、B错.
故选：D
12．D
【分析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可．
【详解】如图，是外心，即所在截面圆圆心，是球心，
则，，
因为平面，平面，则，
所以，
当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，
此时棱锥的高为，，
所以棱锥体积为．
故选：D．
13．
【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．
【详解】由圆锥的侧面积公式
故2π
14．
【分析】首先可列举出三幅作品的所有可能排列情况，再选出A，B这两幅作品排在一起的情况，即可得出其概率.
【详解】根据题意A，B，C三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB共6种情况，
A，B这两幅作品排在一起的情况有ABC，BAC，CBA，CAB，共4种，
则A，B这两幅作品排在一起的概率.
故
15．
【分析】
先根据求出的范围，再利用函数与方程的关系，将函数零点问题转化成相关的两函数图象的交点问题，借助于三角函数的图象观察即可确定参数范围.
【详解】
因，则，结合余弦函数的图象可知，要使函数在上恰有2个零点，
须使函数与直线在上恰有两个交点，即使，解得.
故答案为.
16．
【分析】作出图形，分析可知，点在双曲线的右支上，设交轴于点，连接，则，推导出，利用双曲线的定义得出，利用同角三角函数的基本关系可得出，然后在中根据可求得该双曲线离心率的值.
【详解】如下图所示：
由，可知，，则点在双曲线的右支上，
设交轴于点，连接，由对称性可知，，
所以，，
所以，，所以，，
所以，，
由，解得,
所以，，
因此，该双曲线的离心率为.
故答案为.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
17．(1)
(2)分
(3)
【分析】（1）根据频率之和为1求解；
（2）用每组中间的数据作为该组的平均数估计样本平均数；
（3）先求出语文成绩每组的频数，再求出数学成绩在之间的频数，即可求出数学在之外的人数.
【详解】（1）依题意得：，解得.
（2）用每组中间的数据作为该组的平均数估计这100名学生语文成绩的平均分为：
（分）
（3）数学成绩在的人数为：，
数学成绩在的人数为：，
数学成绩在的人数为：，
数学成绩在的人数为：
数学成绩在的人数为.
18．(1)
(2)2
【分析】（1）由三角形面积公式直接计算即可；
（2）利用余弦定理求边，角B，结合正弦的和角公式可得，再利用正弦定理计算即可.
【详解】（1）由三角形的面积公式及已知得：，
解得，；
（2）由（1）可知：，
∵，∴，，
由余弦定理得：，
则，
所以，
由正弦定理，．
19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果
试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF． 3分
因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD． 5分

（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分
由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
20．(1)，
(2)
【分析】（1）首先根据已知条件和平方关系求出椭圆方程，然后联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式运算即可求解.
（2）由题意只需求出动点到直线的最大值即可，此时可利用三角换元结合辅助角公式、三角函数性质即可，最终结合弦的长即可求解.
【详解】（1）由题意，解得，
所以椭圆的方程为，
设，
而过点且斜率为1的直线的方程为，即，
将其与椭圆方程联立得，消去并整理得，
所以，
所以弦的长为
.
（2）
由（1）椭圆的方程及弦的长分别为，，且直线的方程为，
由题意动点在椭圆上，不妨设点，
所以点到直线的距离
，
而，
所以，
所以，
所以点到直线的距离有最大值，
所以，
即的最大值为.
21．(1)；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出；
（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；
（3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．
【详解】（1）由题可知，当时，，
，，切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即；
（2）对函数求导可得，．
当时，．则在上单调递增．
当时，．则，．
令，则，或．，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（3）有两个极值，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
．
要证：．即证：．
不妨设，即证：．
即证：对任意的恒成立．
令，．则．
从而在上单调递减，故．
所以．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题.
22．(1)曲线的极坐标方程，曲线的极坐标方程为
(2)
【分析】（1）利用普通方程和极坐标方程之间的转化公式即可；
（2）利用极坐标方程的几何意义即可.
【详解】（1）因为曲线，，
所以曲线的极坐标方程，
因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）联立，解得，
联立，解得，
所以.