长沙四大名校高二寒假数学作业

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A.若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面
B.若，是两个不共线向量，而（且），则构成空间的一个基底
C.如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线
D.对于三个不共面向量，不存在实数组，使
2.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（ ）
A.OA B.OB C.OC D.OA或OB
3.下列能使向量成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．在四面体中，G是底面的重心，且，则（ ）
A． B． C．1 D．3
5.设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：
①，②，③，
其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
6.已知空间的一个基底，，若与共线，则________．
7.如图，四面体OABC的所有棱长都等于1，M，N分别是四面体OABC的棱
OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OQ＝
（用a，b，c表示），OP·OQ的值为 .
8.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1+2e2-e3，OB＝-3e1+e2+2e3，OC＝e1+e2-e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底，并说明理由.
9.如图，在三棱柱中，已知，点M，N分别是的中点，试用基底表示向量．


10.如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
（1）求证：AO，BO，CO两两垂直；
（2）求〈DM，AO〉.


空间向量基本定理
参考答案
1.AC 2.C 3.C 4.C 5.B 6.0 7. 13a+16 b+16c 1336
8.解：能.理由如下：假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使OA＝xOB+yOC成立，
所以e1+2e2-e3＝x（-3e1+e2+2e3）+y（e1+e2-e3），
即e1+2e2-e3＝（y-3x）e1+（x+y）e2+（2x-y）e3，
所以&y-3x=1,&x+y=2,&2x-y=-1,此方程组无解.
即不存在实数x，y使得OA＝xOB+yOC，
所以OA，OB，OC不共面.
所以{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
9.解：连接（图略）．
．
．
10. （1） 证明：设VA＝a，VB＝b，VC＝c，正四面体的棱长为1.
因为VD＝VB+BD＝VB+23×12（BA+BC）
＝VB+13（VA-VB+VC-VB）
＝13（VA+VB+VC）＝13（a+b+c），
AO＝VO-VA＝12VD-VA
＝16（a+b+c）-a＝16（b+c-5a），
BO＝VO-VB＝12VD-VB
＝16（a+b+c）-b＝16（a+c-5b），
CO＝VO-VC＝12VD-VC
＝16（a+b+c）-c＝16（a+b-5c），
所以AO·BO＝136（b+c-5a）·（a+c-5b）
＝13618×1×1×csπ3-9
=0，
所以AO⊥BO，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO，所以AO，BO，CO两两垂直.
（2）解：由（1）可得AO＝16（b+c-5a），
DM＝DV+VM＝-13（a+b+c）+12c＝16（-2a-2b+c），
所以|DM|＝16-2a-2b+c2＝12.
又|AO|＝16b+c-5a2＝22，
DM·AO＝136（-2a-2b+c）·（b+c-5a）＝14，
所以cs〈DM，AO〉＝DM·AODM·AO＝1412×22＝22.
又〈DM，AO〉∈［0，π］，所以〈DM，AO〉＝π4.