2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期第三次月考数学教学诊断检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期第三次月考数学教学诊断检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数的定义域为，且，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3. 直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 或1
4. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
5. 为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：）
A. 5个月B. 6个月C. 7个月D. 8个月
6. 在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（ ）
A. 有最大值12B. 有最大值6
C 有最小值D. 有最小值
8. 已知函数（表示不超过的最大整数），，若对任意的，总存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C D.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数关于的方程，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则方程恰有4个不同的解
B. 若，则方程恰有5个不同的解
C. 若方程恰有2个不同的解，则或
D. 若方程恰有3个不同的解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. “”是“一元二次方程有实数解”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”）
13. 已知，，则______．
14. 已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
四、解答题：本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数f（x）＝x2－ax＋2．
（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；
（2）当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．
16. 已知函数.
（1）若时，求的最小值；
（2）若恒成立，求实数取值范围.
17. 已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求的最小值.
18. 若至少由两个元素构成有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
（1）判断是否为“集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“集合”．
2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期第三次月考数学教学诊断
检测试题
一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.
【详解】对于A，图中阴影部分表示，故A错误；
对于B，图中阴影部分表示，故B错误；
对于C，图中阴影部分表示，故C正确；
对于D，图中阴影部分表示，故D错误.
故选：C.
2. 已知函数的定义域为，且，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由已知可得，即的周期为，可得，即可求范围.
【详解】解：，
，
即，
即，
所以4上函数的一个周期，
，
.
故选：C.
3. 直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 或1
【正确答案】C
【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.
【详解】因为：，：垂直，
所以，
解得或，
将，代入方程，均满足题意，
所以当或时，.
故选.
4. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由导数在上存在变号零点即可求解.
【详解】由题可得，
若函数在上不单调，则时，，
故，则．
故选：A．
5. 为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：）
A. 5个月B. 6个月C. 7个月D. 8个月
【正确答案】A
【分析】由题意可计算出、的值，再令，代入所给函数关系式计算即可得.
【详解】由题意可得，，
即有，即，则，
令，即，即，
则.
故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月.
故选：A.
6. 在平面直角坐标系中，已知点角终边上一点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由终边上点的坐标求出，由的范围及求得，最后由公式求值即可.
【详解】由点为角终边上一点得，，
，又，，∴，∴，
∴.
故选：D
7. 若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（ ）
A. 有最大值12B. 有最大值6
C. 有最小值D. 有最小值
【正确答案】A
【分析】构造函数，证明函数为奇函数，利用奇函数的性质可得最大值，由得解.
【详解】设，
因为，所以的定义域为，关于原点对称，
，
即为奇函数，且，
因为在上有最小值，所以在上有最小值，
由奇函数的对称性知，在上有最大值，
所以在上有最大值，
故选：A
8. 已知函数（表示不超过的最大整数），，若对任意的，总存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用导数求函数的单调区间和极值，则在极小值和极大值之间，又，列不等式求的取值范围.
【详解】，，
解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
时，有极大值；
时，有极小值，
时，；时，，
若对任意的，总存在三个不相等的实数，，，使得，
则有，
，，即，
所以，解得.
故选：D.
点睛】关键点点睛：
本题除了利用导数研究函数单调性和极值，关键点是理解的意义，得到和的结论.
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】A直接应用基本不等式判断；B由代入目标式，结合二次函数性质判断；C、D利用基本不等式“1”的代换判断.
【详解】对于A，因为，且，所以，
则，当且仅当时等号成立，正确．
对于B，由，得，又，所以，则，
所以，当且仅当，即时等号成立，正确．
对于C，，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，错误．
对于D，由，
当且仅当，即时等号成立，正确．
故选：ABD
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】A选项，两式平方后相加得到；D选项，由得到；B选项，利用同角三角函数关系得到；C选项，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.
【详解】A选项，因为，两式平方后相加可得
，所以，故A错误；
D选项，因为，所以，
又，故，
由于，故，
又，所以，故D正确；
B选项，，故B正确；
C选项，，
故，故C错误.
故选：BD.
11. 已知函数关于的方程，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则方程恰有4个不同的解
B. 若，则方程恰有5个不同的解
C. 若方程恰有2个不同的解，则或
D. 若方程恰有3个不同的解，则
【正确答案】BC
【分析】由得或，画出的图象，数形结合即可求解在不同条件下的取值范围.
【详解】因为，
所以，所以或，
的图象如图所示，由图可知与有两个交点.

对于A，若且，则方程恰有2个不同的解，故A错误；
对于B，若，则与有3个不同的交点，此时方程恰有5个不同的解，故B正确；
对于C，若方程恰有2个不同的解，
当与没有交点时满足题意，此时；
当时，方程恰有2个不同的解，此时，
故若方程恰有2个不同的解，则或，故C正确；
对于D，若方程恰有3个不同的解，则，则与有1个交点，此时或，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. “”是“一元二次方程有实数解”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”）
【正确答案】充分不必要
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得，
所以由推得出一元二次方程有实数解，故充分性成立，
由一元二次方程有实数解推不出，故必要性不成立；
所以“”是“一元二次方程有实数解”的充分不必要条件.
故充分不必要
13. 已知，，则______．
【正确答案】
【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可.
【详解】由得：,
由得：,
所以，,
所以.
故
14. 已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【正确答案】(01)∪(1,4)
【详解】y＝
函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，
kMA＝0，kMB＝4.

当k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．
点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数f（x）＝x2－ax＋2．
（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；
（2）当时，若关于x不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值；
（2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围．
【小问1详解】
若f（x）≤－4的解集为[2，b]，则的解集为[2，b]
所以，解得
【小问2详解】
由f（x）≥1－x2得对恒成立
即在区间恒成立，所以
又，当且仅当时，取等号
所以，即，故实数的取值范围为
16. 已知函数.
（1）若时，求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）求导，令，可得，进而可得左右两侧的导数值的正负，可求最小值；
（2）分离变换可得，令，可得，利用导数求得最大值即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，f′x0，在上单调递增，
.
【小问2详解】
由
，令，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减
.
17. 已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求的最小值.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解.
【小问1详解】
易知，因为，所以，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
当时，由，得到，
当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，时，在上单调递增，
时，的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
因为当时，时，，
由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立，
即恒成立，得到，
所以，
令，则，由，得到，
当时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故的最小值为.
18. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
（1）判断是否为“集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“集合”．
【正确答案】（1）不，理由见解析；
（2）；
（3），其中.
【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可；
（2）设，进而研究或是否存在正整数解即可；
（3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解.
【小问1详解】
因为，所以不是“一集合”．
【小问2详解】
设．
若，则或．
由，解得（舍去），此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
若，则或，
由，解得，此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
综上，所有满足条件的集合为．
【小问3详解】
若“集合”为双元素集，
不妨设，则或，
由，则，而，故，此时；
由，则，而，显然不存在正整数解；
所以，“集合”为，其中．
若“集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为，
则是“集合”中的元素，
若，解得，
若，则，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
故所有满足条件的“集合”为，其中．
关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解.