人教A版（2019）高一数学必修第一册简单的三角变换(2)-教学设计

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第一册简单的三角变换(2)-教学设计，共7页。
课例编号
2020QJ10SXRA059
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
简单的三角变换（2）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
王建光
北京市第二中学教育集团
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：（1）借助三角恒等变换，把形如的函数转化为形式的函数，并研究其性质；
（2）体会三角变换在解决实际问题中的作用，加深对函数概念的认识和化归思想的理解；
（3）在实际问题的解决过程中，感受数学应用的价值，发展数学建模和数学运算的素养．
教学重点：借助三角恒等变换，把形如的函数转化为形式的函数，并研究其性质．
教学难点：借助三角变换解决有关的实际问题．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动

（一）问题引导，引入新知
随着三角恒等变换工具的增多，可以实现角的和差变化，三角函数式结构的变化等．这节课，我们思考将这种变换实施在某些函数身上，使得它们在变换以后可进行深度研究．
例1 求函数的周期，最大值和最小值．
问题1：请同学们根据已有的三角函数的知识对例题进行分析，说出你的结论以及你的依据．
师生活动：教师提出问题，学生利用已学过的三角函数的性质分析函数的周期，最大值和最小值．
预案：函数和的周期均为2π，最大值为1，最小值为-1，由此猜测函数的周期为2π，最大值为，最小值为．针对学生的分析结论，师生开展讨论，相互交流．
因为，由周期函数的定义可知，是函数的周期，但是未证明是函数的最小正周期，证明的过程有能力的同学可以在课后尝试．
当时，取到最大值．因为，则当时，，所以函数的最大值是这个结论是不正确的．同理，函数的最小值不是．
问题2：我们还学过哪种类型三角函数的周期、最值的求解呢？
师生活动：在问题1得到矛盾后，教师引导学生回忆所学知识，函数（其中，，为常数，且，）的周期，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值．
设计意图：从一个具体的函数出发，引导学生复习三角函数的周期、最值的解法．在问题的分析过程中，明确化简的目标，为接下来的学习过程做好铺垫，同时培养学生逻辑推理的数学素养．
问题3：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 ，那是否可以将函数转化为的形式？
师生活动：教师提出问题，学生思索，交流，提出方案．
利用和角公式将展开，可化为．
令，得，
，，则，．
取，则，．因此，可以利用和角公式将转化为的形式．
解：
.
因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2.
设计意图：在明确化简目标后，将的展开式与进行对比，在差异中建立联系，确定对怎样进行变形，最后对进行变形、化简，求解函数的周期和最大值、最小值．
12分钟
（二）方法总结，巩固提升
练习1 求函数的周期，最大值和最小值．
师生活动：学生根据例1的分析，完成练习，巩固通过三角恒等变换化简函数表达式，分析函数有关的性质．
解：设，则
．
于是 ，，
于是 ，
所以 ．
取，则，．
由可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为-5.
问题4：请同学们将这种作法推广到函数．
师生活动：教师引导学生将例1的方法进行推广，因为利用和角公式将展开，可得的形式，其中，．反之，利用和（差）角公式，可将 转化为的形式，其中，，．进而就可以求得其周期和最值．
设计意图：学生完成练习，巩固所学的知识．学生通过特殊形式的函数再次明确转化的基本思路，并将问题一般化，实现从到的转化．
练习2 化简．
师生活动：教师给出了的类型的变换，学生在明确化简目标的前提下，将其转化为或的形式．
解：法1：将转化为．
计算，得，则
．
令，，即．
所以，
．
法2：设，则
．
则，．得．
取，则，，即．
所以，．
设计意图：对问题进行简单变形，给出了的类型，学生在确认转化目标的前提下，将其转化为或的形式．
6分钟
（三）应用方法，解决问题
角的概念起源于几何图形，三角函数与平面几何有着密切的内在联系．有很多实际生活中的问题会以角为变量，可建立以三角函数为背景函数进行研究．
例2 如图，在扇形OPQ中，半径OP = 1，圆心角∠POQ =，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α ，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
师生活动：教师给出问题，学生分析、交流．要研究矩形面积的最大值，可先建立矩形ABCD的面积S与α之间的函数关系S＝f(α)，再求函数S＝f(α)的最大值．学生根据三角函数式中角、三角函数名的不同，选择合适的公式，进行合理的变形，研究三角函数的性质．
解：在Rt△OBC中，OB = cs α，BC = sin α．
在Rt△OAD中，．．
设矩形的面积为S，则S = AB·BC

师生活动：学生会发现得到的函数的形式并不是，教师引导学生分析解析式的特点，利用倍角公式将其转化．
．
师生活动：得到的形式后，教师引导学生根据实际问题的背景分析自变量的取值范围，这是数学问题和实际问题联系的关键．
由，得，所以当，即时，．
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
设计意图：角的概念起源于几何图形，三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法，体会三角函数的价值和作用．
1分钟
（四）课堂小结，布置作业
课堂小结：教师引导学生回顾本节知识．这堂课我们学习了
（1）通过三角恒等变换，把形如的函数转化为形式的函数，研究函数的周期、最值问题；
（2）在几何问题中建立三角函数模型，通过三角恒等变换，解决平面几何中面积的最值问题．
设计意图：教师引导学生复习本节课的内容，加深所学知识的理解．
布置作业：P228 练习1，2．