2025高考数学考点剖析精创专题卷四-平面向量【含答案】

这是一份2025高考数学考点剖析精创专题卷四-平面向量【含答案】，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，点D在边AB上，.记，，则( )
A.B.C.D.
2．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
3．已知向量，，，若正实数m，n满足，则的值为( )
A.B.C.D.
4．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上.若，则( )
A.B.C.D.
5．已知向量，，若，则( )
A.-2B.-1C.1D.2
6．已知向量a，b满足，，且，则( )
A.B.C.D.1
7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知中，，，，点D在BC边上，且，则线段AD的长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结果为零向量的是( )
A.B.
C.D.
10．已知向量，，，则( )
A.B.向量a，b的夹角为
C.D.a在b上的投影向量是
11．若正方形ABCD中，O为正方形ABCD所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是( )
A.可以是平面内任意一个向量
B.若，则O在直线BD上
C.若，，则
D.若，则
三、填空题
12．设D为所在平面内一点，.若，则__________.
13．已知平面向量，，且，则_________.
14．如图，在矩形ABCD中，，，E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是__________.
四、解答题
15．给定三个向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数k的值.
16．如图，AB为半圆O的直径，，C为上一点（不含端点）.
（1）用向量的方法证明；
（2）若C是上更靠近点B的三等分点，Q为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
17．如图，在平行四边形中，，垂足为P.
（1）若，求的长；
（2）设，，，，求的值.
18．已知四边形ABCD的顶点坐标为，，，且.
（1）若点C在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点M为直线AC外一点，且，问实数为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点.
19．如图，在直角三角形ABC中，，，D，E分别是线段AB，BC上的点，满足，，.
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案与详细解析
一、选择题
1．答案：B
解析：如图，因为点D在边AB上，，所以，故选B.
2．答案：B
解析：为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为在的平分线上的向量的方向.
又因为，所以的方向与的方向相同.因为，所以，所以点P在上移动，即点P的轨迹一定通过的内心.
3．答案：A
解析：因为，，，所以，所以解得所以.故选A.
4．答案：C
解析：由题可知，因为点F在BE上，所以存在实数使得，即.从而有，解得.所以.故选C.
5．答案：D
解析：解法一：因为，所以，即.因为，，所以，，得，所以，解得，故选D.
解法二：因为，，所以.因为，所以，所以，所以，解得，故选D.
6．答案：B
解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B.
7．答案：A
解析：解法一：如图，过点P作直线AB于，过点C作直线AB于，过点F作直线AB于，，当为锐角时，，当为钝角时，，所以当点P与C重合时，最大，此时，当点P与F重合时，最小，此时，又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点，所以.故选A.
解法二：连接AE，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设，则.
，，则，故选A.
8．答案：D
解析：由题意得，
因为，，，
所以
，
即线段AD的长度为.
故选D.
二、多项选择题
9．答案：BCD
解析：A项，；
B项，；
C项，；
D项，.
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：，，，
，，
，，故A错误；
，
又，向量a，b的夹角为，故B正确；
，，故C错误；
a在b上的投影向量为，故D正确.故选BD.
11．答案：ABD
解析：对于A，由题意，又，，以为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知可以是平面内任意一个向量，故A正确；
对于B，由向量共线的推论知，若，则O在直线BD上，故B正确；
对于C，由题设，则，所以，故C错误；
对于D，由，则，作E为BC的中点，连接OE，则，即，且，如图所示，所以，故D正确.故选ABD.
三、填空题
12．答案：-3
解析：因为，所以，即，又，所以，解得.
13．答案：3
解析：因为，
所以，所以.
又，，所以，解得，所以，所以.
14．答案：
解析：以A为坐标原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
则，，，.
设.
因为，
所以，
所以.
四、解答题
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题知，，
所以，
又因为，所以
解得所以.
（2）由题知，，
又因为与共线，所以，解得.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：建立平面直角坐标系如图所示.
由题意可知，，，
设，则，得.
由于，，
所以，
故，即.
（2）由题意知，则，连接OQ，
设，则，.
因为，，
所以，
又，所以，
故当，即时，取得最大值.
17．答案：（1）2
（2）
解析：（1）在平行四边形中，，垂足为P，
，
，
解得，故长为2.
（2），且B，P，O三点共线，
①，
又，，，
则，
由可知，
展开，化简得到②，
联立①②解得，，故.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，所以.
设点C的坐标为，，，则.
由，得解得
因为点C在第一象限，所以，，解得.
故实数的取值范围是.
（2）由得，
即，所以.
因为，所以，
又点P恰为四边形ABCD对角线的交点，
所以，则，又，
所以.
19．答案：（1）
（2）存在实数，使得
解析：（1）在直角三角形ABC中，，，
，，
，
，
，.
（2）存在.
，
令，得或（舍去）.
存在实数，使得