专题四　微专题3　空间向量与距离、探究性问题--2025年高考数学大二轮复习课件+讲义+专练

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1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.
考向1　点到直线的距离
(1)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内，其余顶点均在平面α的同侧，AB=3，AD=4，AA1=5，若顶点B到平面α的距离为2，顶点D到平面α的距离为2，则顶点A1到平面α的距离为　　　. 
考向2　点(线)到平面的距离
考向3　异面直线间的距离
(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离.
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.
(2)求BC与平面BDA1所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得PB1∥平面BDA1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.
(1)如图，过点E作EG⊥AD交AD于点G，连接EG，GF，因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AD，又EG⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，且EG，PA不共线，故EG∥PA.因为E为PD的中点，所以G也为AD的中点，又F为BC的中点，所以GF∥AB，而EG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB，同理GF∥平面PAB，又因为EG∩GF=G，EG，GF ⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面PAB，而EF⊂平面EGF，所以EF∥平面PAB.
1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点.(1)证明：MN∥平面A1CP；
(2)求点P到直线MN的距离.
2.(2024·黔东南州模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，AD=DE=2，BF=1，∠BAD=60°.(1)证明：平面FAC⊥平面BDEF；
②求三棱锥H-DFG的体积.