2024-2025学年河南省信阳市高一上学期期中数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省信阳市高一上学期期中数学质量检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答，用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合,，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用并集和补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合,，则或，
又因为全集，则.
故选：A.
2. 全称量词命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“”的否定是.
故选：B.
3. 下列对应是集合A到集合B上的映射的个数是（ ）
（1）A=R，B=N*，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值，与B中的元素相对应；
（2）A={1，-1，2，-2}，B={1，4}，对应关系f：f：x→y=x2，x∈A，y∈B；
（3）A={三角形}，B={x|x＞0}，对应关系f：对集合A中的三角形求面积，与集合B中的元素对应
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】C
【分析】由题意，根据集合A到集合B的映射的概念，逐一判定，即可得到答案.
【详解】由题意，对于（1）：A中元素0取绝对值后还是0，B中元素全部是正整数，没有对应元素，故不是A到B上的映射； 对于（2）：A中四个元素分别平方后所得值，都有B中元素与之对应，故是A到B上的映射； 对于（3）：A中每个三角形的面积，都有B中的一个正数与之对应，故是A到B上的映射，故选C．
本题主要考查了映射的基本概念，其中解答中熟记映射的概念，根据映射的概念合理判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）.
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由复合函数定义域的求法可解.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，且，
解得.
故选：A
5. 汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案——甲：每次加油的总金额固定；乙：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（ ）
A. 甲方案实惠B. 乙方案实惠
C. 哪种方案实惠需由两次油价决定D. 两种方案一样实惠
【正确答案】A
【分析】设两次加油的油价分别为，且.将两次加油的平均油价分别用表示出来，作差即可比较大小.
【详解】设两次加油的油价分别为，且.
甲方案：设每次加油总金额为，则平均油价；
乙方案：设每次加油量为，则平均油价.
则，
因为，，且，
所以，，，
所以，.
所以，，甲方案实惠．
故选：A.
6. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】变形函数解析式，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，函数的定义域为，选项AC都不满足；
而当时，，选项B不满足；
函数的图象是直线在的部分与直线在的部分组成，D满足.
故选：D
7. 已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出当时，的取值范围为，所以若函数的值域是，则当时，，即恒成立。即可求出的取值范围.
【详解】对称轴为，
∴在单调递增，在，单调递减.
∴当时，的取值范围为，
若函数的值域是，
则当时，，即恒成立，
∴即.
故选：D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意得到在单调递减，结合奇函数性质得到在单调递减，，结合奇函数性质将不等式转化为，再结合已知条件列出不等式组求解即可.
【详解】因为对任意的，都有，此时，则，
所以在单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，
所以当和时，；当和时，.
由，即，
所以或或或，
所以或或或无解，
所以原不等式解集为
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于实数a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】BCD
【分析】根据不等式的基本性质判断ABC选项，根据作差法判断D选项.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，由，且，所以，故B正确；
对于C，由，可得，故C正确；
对于D，由，
又，所以，，，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D.
【详解】幂函数的定义域为，
，，
∵函数在单调递增，，
∴，即，故A正确；
，，
∵函数在单调递减，，即，
∴，即，故B错误；
∵幂函数上单调递增，，
∴，，即，∴，故C正确；
，
∵，
∴，即，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论．
【详解】关于的不等式的解集是，
所以，且是一元二次方程即的两根，
所以，选项A正确；
，选项B正确；
，选项D正确；
由，可得：是错误的，即选项C错误．
故选：ABD．
12. 若正实数，满足，则下列结论中正确的有（ ）
A. 的最大值为.B. 的最小值为
C. 的最小值为2.D. 的最小值为.
【正确答案】AB
【分析】利用基本不等式求解最值判断ABC，利用消元法结合二次函数求得最值判断D.
详解】对于A项，因为，所以，
当且仅当时取等号，则的最大值为，故A项正确；
对于B项，因为
，当且仅当即时取等号，故B项正确；
对于C项，，
当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故C项错误；
对于D项，因为，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误.
故选：AB.
关键点点睛：本题的关键是要对所求式子进行变形，利用乘“1”法以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，由此即可顺利求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为_________.
【正确答案】
【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值.
【详解】由于幂函数，所以，解得或.
当时，，图象关于轴对称，符合题意.
当时，，图象关于原点对称，不符合题意.
所以的值为.
故
14. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围__________________．
【正确答案】或
【分析】题意说明不等式有解，由判别式大于0可得参数范围．
【详解】由题意，解得或，
故或．
15. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．
【正确答案】
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；
【详解】因为是偶函数，所以
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
解得：，
故答案为.
16. 已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】作出的函数图象，对x的符号进行讨论，根据不等式只有唯一整数解得出a的范围．
【详解】作出的函数图象如图所示：

①当时，，
存在唯一的整数x，使得成立，
只有1个整数解，又，
；
②当时，则，
存在唯一的整数x，使得成立，
只有1个整数解，又，，
；
当或时，只有1个整数解．
故答案为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数的定义域为A，集合.
（1）当时，求;
（2）若，求a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义求得结果；
（2）根据包含关系，分成，两种情况进行讨论.
【小问1详解】
由题意可得，，解得，即，
当a=2时，，
故，
【小问2详解】
若，则
①时，
②时，，，
综上，的取值范围为.
18. 设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.
【正确答案】
【分析】将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可.
【详解】依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，
即有实数解，
于是得，
当时，二次函数图象开口向下，要有解，
当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是.
19. 已知，都是正数，且．
（1）求的最小值及此时x，y的取值；
（2）不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）时，的最小值为9
（2）
【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
（2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
因为，都是正数，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为．
【小问2详解】
由，得，
故，
又，
当且仅当，即，时等号成立，取得最小值，
故的取值范围为．
20. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a个单位（且）的治污试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．
（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？
（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m的最小值．
【正确答案】（1）7天； （2）.
【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；
（2）由题设，将问题化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.
小问1详解】
因为一次投放4个单位的治污试剂，
所以水中释放的治污试剂浓度为，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上，，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．
【小问2详解】
设从第一次投放起，经过天后浓度为．
因为，则，，
所以，即，令，，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2.
21. 已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）求证在上是增函数；
（3）若，解关于的不等式.
【正确答案】（1）,证明见解析
（2）证明见解析 （3）或
【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造即可；（3）运用题干的等式，求出，结合（2）的单调性即可.
【小问1详解】
令，得.
，所以函数为奇函数；
【小问2详解】
证明：在R上任取，则，所以.
又，
所以函数在R上是增函数.
【小问3详解】
由，得，.
由得.
因为函数在R上是增函数，
所以，解得或.
故原不等式的解集为或.
22. 已知函数，．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）已知为非零实数，记函数的最大值为，求．
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域；
（2）令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.
【小问1详解】
定义域：，
当时，，
∴，
∴；
【小问2详解】
，令，
则，
设，，
1°若，
此时二次函数对称轴，开口向上，则.
2°若，此时对称轴：，
①当即时，开口向下，则；
②当即，对称轴，开口向下，则，
③即时，开口向下，；
综上.