2024~2025学年黑龙江省齐齐哈尔市讷河市九年级上学期期末教学质量测查数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年黑龙江省齐齐哈尔市讷河市九年级上学期期末教学质量测查数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题 （每小题3分，满分30分）
1. 下列关于的方程是一元二次方程的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、，当时，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
2. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A：图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形；
B：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
C：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
D：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
故选：A．
3. 把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的抛物线的解析式为，
故选：B.
4. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，连接． 若点在上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵绕点逆时针旋转得到，点在上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：C．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故选：C．
6. 在中，，，，是的中点，以点为圆心，为半径作，则（ ）
A. 点在上B. 点在外
C. 点在内D. 点与的位置关系不能确定
【答案】B
【解析】如图，
在中，，，，
．
是的中点，
，
点在外．
故选：B．
7. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设平均每次降价的百分率为，
根据题意， ，
故选：C．
8. 如图，在圆内接四边形中，，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵圆内接四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9. 如图，四边形中，，，，若连接，且，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长CB至点，使得，连接，过点A作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
故选：D．
10. 如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出下列结论：①；②；③；④若Ax1,y1、Bx2,y2（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】抛物线对称轴为，
，
故①正确；
抛物线过点，又对称轴为，
抛物线还过点，
，
故②正确；
对称轴为，
，即，
抛物线过点，
，即，
故③错误；
抛物线顶点在第一象限，，
抛物线开口向下，即点离对称轴越近，函数值越大，
Ax1,y1、Bx2,y2（其中）是抛物线上的两点，且，
当，在对称轴两侧时，有，
即，
当，同在对称轴右侧时，有，
即，
即④正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________________．
【答案】且
【解析】由题意得，，
解得且，
故答案为：且．
12. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高为__________ cm．
【答案】
【解析】设底面半径为，
则，解得，
圆锥的高为．
13. 若是关于的方程的解，则的值为_________．
【答案】
【解析】∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2018．
14. 如图，分别与相切于三点，若，，，则线段的值为________________________cm．
【答案】
【解析】，
，
、，分别与相切于、、，
，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长______米．
【答案】
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
令，得，
故答案为：．
16. 的直径垂直于弦，垂足为，为上一点，，则的长为_______________ ．
【答案】或
【解析】连接，
∵，
∴，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
当点F在点E下方时，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
同理，当点F在点E上方时，，
∴的长为或，
故答案为：或．
17. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为1,0，把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】∵为等边三角形，点A的坐标为1,0，∴，
∵每次旋转角度，
∴6次旋转，
第一次旋转后，在第四象限，，
第二次旋转后，在第三象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第二象限，，
第五次旋转后，在第一象限，，
第六次旋转后，在轴x正半轴，，
……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴，
∵，∴点在第三象限，且，
如图，过点作轴于点H，
在中，，
∴，
，
∴点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18. 解方程：
（1）
（2）
解：（1）∵，，，∴
∴所以方程的解是：，．
（2），，．
19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
解：（1）由题意，得 ，
解得：；
∴的取值范围是；
（2）由题意，得，解得 ，，
又∵，∴的值为．
20. 某班计划从甲、乙、丙、丁名学生中选名学生参加一次跳绳比赛，班主任决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取人，甲、丁恰好被抽中”是（ ）
A． 不可能事件 B． 必然事件 C． 随机事件
（2）甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，恰好选中丙的概率是 ；
（3）任意选取名学生参加比赛，用画树状图的方法求一定有乙的概率．
解：（1）∵有甲、乙、丙、丁名学生，
∴“随机抽取人，甲、丁恰好被抽中”是随机事件．
故选C．
（2）由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
故答案为：13．
（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，画树状图如下：
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：．
21. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
（1）证明：连结，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：过点作于点，则，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，由勾股定理，得，
故的半径为．
22. 某超市以每件元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）请你直接写出每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式；
（2）若该超市每天销售这种商品所获利润为元，则销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：
∴
（2）由题意，得
又∵
∴
解得：，
又∵
∴
故销售单价应定为元-
（3）设超市每天销售这种商品所获利润元，由题意，得
∵由可知抛物线的开口向下
又∵
∴当时，
故当销售单价定为元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是元
23. 综合与实践
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
解决问题：
（1）四边形是（ ）
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 正方形
（2）若，，则四边形的面积为 ；
深入探究：
（3）将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．
①如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线直线交于点．若，，则线段的长度为 ．
解：（1），
，
四边形为菱形，
∴，
∴，
，
∴，
四边形为矩形，
故选：B．
（2）∵，，，
∴，，
∵四边形菱形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴面积为：，
故答案为：；
（3）①．理由如下：
∵四边形为菱形，
，
旋转得到，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由旋转知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴；
当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：
由旋转知：，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴ 四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
综上，的长度为1或7，
故答案为：1或7．
24. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为， ，连接．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标；
（3）点是坐标平面内的点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点的坐标；
（4）若抛物线与轴正半轴的交点为，为抛物线对称轴上一点，则的最大值为 ．
解：（1）抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，
∴，解得：，
∴抛物线为：，
当时，，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
（3）如图，∵，，，
∴轴，，
如图，当，时，
四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
当四边形为平行四边形时，
∴，，
由平移的性质可得：，
综上：，，．
（4）如图，延长交对称轴于，连接，
由抛物线的对称性可得：，
∴，此时最大；
当不共线时，，
∵，，
∴；
∴最小值为．