北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. 
C. D.
2. 已知，，则第几象限角（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3. 设，且，则（ ）
A B. C. D.
4. 若数列满足，且，则数列前项和等于（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增且存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 复数，则__________________.
12. 曲线在点处的切线方程为________．
13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______．
14. 若函数有零点，则k的取值范围为________．
15. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为R；②数列与函数均单调递增；③使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”．有下面四个结论：
（1）与具有“单调偶遇关系”
（2）与不具有“单调偶遇关系”
（3）与数列具有“单调偶遇关系的函数有有限个
（4）与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个
其中正确结论的序号为__________．
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（1）求的解析式；
（2）设，，求函数的最小值与单调递减区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，判断的单调性．
18. 如图，在三棱柱中，平面，

（1）求证：平面；
（2）若，求
①与平面所成角的正弦值；
②直线与平面的距离.
19. 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率.
（1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（2）从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（3）从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）
20. 设函数，.曲线在点处的切线方程为.
（1）求a的值；
（2）求证：方程仅有一个实根；
（3）对任意，有，求正数k的取值范围.
21. 对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（1）写出集合和；
（2）证明：对任意，存在，使得；
（3）设集合求证：中元素个数是完全平方数．
北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月月考数学
检测试题
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. 
C. D.
【正确答案】B
【分析】先解一元二次不等式求出集合,再根据真子集定义判断即可.
【详解】因为，，
所以
故选：B.
2. 已知，，则为第几象限角（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【正确答案】C
【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解.
【详解】由，可得，，
故为第三象限角，
故选：C
3. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】对于A、D：取特殊值判断；对于B：利用不等式的可加性判断；对于C：利用幂函数的单调性即可判断.
【详解】A选项，取时，不等式不成立；
B选项，不等式两边加上同一个数，不等号方向不发生改变，故错误；
C选项，根据幂函数在R上为增函数知，故正确；
D选项，取，不等式不成立，故错误.
故选:C.
4. 若数列满足，且，则数列的前项和等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由等比数列定义和通项公式可得，然后由前n项和公式可得.
【详解】因为，且，所以数列是以2为公比的等比数列，又，得，所以.
故选：C
5. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
利用三角函数周期公式依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，由于函数不是周期函数，故排除A；
对选项B，由于函数，周期为，故排除B；
对选项C，由于函数的周期为，故排除C；
对选项D，由于函数的周期为，故D正确.
故选：D
6. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增且存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案；
【详解】对A，方程无解，不存在零点，故A错误；
对B，无解，不存在零点，故B错误；
对D，在单调递减，在单调递增，在(0,+∞)不具有单调性，故D错误；
故选：C.
本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.
7. 大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为，列出随机试验的样本空间，列出随机事件的样本点，利用古典概型概率公式求结论.
【详解】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为，
则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为，
随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点，
所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率.
故选：C.
8. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】对分类讨论，结合函数图象，即可求解.
详解】解：，
①当时，其图象如图1
函数的图象与直线的公共点只有1个，不符合题意．
②当时，其图象如如图2
函数的图象与直线的公共点不少于两个时，，解得；
③当时，其图象如如图3，结合图象，不符合题意．
综上所述：实数的取值范围是：．
故选：B
9. 已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将代入，可得，进而得到必要性成立，从而得到结论.
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，，
，
，即，充分性成立；
由得：，，即，
，
即，必要性成立；
“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
10. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由条件可得在上的取值范围要包含上的取值范围，分别求函数在，上的取值范围，列不等式可求结论.
【详解】若，，使成立，
则在上的取值范围要包含上的取值范围，
当时，，，
当时，，，
当时，，不合题意，
当时，，函数在单调递增，
则时，，
符合题意，
当，
若时，，函数在单调递减，
若时，，函数在上单调递增，
当时，函数取最小值，最小值为，
，
所以，解得，所以，
综上的范围是.
故选：A.
关键点点睛：本题解决的关键在于将条件，，使成立，转化为在上的取值范围要包含上的取值范围.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 复数，则__________________.
【正确答案】
【分析】利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】，因此，.
故答案为.
12. 曲线在点处的切线方程为________．
【正确答案】
【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果．
【详解】因为曲线，所以
将带入曲线中可得，带入导函数中可得，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以根据曲线方程计算出切点坐标，然后根据曲线的导函数计算出切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考查对导数的理解，是简单题．
13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】空1：根据全概率公式即可得到答案；空2：设事件，再利用条件概率即可得到答案.
【详解】根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为：
；
设事件“失踪的飞机后来被找到”，
事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则，
，，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，
它被找到的概率为：
，
故；．
14. 若函数有零点，则k的取值范围为________．
【正确答案】或
【分析】当时，可得1，故不是函数的零点，当时，有零点，即有解，故k的取值范围为函数的值域，求导，判断单调性并求出极小值，即可得k的取值范围．
【详解】当时，可得1，故不是函数的零点，当时，由函数有零点可得有解即，故k的取值范围为函数的值域，∵，令可得，故函数在上单调递减，上单调递增，且当时，函数值，当时，为函数的最小值且，故，综上可得的取值范围为或，故k的取值范围为：或.
