2024~2025学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期12月期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期12月期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看，共三层，底层是三个小正方形，中间是一个小正方形，上面也是一个小正方形．
故选：B
2. 关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ）
A. 2B. －2C. 4D. －4
【答案】C
【解析】对于一元二次方程a+bx+c=0，当Δ=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
即16-4k=0，解得：k=4.
3. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的都是红球的概率为．
故选：A．
4. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮结果．
根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次投中的概率约是（）
A. 0.56B. 0.60C. 0.52D. 0.49
【答案】C
【解析】由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.52附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.52，
故选：C．
5. 如图，直线，直线，与，，分别交于，，和点，，．若，，则DE的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，
，
．
故选：C．
6. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、影子的方向不相同，v故本选项不符合题意；
B、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子,故本选项符合题意；
C、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意；
D、影子的方向不相同，故本选项不符合题意
故选B
7. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点作交的延长线于点，如图

故选：D．
8. 若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】反比例函数，
反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大，
点都在反比例函数的图象上，且，
故选：B．
9. 一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（）
A. B. C. 35D.
【答案】D
【解析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：．
故选：D．
10. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵抛物线的顶点坐标为，
∴将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后抛物线的解析式为y=x-12-1．
故选：A ．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 在中，，，，那么的值是__________．
【答案】3
【解析】如图，，，，
∴．
12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为__________．
【答案】
【解析】小路的宽度为，
矩形花园的长为，宽为．
根据题意得：，
故答案为：．
13. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为_______．
【答案】
【解析】∵线段和线段关于原点位似，
∴，
∴，∴，
∴点C为的中点，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点，
∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即，
根据图象可知，当时，，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接．当为直角三角形时，则的长为__________．
【答案】
【解析】如图1，当时，设交于点，
∵四边形是矩形，，，
，
∵将沿折叠得到，
∴点与点D关于直线对称，
∴垂直平分，
，
，
∴，
，
，
∴
，
，
，
如图1，当时，点矩形内部，则，
当时，则四边形为正方形，此时点在上且不与点重合，
，
如图2，，则，
，
，
∴不存在或的情况，
综上所述，当为直角三角形时，则的长为.
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）
；
（2），
移项，得：，
即，
因式分解得：，
解得：，．
17. 如图所给的三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设从左到右的这三个几何体的俯视图分别是A，B，C．小刚将这3个俯视图分别画在大小、形状完全相同的3张卡片上．
（1）小刚从这三个卡片中随机抽取一张，恰好选中的是第2个几何体的俯视图的概率是______；
（2）小刚随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或者列表的方法，求抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的概率．
解：（1）从左到右的这三个几何体的俯视图分别是A，B，C，
小刚从这三个卡片中随机抽取一张，恰好选中的是第2个几何体的俯视图的概率，
故答案为：；
（2）从左到右的这三个几何体的俯视图分别是A：圆，B：正方形，C：圆．
列表得：
由表格可知，共有6种等可能性结果，其中抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的结果有2种．
所以抽取两张卡片上的俯视图都是圆的概率．
18. 如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当，时，求的面积．
解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）在中，，，
，
，
将代入，得，
，
．
19. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？（参考数据：，，，，，）
解：在中，
在中，
∴，
∴速度为
答：这枚火箭从A到B的平均速度为．
20. 如图，四边形，，平分交于点C，平分，交于点O，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，则四边形的周长是_______．
（1）证明：平分交于点C，平分，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长．
故答案为：20
21. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．（不考虑其他因素）
（1）若宾馆某一天利润9870元，则每个房间的定价为多少元？
（2）求每个房间的定价为多少元时，宾馆这一天的利润最大？
解：（1）设每个房间的定价为a元，根据题意，得：，
解得：或，
答：房价定为470元或210元；
（2）设房价增加x元时，利润为w元，
则，
∵，
∴当时，即房价定为340元时，宾馆这一天的利润最大．
22. 如图1，正方形中，点是正方形内一点，连接，CE，．将线段CE绕点顺时针旋转90°得到线段CF，连接并延长与的延长线交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，连接，BD交于点，连接，若，取的中点，连接，求的长；
（3）如图3，点在AD上方时，连接，交AD于点．连接BD．BD与CE和分别交于点和点，延长CE与边AB交于点，连接，若，，补全图形并求出的面积．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵将线段CE绕点顺时针旋转90°得到线段CF，
∴，，
又∵，
∴
在中，
∴
∴
（2）∵
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴
∵四边形正方形，是对角线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，是的中点，
∴；
（3）如图所示，连接，连接交于点，则
∵，，
∴，
设，则，，，
由（2）可得四边形是正方形，
∴，
∴
如图所示，将绕点逆时针旋转90°得到，则
∵四边形是正方形
∴
∵，
∴，则三点共线，
∵
∴
∵
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或，
∴或，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴或；或，
解得：或；或；
∴，
∴的面积为．
23. 【概念感知】
在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”．
【概念理解】
（1）求直线上的“倍值点”的坐标；
【概念应用】
（2）如图1，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图像记为．将抛物线上部分的图像沿直线翻折得到的图像记为，由图像与组成的图像记为G．
①当时，求图像G上的“倍值点”的坐标；
②当图像G上存在三个“倍值点”，，，且满足，，请直接写出m的值为 ．

解：（1）设直线上的“倍值点”的坐标为，
则，
解得，
∴；
（2）①代入，
得，
当时，，
∴，
∵，
∴的顶点为，
由翻折知，的顶点与的顶点关于直线对称，
∴的顶点为，
∴的解析式为，
设 “倍值点”为，
当在上时，，
解得（舍去），
∴；
当在上时，，
解得，
∴，；
②由①知，上有两个“倍值点”为、，
∵G上存在三个“倍值点”，，，且，
∴当，时，
∵，∴,
∴，∴，∴，
∴或（舍去）；
∵的顶点为，
∴解析式为，∴，
解得或，作为B、C的横坐标，
则，
解得，∴，
解得或（舍去）．
红
黄
红
(红，红)
(红，黄)
黄
(黄，红)
(黄，黄)
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
155
258
投中频率（结果保留两位小数）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.52
0.52