考点57圆锥曲线中探索性与综合性问题-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）

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【核心题型】
题型一 探索性问题
存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
【例题1】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点．
(1)求的值；
(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【变式2】（2024·上海崇明·一模）已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点．
(1)若直线平行于轴，求线段AB的长；
(2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程；
(3)已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【变式3】（2022·广东茂名·一模）已知椭圆C：经过点，其右焦点为Fc,0，下顶点为B，直线BF与椭圆C交于另一点D，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为坐标原点，过点M作x轴的垂线，垂足为A，过点A的直线与C交于P，Q两点，直线OP与交于点H．直线OQ与交于点G，设的面积为，的面积为，试探究是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．
题型二 圆锥曲线的综合问题
圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0.
【例题2】（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点.
①设内切圆的圆心为，求的最大值；
②设，证明：为定值.
【变式1】（2023·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过点P的直线与C交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)若点A是线段的中点，求点A的坐标；
(2)若直线与C交于点D，记内切圆的半径为r，求r的取值范围．
【变式2】（2024·海南海口·模拟预测）对于二次曲线，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为．已知椭圆，，动圆，点是与在第一象限的交点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；
(3)若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．
【变式3】（2024·山东临沂·二模）已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)直线l与E相交于A，B两点，
（i）若l过原点，点C为E上异于A，B的一点，且直线AC，BC的斜率，均存在，求证：为定值；
（ii）若l与圆O：相切，点N为AB的中点，且，试确定圆O的半径r.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·四川·一模）设抛物线：（）的焦点为，点（）是上一点．已知以为圆心的圆与轴相切，与线段相交于点，，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于两点，四边形的周长为，若的面积是的面积的2倍（为坐标原点），则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·上海·三模）在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在x轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
二、多选题
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线，其中，则（ ）
A．存在使得C为两条直线
B．存在使得C为圆
C．若C为椭圆，则越大，C的离心率越大
D．若C为双曲线，则越大，C的离心率越小
5．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线，过焦点F的直线与C交于两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．存在弦，使得中点的坐标为B．当时，
C．的中点到准线的距离小于D．当直线的斜率时，
三、填空题
6．（2023·甘肃兰州·模拟预测）若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 .
四、解答题
7．（2024·安徽阜阳·一模）已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点的横坐标为2，求的长;
(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围
(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·贵州遵义·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，直线与椭圆交于两点（点在点上方），为坐标原点，以为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则的离心率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖南湘西·模拟预测）过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·福建泉州·二模）双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过的直线l，使得取到最大值
D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为
二、多选题
9．（2024·河南新乡·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．点的纵坐标之积与有关D．若（为坐标原点），则
10．（2024·全国·模拟预测）已知动直线过抛物线的焦点，与C交于A，B两点，分别在A，B两点作抛物线C的切线，设两条切线交于点．线段的中点为．则（ ）
A．B．
C．线段的中点在抛物线上D．面积的最小值为4
11．（2024·云南大理·一模）法国数学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为圆，过上的动点作的两条互相垂直的切线，分别与交于两点，直线交于两点，则（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．面积的最大值为7
C．的最小值为
D．若动点在上，将直线的斜率分别记为，则
三、填空题
12．（2023·四川·模拟预测）已知抛物线，圆M过定点，圆心M在C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，记，，则的最大值为 ．
13．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 .
14．（2024·安徽六安·模拟预测）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
16．（2024·宁夏吴忠·一模）设椭圆的离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点.
①若直线与轴相交于点，且，求的值；
②已知椭圆的上､下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？
17．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割线”．
(1)证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”；
(2)试探究双曲线在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的“切线相依割线”，若不存在，请说明理由．
18．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.

(1)求面积的最大值；
(2)设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由.
19．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则曲线的离心率
B．若，则曲线的离心率
C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则
D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得
2．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点集，且，，点O是坐标原点，其中正确结论的个数有（ ）
①点集M表示的图形关于x轴对称
②存在点P和点Q，使得
③若直线经过点，则的最小值为2
④若直线经过点，且的面积为，则直线的方程为
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、多选题
4．（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（ ）
A．圆和圆外切B．圆心在直线上
C．D．的取值范围是
5．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线，均有
B．不存在直线，满足
C．对于任意直线，直线与抛物线相切
D．存在直线，使
三、填空题
6．（2023·吉林·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为 ，若的垂心为点H，则的最小值是 ．
7．（2024·北京顺义·三模）已知直线l经过点，曲线：.
①曲线经过原点且关于对称；
②当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为；
③当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2
以上说法正确的是
四、解答题
8．（2024·四川内江·模拟预测）已知椭圆，点是椭圆上的动点，是左、右焦点，是的重心，且到点与点的距离之和为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点，与椭圆交于A，B两点．若成等比数列，求的值．
9．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．
(1)当时，求的值；
(2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．
10．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是一个动点，过点且与直线平行的直线与直线相交于点（点位于第一象限），过且与直线平行的直线与直线相交于点（点位于第四象限），如图，且四边形的面积为，动点的轨迹为曲线．

(1)求的方程．
(2)过点的直线与相交于两点，是否存在定直线，使得以为直径的圆与直线相交于两点，且是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．