2025年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析

这是一份2025年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析，共14页。试卷主要包含了01， 已知，，则_________等内容，欢迎下载使用。
注意:1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.
2. 本试卷共有 21 道试题， 满分 100 分， 考试时间 90 分钟.
一、填空题 (本大题共有 12 题， 满分 36 分) 选对得 3 分， 否则一律得零分.
1. 集合的子集的个数为_________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据公式可得子集的个数.
【详解】集合有个元素，集合的子集的个数为，
故答案为：.
【点睛】本题考查的子集个数，一般地，如果一个集合中元素的个数为，则其子集的个数为，本题属于基础题.
2. 函数 定义域为_____
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可.
【详解】由得，
所以函数 的定义域为.
故答案为：.
3. 已知陈述句或，则的否定形式为______
【答案】
【解析】
【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可.
【详解】由或，则的否定形式为.
故答案为：
4. 已知函数 的表达式为 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式直接代入运算即可.
【详解】因为，且，则.
故答案：2.
5. 已知，用有理数指数幂的形式表示________.
【答案】
【解析】
【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.
【详解】.
故答案为：.
6. 已知，，且，则的最大值为_________
【答案】
【解析】
【分析】直接由基本不等式求解．
【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．
7. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，转化为在上恒成立，利用判别式求解.
【详解】因为不等式的解集是，
在上恒成立，
，即．
故答案为: .
8. 若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据已知条件列出约束式即可求解.
【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得，
而是整数，则只能，经检验符合题意.
故答案为：1
9. 已知，，则_________.（结果用a，b表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式和对数运算性质即可.
【详解】.
故答案为：.
10. 如果函数 在区间 上是严格增函数，那么实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数的性质得解.
【详解】由二次函数的性质，可知函数 在区间上是严格增函数，
所以，即，
故答案为：
11. 若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】令，去绝对值，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】令，
由题意可知，对任意的恒成立，
当时，，
则函数在上为减函数，则；
当时，，
则；
当时，，
则函数在上为增函数，.
综上所述，函数在上的最小值为，故.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
12. 已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可.
【详解】因为，则只需考虑下列三种情况：
因为，，则，
又因为，则，
因为，则且，
可得，
所以，，解得，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解.
二、选择题 (本大题共有 4 题， 满分 12 分) 每小题都给出四个选项， 其中有且只有一个选 项是正确的， 选对得 3 分， 否则一律得零分.
13. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案.
【详解】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确；
对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误；
对于B选项，由于，但，故B选项错误；
对于D选项，由于，但，故D选项错误.
故选：C.
14. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围.
【详解】已知，，若是的充分不必要条件，
则，所以，
故选：B.
15. 如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB边上任取一点P，过P作斜边BC的垂线交BC于Q，则当P点按B→A→C的方向移动时，图中阴影部分的面积S随BQ的长度h变化的函数关系S（h）的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分当点P在线段AB上时，阴影部分的面积，当点P在线段AC上时，阴影部分的面积，根据二次函数的图象性质可得选项.
【详解】解：当点P在线段AB上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积，
当点P在线段AC上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积，根据二次函数的图像得：面积增加的速度：先慢后快，当P过A点后面积增加的速度：先快后慢.
故选：D.

16. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 函数的图象关于点对称
C. 若、为实数，且，则
D. 若、为实数，且 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.
【详解】任取、且，则，且，
，
所以，，则函数在上为增函数，
对于A选项，由可得，
所以，不等式的解集为，A对；
对于B选项，，
所以，函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，若、为实数，且，则，
所以，，则，C对；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：D.
三、解答题 (本大题共有 5 题， 满分 52 分) 解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 已知集合 ，集合 ，求 .
【答案】，
【解析】
【分析】解分式不等式及含绝对值不等式，再由集合的交集、并集得解.
【详解】因为，
所以或，即，
因为，
所以，
所以，.
18. 已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根.
（1）求 的值；
（2）当 取到最小值时，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)因为方程有两个实根，所以，求出的取值范围，再根据韦达定理，得出两个之和和两根之积，代入即可求值.
(2)利用韦达定理， 把表示成关于的二次函数，即求出二次函数取最小值时的值.
【小问1详解】
因为 有两个根，
所以 ，
，
即 ，解得 或 ，
由韦达定理，得 ， ，
【小问2详解】
设抛物线方程 ，定义域为 或 ，
开口向上，抛物线对称轴 ，
当 时，函数严格减函数，即在 上是严格减函数，
时，函数为严格增函数，即在 上是严格增函数，
当时，取最小值32即 取最小值.
19. 已知函数的表达式为 .
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）用定义证明:函数在区间上是严格减函数.
【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数.
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，发现定义域不关于原点对称,故可直接判断不是奇函数也不是偶函数；
（2）利用单调性的定义，按步骤：“任取值，作差，定号，下结论”证明即可.
【小问1详解】
函数的定义域为不关于原点对称,
所以既不是奇函数也不是偶函数.
【小问2详解】
任取
则
，
因为所以，
所以，即，
所以函数在区间上是严格减函数.
20. 某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分(单位：分)与当日阅读时间(单位：分钟)的函数关系.要求如下：
(i)函数的部分图象接近图示；
(ii)每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；
(iii)每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；
(iiii)每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择:
① ；
② ；
③ .
（1）请你根据函数图象性质，从中选择一个合适函数模型，不需要说明理由；
（2）根据你对(1)的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式；
（3）若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？(结果精确到整数).
【答案】（1）选
（2）
（3）至少需要阅读66分钟
【解析】
【分析】（1）根据图象和函数性质选择模型；
（2）将，代入求解系数即可；
（3）根据对数函数的性质求解不等式即可．
【小问1详解】
根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，
所以选对数型模型，故选；
【小问2详解】
由题意及（1）可知，在上，
所以，解得3，，
所以，
令6，可得，解得，
所以函数的解析式为
；
【小问3详解】
令，可得，
即，解得，
所以每天得分不少于5分，至少需要阅读66分钟.
21. 若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”.
（1）若，问是否为“函数”，请说明理由；
（2）若，问是否为“函数”，请说明理由:
（3）若，且是“函数”，则求实数的取值范围.
【答案】（1）不是“函数”，理由见解析
（2）是“函数”，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“函数”的定义验证即可；
（2）若存在满足条件，根据“函数”的定义可得出，构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；
（3）令，可知关于的方程有正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
若函数为“函数”，
则，得，明显不成立，
所以不为“函数”.
【小问2详解】
若存在满足条件，即，
则，整理可得，
设，则函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由零点存在定理可知，存在，使得，
故函数为“函数”.
【小问3详解】
由条件得，
令，可得，整理可得，
所以关于的方程有正根，
则，可得，解得或，
设方程的两根分别为、，则，
且，解得，
综上所述，实数的取值范围是.