人教版小学数学四年级下册知识点归纳总结

这是一份人教版小学数学四年级下册知识点归纳总结，共13页。学案主要包含了四则运算，运算定律及简便运算，小数的意义和性质，三角形，图形的运动，平均数与条形统计图，数学广角——鸡兔同笼等内容，欢迎下载使用。
（一）运算顺序
无括号：只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。例如： 35 + 12 - 20，先算 35 + 12 = 47，再算 47 - 20 = 27； 48÷6×2，先算 48÷6 = 8，再算 8×2 = 16 。
有两级运算：既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘除法，后算加减法。比如： 45 + 5×8，先算 5×8 = 40，再算 45 + 40 = 85。
有括号：算式里有括号，要先算括号里面的。例如： (32 - 12)÷5，先算括号里的 32 - 12 = 20，再算 20÷5 = 4。
（二）“0”的运算
不能做除数： a÷0（ a为任何数）是没有意义的。
与 0 加减乘除的结果：一个数加上 0 还得原数，如 5 + 0 = 5；一个数减去 0 还得原数，如 12 - 0 = 12；被减数等于减数，差是 0，如 8 - 8 = 0；一个数和 0 相乘，仍得 0，如 9×0 = 0；0 除以任何非 0 的数，还得 0，如 0÷5 = 0。
（三）难点、易错点
难点：在混合运算中，正确运用运算顺序，尤其是含有多层括号的情况。例如： [24 + (12 - 4)×3]÷2，要先算小括号里的 12 - 4 = 8，再算乘法 8×3 = 24 ，接着算中括号里的加法 24 + 24 = 48，最后算除法 48÷2 = 24 ，计算过程较为复杂，需要清晰的运算顺序逻辑。
易错点：在既有加减法又有乘除法的运算中，容易忘记先算乘除法。比如计算 25 + 3×6，部分同学可能会先算 25 + 3 = 28，再算 28×6 = 168，这是错误的，应先算 3×6 = 18，再算 25 + 18 = 43 。
二、运算定律及简便运算
（一）加法运算定律
加法交换律： a + b = b + a ，两个数相加，交换加数的位置，和不变。例如： 34 + 56 = 56 + 34 = 90。
加法结合律： (a + b)+c = a+(b + c) ，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。比如： (23 + 34)+66 = 23+(34 + 66)=23 + 100 = 123 。
（二）乘法运算定律
乘法交换律： a×b = b×a ，两个数相乘，交换因数的位置，积不变。例如： 4×5 = 5×4 = 20。
乘法结合律： (a×b)×c = a×(b×c) ，三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。如： (25×4)×2 = 25×(4×2)=25×8 = 200 。
乘法分配律： (a + b)×c = a×c + b×c ，两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。例如： (2 + 3)×4 = 2×4 + 3×4 = 8 + 12 = 20 ； (a - b)×c = a×c - b×c ，两个数的差与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相减 ，如 (5 - 2)×3 = 5×3 - 2×3 = 15 - 6 = 9 。
（三）简便运算
连减的性质： a - b - c = a-(b + c) ，一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。例如： 56 - 17 - 23 = 56-(17 + 23)=56 - 40 = 16 。
连除的性质： a÷b÷c = a÷(b×c) ，一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。比如： 120÷5÷4 = 120÷(5×4)=120÷20 = 6 。
（四）难点、易错点
难点：乘法分配律的灵活运用，尤其是在变形和逆运算时。例如： 99×36=(100 - 1)×36 = 100×36 - 1×36 = 3600 - 36 = 3564 ，这里把 99 拆分成 100 - 1后再运用乘法分配律，对学生的理解和计算能力要求较高；还有逆运算，如 36×28 + 36×72 = 36×(28 + 72)=36×100 = 3600 ，部分学生较难想到提取相同因数进行简便计算。
易错点：在运用加法结合律和乘法结合律时，容易出现数字搭配错误。比如计算 (25 + 125)×8，有的同学可能会错误地写成 25×8 + 125，正确的应该是 25×8 + 125×8 = 200 + 1000 = 1200 ，这是对乘法分配律的运用错误。