本题考查利用导数求解函数极值（最值）问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程问题，再利用数形结合的思想来解决，属中档题．
15. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为R；②数列与函数均单调递增；③使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”．有下面四个结论：
（1）与具有“单调偶遇关系”
（2）与不具有“单调偶遇关系”
（3）与数列具有“单调偶遇关系的函数有有限个
（4）与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个
其中正确结论的序号为__________．
【正确答案】（1）（4）
【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项（1），（2）；以一次函数为例，可判断（3）；令，通过计算可判断（4），进而可得正确选项.
【详解】对于（1）：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足①，数列和均单调递增满足②，的前项和，由得，解得，所以使成立，满足③，故（1）正确；
对于（2）：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足①，数列和均单调递增满足②，的前项和，由得恒成立，所以使成立满足③，故
与具有“单调偶遇关系”，故（2）说法不正确；
对于（3）：以一次函数为例，，，，即整理得，只要方程有正整数解且即可，如方程中取，则有，即，对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故（3）说法不正确；
对于（4）：中，令．由得，取即可保证恒成立，故选项（4）正确，
故（1）（4）．
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（1）求的解析式；
（2）设，，求函数的最小值与单调递减区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【正确答案】（1）条件选择见解析，
（2），单调递减区间为
【分析】（1）由二倍角易得，函数为奇函数，故②不能选，若①和③同时选，不满足函数存在且唯一；选择条件①④，由相邻两条对称轴之间的距离可得周期，即得的值，由代入即可得的值；选择条件③④，由最大值得的值，进而得解析式.
（2）通过公式化简可得，由，计算出的范围，根据正弦函数的性质即可得最值与单调性.
【小问1详解】
为奇函数，故②不能选，
选择条件①③：
因为函数的最大值为1，所以，即，
因为，所以，的值不唯一，故不能选.
选择条件①④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，
所以，
因为，所以，即，
所以.
选择条件③④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，
所以，
因为函数的最大值为1，所以，即，
所以.
【小问2详解】
，
因为，所以，
当，即时，，
因为在上单调递减，
所以，所以，
所以函数在上的单调递减区间为.
17. 设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，判断的单调性．
【正确答案】（1）极小值为，无极大值
（2）答案见解析
【分析】（1）对求导，将代入，结合导数正负求解原函数的极值即可；
（2）结合，和二次函数性质判断导数正负，再判断单调性即可
【小问1详解】
由已知，的定义域为，，
当时，令，得，
又，所以．
当时，；当时，．
因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值．
【小问2详解】
由已知，的定义域为，，
令，
则在上递减，在上递增，
因此，有最小值．
①当时，，则，此时，函数在上单调递增；
②当时，令，可解得，或
此时，函数在和上单调递增；上单调递减．
综上：时，在上单调递增；
时，在和上单调递增；上单调递减.
18. 如图，在三棱柱中，平面，

（1）求证：平面；
（2）若，求
①与平面所成角的正弦值；
②直线与平面的距离.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）①；②.
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明即可；（2）建立坐标系，先求出平面的法向量，利用空间向量解决.
【小问1详解】
在三棱柱中，四边形为平行四边形.
所以，因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，，又，所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系，则，所以，，，设平面的法向量为，则
，即
令，则，，于是.
①设直线与平面所成的角为，则
.
所以与平面所成角的正弦值为.
②因为面，所以直线与平面的距离就是点到平面的距离
设A到面的距离为，则
19. 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率.
（1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（2）从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（3）从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）依题意根据古典概型计算公式可得结果；
（2）利用二项分布以及概率的加法公式计算即可得出结果；
（3）分别计算出所有取值对应的概率，再利用两点分布即可得出.
【小问1详解】
由题意可知，参与调查的学生由200人，
其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有：人，
设事件A：学生清楚垃圾分类后处理方式，
则.
小问2详解】
从样本高中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为，
从样本初中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为：，
设事件B：这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式，
则；
【小问3详解】
根据题意可知随机抽取1名男生清楚垃圾分类后处理方式的概率为，
随机抽取1名女生清楚垃圾分类后处理方式的概率为，
因此可得，，
同理可得，，
由两点分布公式计算可得；
可得.
20. 设函数，.曲线在点处的切线方程为.
（1）求a的值；
（2）求证：方程仅有一个实根；
（3）对任意，有，求正数k的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；
（2）分，，，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；
（3）令，分，两种情况，利用导数讨论最值即可得解.
【小问1详解】
解：因为，所以，
又点在切线上，所以，
所以，即.
【小问2详解】
证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，
令，则，
令，则，
讨论：（1）当时，，
所以ℎx在0,+∞上单调递增，所以，即，
所以在0,+∞上单调递增，，即此时无零点；
（2）当时，，即此时有一个零点；
（3）当时，
所以，当时，gx