2023-2024学年安徽省六安市九年级上学期期末沪科版综合模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市九年级上学期期末沪科版综合模拟数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共40分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的定义，可知：是中心对称图形，
故答案选：C．
2. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】B
【解析】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选B．
3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，
A．添加，不能判定，故本选项符合题意；
B．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
C．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
D．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 已知，则锐角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，
∵cs30°=，cs45°=，
∴若锐角的余弦值为，且
则30°＜α ＜45°；
故选B．
5. 在中，，，，则等于（ ）
A. 6B. 7.5C. 8D. 10
【答案】A
【解析】在中，∵，
∴，
故选：A．
6. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线与x轴交于（m，0）和（m+3，0）
∵抛物线经过四个象限，且a=1>0
∴
∴
故选：C．
7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cs∠ACB的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，延长AD到M，使得DM=DF，连接BM．
∵BD=DC，∠BDM=∠CDF，DM=DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF=BM=9，∠M=∠CFD，
∵CE∥BM，∴∠AFE=∠M，
∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∴∠BAM=∠M，
∴AB=BM=9，
∵AE=4，∴BE=5，
∵∠EBC=90°，∴BC==12，
∴AC==15，
∴cs∠ACB= ，
故选：D．
8. 如图，在中，D、E是边三等分点，是边的中线，、分别与交于点G、H，若，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过F作，交于P，过H作，交于Q，

∴
∵是边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵D、E是边的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
，
∵，
在中，，，
根据勾股定理得，
故选A．
10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ②③⑤C. ②③④⑤D. ②③④
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴，所以②正确；
∵时，，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，所以③正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），
即，所以④正确；
∵图象经过点时，方程的两根为，
∴二次函数与直线的一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
即，
∴，所以⑤错误．
故选：D．
二、填空题（共20分）
11. 如图，点A、B、C在上，，连接BO并延长，交于点D，连接AC、DC、若，则的大小为______°．

【答案】
【解析】，，
，
，
，
是直径，
，
，
故答案为：．
12. 如图，已知在中，，，，点、分别在边、上，且，若把的面积平分，则________．

【答案】
【解析】过点作于点，如图

∵，，，∴，
∵，∴，∴，
在中，，
即，
解得（负值已舍去），
∴，
∵，
故，
即，
解得，
∴，
在中，，
即，
解得（负值已舍去），
故答案为：．
13. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，则点的坐标为_________．
【答案】
【解析】在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点在函数上，
将、代入得 ，
解得，，
∴，
设，过点作轴，垂足为，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
联立，得，
∴，，
故答案为：．
14. 如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，F为边上一点，，连接并延长交线段于点G，连接交于点M，连接交于点N．则下列结论：
①；②；③；④当时，．
其中正确的有 ___________．（填序号）
【答案】①③
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确，
若，
∵，
∴，
而不一定是，
故②错误，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，
作于H，
∵是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故④错误，
∴正确的是①③．
故答案为：①③．
三、解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分）
15. 计算：．
解：
．
16. 新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3]
（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 ．
（2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
解：（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为[，−1，−1]；
故答案为[，−1，−1]；
（2）二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，
根据题意得：△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，
解得：m1＝−1，m2＝．
17. 如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标．
解：（1）分别把点、代入直线可得：，
∴，，
∵反比例函数的图像过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为．
（2）由（1）得：，，
∴不等式的解集为或．
（3）把代入得：，即点C的坐标为：，
∴，
∵，
∴，∴，
当点P纵坐标为3时，则，解得：，
当点P的纵坐标为时，则，解得．
∴点P的坐标为或．
18. 如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
（1）证明：是的直径，
，即．
为的切线，
，
．
，
，
又，
，
．
（2）解：设，则．
，
，
，．
，
，
，
解得（舍去）或，
，
，即的半径为5．
19. 如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，∴．
20. 如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向．
（1）求的长度．（结果精确到个位）
（2）目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：）
解：（1）预备知识：如图1，在以，，的中，作．
∵
∴
∴在中，，
∴由锐角三角函数可得，，
∴，
在中，．
如图，过点作于点，由题意可得，
，
．
设，
则，
∴在中，
，
∴
∴
，
∴，
．
由勾股定理得，
∴（海里）．
（2）由（1）知，，
∴从观测站行驶距离：（海里）
时间：（小时）；
从观测站行驶距离（海里）
时间：（小时）
∵，
∴观测站的搜救艇可以更快到达处．
21. 如图，为直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且．
（1）求的长；
（2）当时，
① ；
②求阴影部分的周长和面积．
解：（1）为的直径，
，
为中点，O为中点，
且，
，
，
∵弦于点E，
，
；
（2）①∵弦于点E，
，，
，，
，，
．
故答案为：；
②连接，
，，
，
．
在，
，，，
，，
的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积．
22. 已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第三象限抛物线上一动点，作轴，垂足为D，连接．
①如图1，若，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长．
解：（1）抛物线过点和点，代入得：
，解得：，；
（2）①如图1，设直线交轴于点，
，
轴轴，轴，
，
，
，
，
，，
，点，
设直线的解析式为：，
点和点，代入得：，解得，
直线的解析式为：，
，解得，（舍去），
当时，，；
②如图2，
设点，四边形的周长记作，
当点在第三象限，作轴于，如图2，
令二次函数的得，，
解得，，
，
设直线的解析式为，
过和点，
，解得，
直线的解析式为，
点与关于对称，
，，
轴，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
平行四边形为菱形，
，
轴，，
，
，，，
，即，，
，
，解得：（舍去），，
，；
四边形的周长为：．
当点P在第二象限时，
同理可得：，解得，（舍去），
∴，
四边形的周长为：．
综上所述：四边形的周长为：或．
23. 四边形ABCD是正方形，E是AB边上的一点，G是DE上的点，是等腰直角三角形，．
（1）如图1，连接DF、EF，若点G是DE的中点：
①求的度数；
②连接BF，证明：；
（2）点E是AB的中点，点G是射线DE上一点时，如图2，已知，当FG与正方形ABCD的对角线平行，求DG的长．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵点G是DE的中点，则AG是斜边DE上的中线，
∴，
又是等腰直角三角形，则，
∴，
∴，，
∴；
②由①可知，
∴，，
∴，
∴点F位于正方形ABCD的对角线BD上，
又由①可知之，∴，
∴四边形AEFD有外接圆，
∴，即，
又，∴；
（2）如图1，当AF与AB重合时，，则，
∵，点E是AB的中点，∴，则，
在中，，，∴．
∴；
如图2，当点G是DE与CB的延长线的交点时，由得，
又，
∴，故此时．
∵，
∴．在中，，，
故．
综上所述，DF的长为或．