人教A版（2019）高一数学必修第二册-向量的数乘运算的应用-1教案

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第二册-向量的数乘运算的应用-1教案，共5页。

教学基本信息
课题
向量的数乘运算的应用
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人教社A版 出版日期： 2019年 6月
教学设计参与人员
姓名
单位
联系方式
设计者
廖北怀
北京景山学校
实施者
廖北怀
北京景山学校
指导者
雷晓莉
东城教师研修中心
课件制作者
廖北怀
北京景山学校
其他参与者
许云尧
北京景山学校
教学目标及教学重点、难点
本节课由向量数乘运算的定义出发，探究非零向量a与向量b共线的充要条件，即向量共线定理，并对该定理的应用进行探究和练习。在这个过程中，体会数学逻辑的严谨性，以及向量在解决几何问题中的工具性，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
上节课，我们学习了向量的数乘运算，这节课我们继续学习向量数乘运算的应用，在学习之前，我们先复习一下向量的数乘的定义：
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ倍向量a，它的长度与方向规定如下：
(1) | λa | ＝ | λ | | a | ；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.
特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.
特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
承上启下，为本节.课的学习做好铺垫。
新课
探究1
若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？
当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.
当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
规定零向量与任意向量平行.
平行向量也叫共线向量.
结论： b = λa b // a .
a
λa
探究2
若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？
(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.
(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.
(3)当a=0， b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.
(4)当a=0， b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.
结论：
所以当b//a ，a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.

问题：
若存在唯一一个实数λ，使得b=λa能推出 b//a ，a≠0吗？
分析：
若a=0，则b=λa=0，此时，λ可以取任意实数，不唯一
.
定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.
判断：
(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )
(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb； ( )
(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则实数λ=μ=0.
( )
应用1
若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b共线。
1．证明向量共线
例如：已知，试证向量a，b共线。
2．证明两直线平行
，且直线AB与CD不重合
直线 AB//CD
3．证明三点共线
A,B,C三点共线
或 或 ……
引导学生发现向量的数乘运算中其实就蕴含了向量的平行，并从几何角度进行了适当的阐述，希望学生能直观地角度加以理解。进而得出要推证的定理。
提出探究问题
通过对不同情形的分析，培养学生思考问题的严密性，逻辑推理的严谨性
推理得出结论是正确的
进一步提出要探究的问题引发学生的思考
学生体会反证法在证明中的作用
师生一起归纳得出定理的内容，培养学生的归纳能力，语言表达能力
通过辨析题，让学生加深对定理的理解与认识
引导学生从多方面发现定理的运用必要性解决问题的常见类型：
（1）证明向量共线，并举例说明，(2) 证明两直线平行,(3) 证明三点共线
培养学生善于思考，勇于探究的学习习惯
例题
例1 已知任意两个非零向量a，b，试作
，．猜想 A，B，C三点之
间的位置关系，并证明你的猜想．
猜想：A，B，C三点共线.
证明：
∴ A，B，C三点共线.
通过学生操作、观察，掌握利用向量共线判断三点共线的方法，培养学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观相象和逻辑推理素养。
新课
应用2
若向量a(a≠0)与b共线，则 存在唯一一个实数λ，使b=λa.
与非零向量a同向的单位向量为_______ .
与非零向量a共线的单位向量为_____.
进一步提出定理的用法，加深对定理的理解
例题
例2 已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，
共线，求实数t的值．
解：∵ a，b不共线，
，
∵ a，b不共线，
∴a // b .
与已知矛盾.
让学生熟练运用向量共线定理，体会知识之间的联系。
总结
本节课从复习向量数乘运算的定义出发，探究了非零向量a与向量b共线的充要条件（定理），并对该定理的应用进行了探究和练习。在这个过程中，充分体现了数学逻辑的严谨性，向量在解决几何问题中的工具性，让我们的直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养得以提升。
总结概况所学内容，方法，让学生形成反思的习惯，提升分析问题解决问题的能力。
业
1．已知a，b是不共线的向量，且 ，
， ，则( )．
(A) A，B，D三点共线
(B) A，B，C三点共线
(C) B，C，D三点共线
(D) A，C，D三点共线
2．已知若 ， 是不共线的向量，且， ，若a与b是共线向量，求实数k的值．
巩固所学内容