2025年中考数学一轮复习学案：6.3 图形的相似（学生版+教师版）

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6.3 图形的相似
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。

夯实基础
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1.比例线段的相关概念
（1）如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是或写成a：b=m：n
（2）在两条线段的比a：b中，a叫做比的_____，b叫做比的_____。
（3）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称______（4）若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做_____，线段b，c叫做______，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
（5）如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的_________。
2.比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：d______
②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（3）反比性质（交换比的前项.后项）：
（4）合比性质：
（5）等比性质：
3.黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
4.平行线分线段成比例定理
三条______截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
5.相似多边形
相似多边形定义1：_____相同的图形叫做相似图形。
相似多边形定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的____-分别相等，____成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做______。
相似多边形性质：相似多边形的对应角_____，对应边______。
注意：多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1. 相似三角形的判定定理
判定1：______于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边________的两个三角形相似。
符号语言：
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
判定3：两边_______且____相等的两个三角形相似。
符号语言：
判定4：_____分别相等的两个三角形相似。
符号语言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
判定直角三角形相似的方法：
推论1：有个锐角相等的两个直角三角形相似.
推论2：斜边和一直角边______的两个直角三角形相似.
【易错点提示】
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
【思路方法总结】三角形相似的判定定理的使用：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定1；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
2. 相似三角形的性质定理
（1）相似三角形定义：对应角_____，对应边______的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做_______．
（2）相似三角形性质：
性质定理1：相似三角形的______相等；
性质定理2：相似三角形的________（边、高、中线、角平分线）成比例；
性质定理3：相似三角形的周长比______相似比，面积比等于相似比的______．
注意1：相似三角形对应高的比等于相似比。相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比。
注意2：由三角形面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【思路方法总结】相似三角形的判定方法归纳总结（理解牢记）
(1)定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（5）两角分别相等的两个三角形相似。
（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似。
3. 相似三角形的应用
（1）利用相似三角形测量高度
1）测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
2）测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
（2）利用相似三角形测量宽度：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
（3）利用相似解决有遮挡物问题
考点3. 图形的位似
1.位似图形的概念
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线_____于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做______．
【易错点提示】
（1）判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
（2）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
2.位似图形的性质
（1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即______相等，_____的比相等．
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比____相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）
（3）对应线段_____或者在一条直线上．
3.画位似图形
画位似图形的一般步骤：
① 确定__________；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的_____；
③ 根据_____，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到______的图形.
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
4.基本模型
5.平面直角坐标系中的位似
（1）平面直角坐标系中的位似变换
1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．
3）当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍．
（2）性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
考点4. 一线三等角问题
1.一线三等角基本含义： 一线三等角就是指两个三角形中相等的两个角落在______一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角______且落在同一条直线上，故称一线三等角。如图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角。
2.一线三等角基本类型及特点与结论
（1）同侧型一线三等角

锐角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线三等角
【特点】∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD
2．当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
（2）异侧型一线三等角

锐角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线三等角
【特点】点P在线段BA的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD；
2．当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
【例题1】 （2024江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A. 甲和乙B. 乙和丁C. 甲和丙D. 甲和丁
【变式练1】（2024湖北一模）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )
A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换
【变式练2】（2024内蒙古赤峰一模）如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
考点2. 相似三角形的性质与判定
【例题2】 （2024湖南省）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A.B. C. D.
【变式练1】（2024河北一模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【变式练2】（2024湖南一模） 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．
【变式练3】（2024河南一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式练4】（2024浙江湖州一模）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是______．
考点3. 图形的位似
【例题3】 （2024黑龙江绥化）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标
是（ ）

A. B. C. D.
【变式练1】（2024深圳一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′=1：2
D．AB∥A′B′
【变式练2】（2024云南一模）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为 ．
【变式练3】（2024长沙一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
考点4. 一线三等角问题
【例题4】 （2024广州） 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【变式练1】（2024武汉一模）如图，在等边△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的长．
【变式练2】（2024海南一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于点E，BD⊥AE于点D，若DE＝4AD，求cs ∠ABD的值．
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1. （2024江苏盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1. （2024重庆市B）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024陕西省）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
3. （2024四川内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______．
5. （2024辽宁）如图，，与相交于点，且与面积比是，若，则的长为______．
6. （2024云南省）如图，与交于点，且．若，则__________．

7. （2024山东滨州）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）

8. （2024吉林省）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______．
9. （2024江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
10. （2024湖南长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A. B. C. D.
11. （2024内蒙古赤峰）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
12. （2024山东枣庄）如图，点为平行四边形ABCD的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A. B. 3C. D. 4
13. （2024江苏常州）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________．
14. （2024四川德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
（1）证明：；
（2）证明：．
15. （2024内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
考点3. 图形的位似
1. （2024四川凉山）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024重庆）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ）
A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 1∶9
考点4. 一线三等角问题1. （2024甘肃威武）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
2. （2024山东烟台）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1.在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1.如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
2.如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm
5. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
6．如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
7. 如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
8. 如图，在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11. 如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是________．
12. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
13. 如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
13. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
考点3. 图形的位似
1．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2
2.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（ ）
A．2：1B．1：2C．3：1D．1：3
3. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5
4. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 16
5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
考点4. 一线三等角问题
1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上，且∠EDF＝45°，若AE＝ eq \f(3,2) ，BD＝ eq \f(1,3) BC，求CF的长．
2. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
3. （2022山东烟台）
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
4. 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长．
5.如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为点B，点P在CB上.
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．

图① 图② 图③
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 相似的有关概念与相似多边形
☆☆
图形相似部分，属于初中数学难点，也是中考重点，每年考查1~3道题,分值为3~19分，常以选择题、填空题、解答题的形式考察。特别是在压轴题里体现图形相似的知识点多，如在解决圆的证明与计算有的题用到相似、有的抛物线压轴题体现相似、有的探索实践类综合题也体现相似。其重要性不言而喻。
考点2 相似三角形的性质与判定
☆☆☆
考点3 图形的位似
☆
考点4 一线三等角问题
☆☆☆