2024~2025学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二上学期阶段性考试月考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二上学期阶段性考试月考数学试卷（解析版），共15页。
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，，满足，则实数的值是（ ）
A. -5B. -4C. 4D. 5
【答案】D
【解析】，，
即，解得：.
故选：D
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为抛物线方程化为标准形式为，
所以，则焦点坐标为0,1.故选：B.
3. “”是“直线与直线互相垂直”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为“直线与直线互相垂直”可得,
所以，故或.
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】D
【解析】因为椭圆方程为，长轴长为，则，
的周长为.
故选：D
5. 某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（ ）
A. 18种B. 36种C. 60种D. 72种
【答案】C
【解析】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场，
所以有种出场顺序.
故选：C
6. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A. 5B. 9C. 8D. 10
【答案】B
【解析】由抛物线焦点弦性质可得，则，
所以，令，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为9.
故选：B.
7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】两点，B0,3，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故选：D
8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，
由双曲线定义可得，
所以，即，
又，所以，
所以，解得.

故选：.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法
B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法
C. 5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法
D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
【答案】BD
【解析】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误；
对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确；
对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误；
对D：5人站成一排，有种排法，
则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法；
甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法；
甲在最左端，乙在最右端，共有种排法；
则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确.
故选：BD.
10. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（ ）
A. 若，则平面
B. 点到直线的距离为
C. 若，则
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q，
∵点E，F分别为棱，的中点，
∴，
∵，∴，
∵平面，平面，
∴，
∵平面，
∴平面，
∵平面，
∴，同理，
∵平面，
∴平面，
根据条件平面，可得平面即为平面，
于是点G的轨迹即为线段
对于A，若，则点G在上，
又点G的轨迹即为线段，
则点G为棱的中点P，
连，∵，
∴为平行四边形，
∴，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，
∴，
∴正六边形的边长为，
设正六边形的中心，
则均是边长为的正三角形，
∵,
∴，
即与间的距离，
因为，
所以点G到的距离即为与间的距离，
所以点G到的距离为，所以 B错误；
对于C，连，交点为，
∵，则点G在上，
又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点，
∵分别为的中点，则，
此时，于是满足，所以C正确；
对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点，
∴，
∵平面，∴为直线与平面所成的角，
又，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确，
故选：ACD.
11. 已知曲线，称曲线上的点Px,y为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（ ）
A. “边线曲线”关于对称
B. “边线曲线”在处切线的斜率为
C. 存在“边线点”Px,y，使得
D. “边线点”Px,y到原点距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】对于A：因为Px,y在曲线上，则，点满足，
所以点也在曲线上，所以“边线曲线”关于对称，A选项正确：
对于B：由，可得，，
所以“边线曲线”关于轴，轴，原点对称，
所以“边线曲线”在处切线的斜率有正负两个值，且互为相反数，
因为，所以以为例，
，当时，，
所以由对称性可知，在处切线斜率为，B正确；
对于C：因为，所以，所以，即得，C错误；
对于D：“边线点”Px,y到原点距离
，
当且仅当即时取最小值2，D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线的渐近线方程为，则_____.
【答案】
【解析】对于双曲线，得，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：.
13. 的展开式中的系数为_____.（用数字作答）
【答案】
【解析】因为，
所以的展开式中含的项为，
故的展开式中的系数为.
故答案为：
14. 已知双曲线的离心率为2，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为_____.
【答案】
【解析】设Px,y在曲线上，
也在曲线上，且也在曲线上，
曲线两条对称轴分别为，
而与曲线没有交点，
为曲线实轴所在的直线，联立，解得，
则直线和曲线的交点为和，
因此，双曲线中，又双曲线的离心率为2，则，
，则虚轴长为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 曲线
（1）若曲线表示双曲线，求的取值范围；
（2）当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标.
解：（1）曲线表示双曲线，则，
即，解得.
（2）当时，曲线为双曲线，
点在曲线上，设，
则，
所以，
因为，
所以，
解得，故点的横坐标为.
16. 已知平面直角坐标系中，圆，点，
（1）若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程；
（2）过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程.
解：（1）设Mx,y，Ax0,y0，因为线段的中点为，
则，所以，
点在圆上，代入圆，得，
化简得，即为的轨迹方程；
（2）由（1）知：的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当直线的斜率存在时，设，即，
则的圆心到直线的距离，
所以，解得，故直线为；
当直线斜率不存在时，，也符合题意，
所以直线的方程为或.
17. 如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）在三棱柱中，D，E为的中点，
，
平面，
平面，
平面，，
在三角形中，，为中点，
，
，，平面，
平面；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，
，，，A1,0,0，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以；
（3）设点到平面的距离为，所以，
故点到平面的距离.
18. 已知是抛物线的焦点，不过原点的动直线交抛物线于，两点，是线段的中点，点在准线上的射影为，当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当时，求证：直线过定点.
解：（1）由对称性可知，当时，轴且过焦点，
不妨设在轴上方，则,此时，，
因为，所以，解得或（舍去），
所以抛物线方程为；
（2）当直线的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线的斜率不为0时，
设直线，、、，
由化简得，，
，，，
所以，所以，，
所以
若，即，解得或（舍去），
所以直线过定点；

19. 平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有、、、四个动点.
（1）求曲线的方程.
（2）若在轴下方，，求直线的斜率.
（3）若、都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值.
解：（1）依题意，，
两边平方得，化简得，
所以曲线的方程为.
（2）依题意，直线的斜率是负数，设直线的方程为，其斜率为，
由化简得，设，，
则，，由，得，
联立消去得，，解得，
所以直线的斜率是.
（3）延长交椭圆于点，连接，由及椭圆的对称性，得，
则，设点，直线的方程为，
由（2）知，，
于是四边形的面积
，当且仅当时取等号，
所以四边形的面积最大值为.