2025年中考数学一轮复习学案：6.1 尺规作图（学生版+教师版）

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6.1 尺规作图
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。

夯实基础
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1. 由作角平分线过程求解。这类作图主要考查了_______的性质定理和尺规作图，勾股定理、菱形判定等知识。
2. 由作垂直平分线过程求解。这类作图主要考查了_______的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂直平分线的性质等。
考点2. 无刻度直尺作图
1. 网格中有一线的无刻度作图。这类作图主要考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用_______的思想解决问题。
2. 网格中有一三角形的无刻度作图。 这类作图主要考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关_____的性质是解决问题的关键。
3. 网格中有四边形的无刻度作图。 这类作图主要考查了_____作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键。
4. 特殊图形中的无刻度作图。 这类作图主要考查了作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图_____成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质等。
5. 平行四边形中的无刻度作图。 这类作图主要考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握______的判定与性质是解答本题的关。
6. 矩形、菱形、正方形中的无刻度作图。这类作图主要考查了复杂作图，掌握____________的性质是解题的关键。
【提示】几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。
2．从题型角度看，以解答题形式出现的情况成为常态，分值8分左右。
考点1. 基本尺规作图及相应判断
【例题1】（2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. 只有①
【变式练1】（2024长春一模）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确
是（ ）
A. B.
C. D.
【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
考点2. 无刻度直尺作图
【例题2】（2024武汉市）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【变式练1】（2024湖南长沙一模）如图是的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)图1中，在边上找一点，作线段，使得；
(2)图2中，在边上找一点，作线段，使得．
【变式练2】（2024广州一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长；
(2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形．
【变式练3】（2024深圳一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，仅用无刻度的直尺作图：

(1)在上取点M，使四边形为平行四边形；
(2)在的延长线上取一点F，使四边形为平行四边形．
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1. （2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A. 角平分线B. 高线C. 中位线D. 中线
2. （2024四川成都市）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
4. （2024湖南省）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________．
5. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______．
6. （2024贵州省）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______．
7. （2024河南省）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
8. （2024四川达州）如图，线段、相交于点．且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
9. （2024广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
10. （2024广州） 如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
11. （2024福建省）如图，已知直线．
（1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
12. （2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题．
13. （2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
考点2. 无刻度直尺作图
1. （2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上．
（1）线段的长为______；
（2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______．
2. （2024吉林省）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，面出四边形的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的的切线．
3. （2024江西省）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A. B. C. D.
2．（2021湖北黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3B．C．D．
3. 如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于的说法正确的是（ ）
A. ≥B. ≤C. D.
4．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜ABB．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CADD．AD一定经过△ABC的外心
5．如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
6.如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A B. 4C. 6D.
7．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1：B．1：2C．1：D．1：
8．已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）
9. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
10．如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为 ．
11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．
12. 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
13. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
14. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
15. 如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
16. 如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
考点2. 无刻度直尺作图
1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．
(1)在图1中作等腰，满足条件的格点C有______个，请在图中画出其中一个．
(2)在图2中，只用一把无刻度直尺，在线段上求作一点D，使得，并保留作图痕迹．
2. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图①，是内一点，在上找一点，使；
(2)如图②，在线段上找到点，连结，使的面积为3；
(3)如图③，在线段上找到点，连结，使的面积为3．
3. 如图，在和中，，，与相交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)如图1，作线段的垂直平分线；
(2)如图2，在上分别取点，使得．
1．已知平行四边形是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关于平行四边形对称中心的对称点．
(1)如图1，点是平行四边形的上一点；
(2)如图2，点是平行四边形外一点．
4. 在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形．
(2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形．
5. 只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．

(1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
(2)如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
6. 如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）

(1)在图①中，画出的中点M；
(2)在图②中，画出的中点N．
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 基本尺规作图及相应判断
☆☆
几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右，着实不少！但选择题、填空题考查几何作图题也不少。
考点2 无刻度直尺作图
☆
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件
点与坐标原点重合，点在轴正半轴上且坐标为
操作步骤
①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；
②以点为圆心，长为半径作圆；
③以的长为半径，在上顺次截取；
④顺次连接，，，，，得到正六边形．
问题解决
任务一
根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二
将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______．