三、小数的意义和性质
（一）小数的意义
分数与小数的关系：分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作 0.1、 0.01、 0.001…… 每相邻两个计数单位间的进率是10 。例如： \frac{3}{10}=0.3， \frac{25}{100}=0.25 。
小数的组成：小数由整数部分、小数点和小数部分组成。如 3.25，3是整数部分，“.”是小数点，25是小数部分。
（二）小数的性质
性质内容：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。例如： 3.5 = 3.50 ， 0.200 = 0.2 。
应用：化简小数，如 0.300化简后为 0.3；在小数的末尾添上 0 可以改写小数的位数，不改变小数大小，如把 2.5改写成三位小数是 2.500 。
（三）小数点移动引起小数大小的变化
移动规律：小数点向右移动一位，小数就扩大到原数的10倍；移动两位，小数就扩大到原数的100倍；移动三位，小数就扩大到原数的1000倍…… 小数点向左移动一位，小数就缩小到原数的 \frac{1}{10}；移动两位，小数就缩小到原数的 \frac{1}{100}；移动三位，小数就缩小到原数的 \frac{1}{1000}…… 例如： 0.35的小数点向右移动两位变为 35， 35是 0.35的100倍； 350的小数点向左移动三位变为 0.35， 0.35是 350的 \frac{1}{1000} 。
（四）小数与单位换算
低级单位换算成高级单位：除以进率，例如： 50厘米 = 50÷100 = 0.5米（因为1米 = 100厘米） 。
高级单位换算成低级单位：乘进率，比如： 2.3千克 = 2.3×1000 = 2300克（因为1千克 = 1000克） 。
（五）小数的近似数
求近似数的方法：用“四舍五入”法求小数的近似数。保留整数，表示精确到个位，就要看十分位上的数；保留一位小数，表示精确到十分位，就要看百分位上的数；保留两位小数，表示精确到百分位，就要看千分位上的数…… 例如： 3.456保留一位小数，因为百分位是5，向十分位进1，结果是 3.5 ；保留两位小数，因为千分位是6，向百分位进1，结果是 3.46 。
改写为以“万”或“亿”作单位的数：在万位或亿位的右下角点上小数点，去掉小数末尾的“0”，并在数的后面加上“万”或“亿”字。例如： 45600 = 4.56万 ， 345000000 = 3.45亿 。
（六）难点、易错点
难点：理解小数的意义，尤其是小数部分的计数单位和数位顺序。例如， 0.345中 3 表示 3 个 0.1，4 表示 4 个 0.01，5 表示 5 个 0.001 ，学生较难清晰把握。小数点移动引起小数大小变化规律的逆向运用，如一个数扩大100倍后是 56，求原数，部分学生不知道用 56除以100得到 0.56 。
易错点：在小数的性质运用中，容易混淆去掉小数点后面的 0 和去掉小数末尾的 0 。比如把 3.040写成 3.4，这是错误的，只能去掉末尾的 0 写成 3.04 。在求小数近似数时，容易忘记写“万”或“亿”字，如把 345000改写成以“万”作单位且保留一位小数，正确结果是 34.5万，部分学生可能只写 34.5 。
四、三角形
（一）三角形的定义
由三条线段围成（每相邻两条线段的端点相连）的图形叫做三角形。三角形有三条边、三个角和三个顶点。
（二）三角形的分类
按角分类：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形。
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
按边分类：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等 。
等边三角形：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都是 60^{\circ} 。
（三）三角形的特性
稳定性：三角形具有稳定性，在生活中有广泛应用，如自行车的车架、篮球架等。
三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。例如：三条线段长度分别为3cm、4cm、5cm，因为 3 + 4＞5， 3 + 5＞4， 4 + 5＞3，所以能围成三角形；若三条线段长度为2cm、3cm、6cm ，因为 2 + 3＜6，所以不能围成三角形。
（四）三角形的内角和
内角和度数：三角形的内角和是 180^{\circ} 。
应用：已知三角形中两个角的度数，可以求出第三个角的度数。例如：一个三角形中，已知 \angle1 = 40^{\circ}， \angle2 = 60^{\circ}，则 \angle3 = 180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ} 。
