2025年中考数学一轮复习学案：3.1 函数初步（学生版+教师版）

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3.1 函数初步
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。


夯实基础
考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.各象限点的坐标特点
①第一象限的点：横坐标___0，纵坐标___0；
②第二象限的点：横坐标__0，纵坐标___0；
③第三象限的点：横坐标___0，纵坐标___0；
④第四象限的点：横坐标___0，纵坐标___0。
2.坐标轴上点的坐标特点
①x轴正半轴上的点：横坐标____0，纵坐标___0；
②x轴负半轴上的点：横坐标___0，纵坐标___0；
③y轴正半轴上的点：横坐标____0，纵坐标___0；
④y轴负半轴上的点：横坐标___0，纵坐标____0；
⑤坐标原点：横坐标____0，纵坐标____0。
3．对称点的坐标特点
①关于x轴对称的两个点，横坐标____，纵坐标_____；
②关于y轴对称的两个点，纵坐标_____，横坐标______；
③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别_______。
4. 平移前后，点的坐标的变化规律
（1）点(x，y)左移 a 个单位长度后点的坐标为：________；
（2）点(x，y)右移 a 个单位长度后点的坐标为：_________；
（3）点(x，y)上移 a 个单位长度后点的坐标为：_________；
（4）点(x，y)下移 a 个单位长度后点的坐标为：________．
【口诀记忆】正向右负向左，正向上负向下．
考点2. 函数及自变量的取值范围
1.函数的定义
（1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的____，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是________，y是x的函数．
（2）对函数定义的理解，主要抓住以下4点：
①有____个变量．
②函数_____数，函数的本质是对应，函数关系就是_____之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
③函数的定义中包括了对应值的_____性和_____性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以______。
④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.
（2）函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的______叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使_______有意义，而且还必须使_______有意义．
【温馨提醒】求函数自变量的取值范围注意的几点
①整式型：自变量取全体实数；
②分式型：自变量取值要使分母不为 0；
③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于 0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义
2.函数解析式及函数值
（1）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示______与_____之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
（2）函数值：对于自变量x在_____内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
3.函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：______法、______法和_____法。
表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用。
考点3. 函数图象及其应用
1.函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①______：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．
②_______：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．
③______：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
2. 函数的图象的功能
1．函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数______。
2．满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的____上。
3．利用函数图象可以求______的解、______的解集、______的解，还可以预测____的变化趋势。
考点4. 函数图象的分析与判断
类型1. 根据函数性质判断函数图象
(1)若题目中明确给出一个函数的图象，则根据函数图象及函数图象上的点得出函数解析式中未知系数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
（2）若题目中未给出任何一个函数的图象，则要根据题目中给出的交点条件，判断函数图象大致所在象限，再将交点坐标分别代入题干中的函数解析式中，即可得出函数解析式中未知系数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
类型2. 分析实际问题判断函数图象
1.找起点（明确自变量和因变量）
2.找特殊点（交点或者转折点）
3.判断图象的趋势
4.看是否与坐标轴相交
类型3. 分析几何图形动态问题判断函数图象
此类函数是由分段函数组成，解题的关键是认真分析题意，弄清每一段上的函数值是如何随自变量变化而变化的，在解决此类问题时，有时需要先求出函数的关系式再进行判断。具体方法：
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
【易错点提示】动点问题函数的图像
1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
【例题1】（2024广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【变式练1】（2024杭州一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A．(4，−5)B．(5,−4)C．(−4，5)D．(−5,4)
【变式练2】（2024济南一模）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，b）所在的象限
是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式练3】（2024沈阳一模）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
考点2. 函数及自变量的取值范围
【例题2】 （2024甘肃威武）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024安徽一模）关于变量说法正确的是（ ）
A.在一个变化过程中可以取不同数值的量叫变量；
B.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量；
C.在一个变化过程中可以取同一数值的量叫变量；
D.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量。
【变式练2】（2024湖南一模）已知函数y＝，若y＝2，则x＝ ．
【变式练3】（2024福建一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
【变式练4】（2024海南一模）在函数y=1x−1+1x−2中，自变量x的取值范围是 ．
考点3. 函数图象及其应用
【例题3】（2024甘肃临夏）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024自贡一模）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【变式练2】（2024北京一模）如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的eq \f(1,5)，求满足条件的x的值．

考点4. 函数图象的分析与判断
【例题4】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024大连一模）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象
是（ ）
A．B．
C．D．
【变式练2】（2024天津一模）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2. （2024四川成都市）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024四川凉山）点关于原点对称的点是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南长沙）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. （2024江西省）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______．
6. （2024湖南省）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
7. （2024河北省）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
8. （2024贵州省）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
9. （2024河北省）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
10. （2024河南省）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________．
11. （2024甘肃临夏）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是______．
12. （2024甘肃威武）敦煌文书是华夏民族引以为傲艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（ ）
A. 一亩八十步B. 一亩二十步C. 半亩七十八步D. 半亩八十四步
考点2 函数及自变量的取值范围
1. （2024上海市）函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江苏扬州）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
3. （2024广西）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是______．
考点3 函数图象及其应用
1. （2024河南省）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A. 当时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
2.（2024广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
考点4 函数图象的分析与判断
1. （2024四川资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分钟．

2. （2024江西省）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A. B. C. D.
3. （2024山东烟台）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. （2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
5. （2024武汉市）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024山东威海）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A. 甲车行驶与乙车相遇B. ，两地相距
C. 甲车速度是D. 乙车中途休息分钟
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
2．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
3. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A．(4，−5)B．(5,−4)C．(−4，5)D．(−5,4)
4．点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
5．在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 ．
6．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；（2）求出△COA1的面积．
考点2 函数及自变量的取值范围
1. 在函数y=x5x+3中，自变量x的取值范围是 ．
2．函数y QUOTE =x-2x-5 =x-2x-5的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠5
考点3 函数图象及其应用
1. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为 ．
2．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
3. 德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（km）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 km．

考点4 函数图象的分析与判断
1. 下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A B C D
4. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征
☆☆
数学中考中，有关函数初步的部分，每年考查1道题或者渗透在其他问题里，,分值为6分左右，通常以选择题、 填空题出现。对于这部分知识的复习需要学生熟练掌握函数的自变量取值范围，函数图像的应用。能根据给出的函数表达式，画出函数的图像。
考点2 函数及自变量的取值范围
☆☆
考点3 函数图象及其应用
☆☆
考点4 函数图象的分析与判断
☆☆
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
脚长
…
…
身高
…
…