北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题

这是一份北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题，共11页。试卷主要包含了01，……1分等内容，欢迎下载使用。
2025．01
本试卷共页，150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知两个向量，且，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（4）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴
的距离是
（A） （B）
（C） （D）
（6）在的展开式中，常数项为
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图，在四面体OABC中，点E，F分别为AB，OC的中点，则
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知直线和曲线，则“直线与曲线有且仅有一个
公共点”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知椭圆的右焦点为 F ，过原点的直线l与C 交于 A，B 两
点，若，且，则椭圆C 的离心率为
（A） （B）
（C） （D）
（10）在平面直角坐标系xOy中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切．过
作直线的垂线，垂足为，则的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若，则 ．
（12）与双曲线有相同焦点的一个椭圆的方程可以是 ．
（13）已知直线，相交于点A，则点A的坐标为 ；圆，过点A作圆C的切线，则切线方程为 ．
（14）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面内，且平面．
①当点与点重合时，线段的长度为 ；
②线段长度的最小值为 ．
（15）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论：
①△面积的最大值为；
②的最大值为7；
③若，则；
④若，垂足为，则.
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
已知的展开式中各二项式系数的和为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求该展开式中所有项的系数和．
（17）（本小题14分）
已知抛物线，其准线方程为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线与抛物线C交于不同的两点，求以线段AB为直径的圆的方程．
（18）（本小题14分）
某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米 的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 千米处，港口位于小岛中心正北30千米处．
（Ⅰ）如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，
在图中标出轮船和港口的位置；
（Ⅱ）如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会
有触礁危险，并说明理由．
（19）（本小题14分）
如图1，菱形ABCD的边长为4，，E是CD的中点，将△沿着BE翻折，使点C到点P处，连接PA，PD，得到如图2所示的四棱锥
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当时，求平面PBD与
平面PBE的夹角的余弦值．
（20）（本小题14分）
已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，A为椭
圆C的上顶点，△为等腰直角三角形，其面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l交椭圆C于P，Q两点，点在过原点且与l平行的直线上，记直线的斜率分别为，的面积为．再从下面三个论断①、②、③中选择两个论断作为已知条件，证明余下的论断成立．
①：； ②：； ③：为原点．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
（21）（本小题15分）
在平面直角坐标系xOy中，用变换公式（a，b，c，m，n，p为常数），将点变换成点，称该变换为线性变换．
（Ⅰ）线性变换1：将点向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点，求线性变换1的变换公式，并求将点按线性变换1变换后，所得新的点的坐标；
（Ⅱ）线性变换2：将点绕原点逆时针旋转后，得到点.求线性变换2的变换公式，并求将椭圆上所有点按线性变换2变换后，所得点的坐标
满足的方程；
（Ⅲ）若曲线的方程为，证明：曲线上所有点的坐标经过线性变换后满足椭圆的标准方程，并求出该标准方程．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）（答案不唯一，焦点为即可）
（13）； 或 （14） ；
（15）①②③
注：12、13题第一空3分，第二空2分．
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）由所有二项式系数的和为，可知，……4分
可得．……3分
（Ⅱ）设二项式可化为．
令，……5分
则．
所以展开式中所有项的系数和为 ．……2分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意知，……1分
所以． ……1分
所以抛物线C的方程为． ……2分
（Ⅱ）设，线段AB的中点为．
由得．……1分
其中，
所以．……2分
所以，． ……2分
直线过焦点，由抛物线的定义知，
．……2分
所以以线段AB为直径的圆半径为4．……1分
所以以线段AB为直径的圆的方程为．……2分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）
……4分
（Ⅱ）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系．为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置坐标为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为．………2分
轮船航线所在直线的方程为．……2分
由得．……2分
由，……2分
可知方程组无解．……1分
所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．……1分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）在题图1中，因为四边形ABCD为菱形，，且E是CD的中点，
所以．……1分
从而在题图2中，，……2分
因为，平面PDE，平面PDE，
所以平面PDE．……1分
又平面PDE，所以． ……1分
（Ⅱ）在平面内，过E点作，
由（Ⅰ）已证平面，所以．
又因为（Ⅰ）已证，所以两两垂直．……1分
故以E为坐标原点，ED，EB，EQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，则，，，．
因此，，．
设平面PBD的法向量为，
则即……1分
令，则y1，．
于是．……2分
设平面PBE的法向量为，
则即
令，得，．
于是．……2分
设平面PBD与平面PBE的夹角为，则
．……3分
故平面PBD与平面PBE的夹角的余弦值为 ．
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意知：，．
则， ……1分
解得． ……1分
由知，． ……2分
所以椭圆C的标准方程为：． ……1分
（Ⅱ）设，．
选②③为条件：
当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，
此时，
则由，可得，此时直线的方程为，
则，所以．……1分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：．
则，即．……1分
由得，……1分
由，得，
所以．……1分
所以．……1分
所以，即．……1分
．……1分
因为点O到直线l的距离，……1分
所以．……1分
综上，成立．
选①③为条件：
当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，
则由，可得，
又，解得，，
则，所以．……1分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：．
由得，……1分
由，得，
所以．……1分
．……1分
因为点O到直线l的距离，……1分
所以．
即．……1分
因为， ……1分
所以 ……1分
．……1分
综上，成立．
选①②为条件：设，
当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，
则，，
所以．
又，解得，，
则，
所以，所以．
所以为坐标原点．……1分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，则，
由得，……1分
由，得，
所以．……1分
． ……1分
点W到直线l的距离，……1分
．
即．……1分
因为，
．
则由，
即．
得． ……1分
即． ……1分
因为，则． ……1分
所以． ……1分
即．
综上所述，W为坐标原点．
（21）（共14分）
解：（Ⅰ）由平移可得此即为坐标变换公式．……2分
所以，按线性变换1变换后，所得新点的坐标为．……2分
（Ⅱ）设将x轴逆时针转到OP的角为点，点绕原点逆时针旋转得，
由三角函数可得，……1分
，……1分
当时，此即为坐标变换式．……1分
设将上任一点，绕原点逆时针旋转后，
得到的新的椭圆上一点．
由得……1分
所以，即．
所以新的椭圆方程为． ……1分
（Ⅲ = 3 \* ROMAN ）先把点绕原点逆时针旋转，得到点，
则……2分
所以，
化简得．……1分
再把点向右平移，向上平移，得到点．…1分
则……1分
所以
化简得，是焦点在x轴上的椭圆．
所以的方程可以线性变换为椭圆的标准方程为．……1分 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
D
C
A
B
A
B
C
D