（五）难点、易错点
难点：按边分类时，等腰三角形和等边三角形的关系理解以及等腰三角形相关概念的运用。例如，已知等腰三角形的一个底角是 50^{\circ}，求顶角，部分学生不能准确运用等腰三角形两底角相等的性质，不知道顶角为 180^{\circ}-50^{\circ}×2 = 80^{\circ} 。在判断三条线段能否围成三角形时，对于“任意两边之和大于第三边”的理解不够全面，可能只验证其中一组或两组边的关系。
易错点：在三角形按角分类时，容易混淆不同类型三角形的特征。比如看到一个三角形中有一个锐角，就错误地认为是锐角三角形，而忽略了需要三个角都是锐角才是锐角三角形。
五、图形的运动（二）
（一）轴对称图形
定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
常见图形的对称轴数量：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，圆形有无数条对称轴。
（二）平移
定义：物体或图形在平面内沿着某个方向移动，保持形状和大小不变，这种运动现象叫做平移。
特点：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
应用：通过平移可以将不规则图形转化为规则图形来计算面积等。例如，将一个不规则的图形通过平移转化为长方形，方便计算其面积。
（三）难点、易错点
难点：画出轴对称图形的另一半，需要准确找到对应点并使对应点到对称轴的距离相等，部分学生在找点和连线时容易出现偏差。利用平移计算不规则图形的面积时，如何准确地进行平移转化是难点，学生可能不能很好地找到平移的方向和距离。
易错点：在判断对称轴数量时，容易出现错误。比如把平行四边形也当作轴对称图形，实际上普通平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴。在描述平移时，容易遗漏平移的方向，只说平移的距离。
六、平均数与条形统计图
（一）平均数
定义：平均数是一组数据的总和除以数据的个数，能较好地反映一组数据的总体情况。
计算方法：平均数 = 总数量÷总份数。例如：一组数据 3、4、5，总数量为 3 + 4 + 5 = 12，总份数是3，平均数为 12÷3 = 4 。
（二）复式条形统计图
特点：用两种不同颜色或形式的直条来表示不同的数据，能更清楚地反映出各种数据的多少以及数据之间的差异。
绘制方法：（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。（3）在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量。（5）用不同颜色或形式区分不同的类别，并标注图例。
（三）难点、易错点
难点：理解平均数的意义，尤其是平均数与具体数据的关系。例如，平均成绩是85分，并不意味着每个同学的成绩都是85分，部分学生可能会混淆。在绘制复式条形统计图时，容易出现图例标注不清、直条宽度不一致、数据不准确等问题。
易错点：在计算平均数时，容易忘记除以总份数。如求 2、4、6的平均数，有的同学可能只计算 2 + 4 + 6 = 12，而忘记除以3，得到错误结果12，正确的平均数是$12÷3 = 4$ 。在读取复式条形统计图的数据时，容易看错图例，导致数据读取错误 。
七、数学广角——鸡兔同笼
（一）问题解法
1. 假设法：
• 假设全是鸡：兔的只数 =（总脚数 - 鸡脚数×总头数）÷（兔脚数 - 鸡脚数） 。例如，鸡兔同笼，有20个头，54只脚，假设全是鸡，鸡脚数为2×20 = 40只，比实际脚数少54 - 40 = 14只，每把一只兔当成鸡就少算4 - 2 = 2只脚，所以兔有14÷2 = 7只，鸡有20 - 7 = 13只。
• 假设全是兔：鸡的只数 =（兔脚数×总头数 - 总脚数）÷（兔脚数 - 鸡脚数） 。还是上述例子，假设全是兔，兔脚数为4×20 = 80只，比实际多80 - 54 = 26只脚，每把一只鸡当成兔就多算4 - 2 = 2只脚，所以鸡有26÷2 = 13只，兔有20 - 13 = 7只 。
2. 列表法：通过列表依次列举鸡和兔的数量，计算对应的脚数，找到符合条件的答案。但这种方法在数据较大时比较繁琐。例如，从鸡有1只兔有19只开始列举，计算脚数，直到找到脚数为54的情况。
（二）难点、易错点
• 难点：理解假设法的解题思路，尤其是对假设后数量差异的分析。例如在假设全是鸡或全是兔后，为什么用总脚数的差值除以单只鸡兔脚数的差值就能得到另一种动物的数量，部分学生较难理解。
• 易错点：在运用假设法计算时，容易混淆公式中各个量的含义，导致计算错误。比如在计算兔的只数时，可能会错误地用（兔脚数×总头数 - 总脚数）÷兔脚数，而不是除以（兔脚数 - 鸡脚数） 。