考点61列联表与独立性检验-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）

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【考试提醒】
1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．
【知识点】
1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．
2．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
(2)计算随机变量χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
如表为5个常用的小概率值和相应的临界值．
【核心题型】
题型一 列联表与χ2的计算
2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．
【例题1】（2024·宁夏银川·一模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
附：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
【答案】C
【分析】根据题中条件计算可判断选项A、B；根据列联表计算出的值，即可判断选项C,D.
【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是，
成绩非优秀的学生数是75，所以，
选项A、B错误；
根据列联表中的数据，
得到
因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.
故C正确，D错误，
故选：C.
【变式1】（2020·山东青岛·三模）如图是一个列联表，则表中、处的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据表格中的数据可先求出、的值，再结合总数为可分别求得和的值.
【详解】由表格中的数据可得，，，.
故选：B.
【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.
【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（ ）
附:.
A．48B．54C．60D．66
【答案】A
【分析】根据已知条件设男生人数为，结合独立性检验公式得出不等式，根据的取值，即可求解.
【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，
所以女生人数也为，根据题意列出列联表：
则，
因为依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，
所以，即，解得，又，
所以B、C、D正确，A错误.
故选：A
【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）足球是一项大众喜爱的运动，某校足球社通过调查并进行科学的统计分析，对学校学生喜爱足球是否与性别有关的问题，得出了结论：喜爱足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.据足球社透露，他们随机抽取了若干人进行调查，抽取女生人数是男生人数的2倍，男生喜爱足球的人数占男生人数的，女生喜爱足球的人数占女生人数的.通过以上信息，可以确定本次足球社所调查的男生至少有 人.
【答案】12
【分析】设被调查的男生为人，得到列联表，从而可计算，进而得到，求解即可.
【详解】设被调查的男生为人，则女生为人，依题意可得列联表如下：
所以，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有，即，解得，
又因为上述列联表中的所有数字均为整数，
故的最小值为12 .
故答案为：12.
题型二 列联表与独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)计算．
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．
【例题2】（2022·山东济南·模拟预测）随着北京2022冬奥会的举行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取了该市120名市民进行统计，得到如下列联表：
已知从参与调查的男性市民中随机选取1名，抽到了解冰雪运动的概率为．
(1)直接写出m，n，p，q的值；
(2)能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为该市居民了解冰雪运动与性别有关？请说明理由．
附：．
【答案】(1)，，，
(2)该市居民了解冰雪运动与性别有关，理由见解析
【分析】
（1）先根据已知条件求出参与调查的男性中“了解冰雪运动”的人数m,再根据表中的数据可求出；
（2）根据公式计算，再根据临界值表进行判断即可．
【详解】（1）由题知，，所以，，．
所以.
（2）能．理由如下：由题意知，，
所以根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为该市居民了解冰雪运动与性别有关
【变式1】（2024·陕西西安·二模）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学员，据统计某校高三在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男女各有100名学生有报名意向．
(1)完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；
(2)判断是否有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关．
附：，其中：，
【答案】(1)列联表见解析，男学生有报名意向的概率为，女学生有报名意向的概率为
(2)有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关
【分析】（1）根据题意列出列联表，根据男、女学生有报名意向和总人数即可求得男、女学生有报名意向的概率；
（2）根据列联表求出判断即可.
【详解】（1）列联表如下：
男学生有报名意向的概率为，
女学生有报名意向的概率为；
（2）因为，
所以有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.
【变式2】（2022·四川宜宾·模拟预测）某市为了了解该市高一30000名学生的选科意向，用分层抽样的方法从中随机抽取了1500名学生进行调查，得到下面列联表：
(1)估计该市男生首选物理的人数；
(2)是否有的把握认为该市学生的选科意向和性别有关？
附：．
【答案】(1)
(2)有的把握认为该市学生的选科意向和性别有关.
【分析】（1）根据表格中的数据，结合题设条件，列出方程即可求解.
（2）根据表格中的数据，结合的公式，求得的值，即可得到结论.
【详解】（1）解：根据表格中的数据，可得该市男生首选物理的人数为人.
（2）解：根据表格中的数据，可得的观测值为：
，
有的把握认为该市学生的选科意向和性别有关．
【变式3】（2020·安徽·模拟预测）在的新高考模式下，某学校计划在高一下学期开设“物理”和“历史”两个选修科目．为了了解学生对这两个科目的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从高一年级500名学生（其中男生200人，女生300人）中，采用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查．其中，女生比男生多抽取20人．
（1）请问总共抽取了多少名学生进行调查；
（2）新高考模式要求每名学生在“物理”和“历史”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目，下表是根据调查结果得到的一个不完整的列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？
附：．
【答案】（1）100人；（2）列联表见解析，没有.
【分析】（1）设女生抽取人，则男生抽取人，利用抽样比例列方程求出即可；
（2）根据题意补充完整列联表，计算，对照数表得出结论．
【详解】（1）设女生抽取人，则男生抽取人，则，解得，
所以总共抽取了（人；
（2）根据题意补充完整列联表如下；
由表中数据，计算，
所以没有的把握认为选择科目与性别有关．
【点评】本题考查了分层抽样以及列联表与独立性检验问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
题型三 独立性检验的综合应用
独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出．
【例题3】（2024·广东深圳·模拟预测）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附:χ2=.
【答案】(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是
(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
【分析】（1）根据频率的计算即可求解，
（2）根据卡方的计算，与临界值即可求解.
【详解】（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为.
（2），
依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
【变式1】（2024·四川凉山·三模）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为．

(1)完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”?
(2)从该校选择历史类学生中按照性别分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加历史知识趣味问答比赛，求至少有1名男生被抽到的概率．
附：．
【答案】(1)列联表见解析，没有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关
(2)
【分析】（1）根据扇形图分析出各类选科的男生女生人数，填写进列联表，然后根据独立性检验的原理进行求解；
（2）先求出男女生分别的人数，然后利用列举法进行求解.
【详解】（1）根据扇形统计图易得，选择物理类学生为人，
其中男生人，女生，
选择历史类100人，其中男生人，女生人
所以没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”
（2）记“至少有一名男生被抽到”为事件，按照性别分层抽样抽取人，
则抽到男生名，记作，女生3名，记作．
从5人中随机抽取2人，共：，，，，，，，，，10种不同取法，
事件发生包含：，，，，，，共7个基本事件，
由古典概型得，所以至少有1名男生被抽到的概率为．
【变式2】（2024·四川雅安·三模）同城配送是随即时物流发展而出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用同城配送服务的主要目的.某同城配送服务公司随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用同城配送服务的次数，得到每月使用同城服务低于5次的有550人，并将每月使用同城配送服务次数不低于5次的消费者按照年龄进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计每月使用同城配送服务不低于5次的消费者年龄的平均值和中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若年龄在内的人位于年龄段，年龄在内的人位于年龄段II，把每月使用同城配送服务低于5次的消费者称为“使用同城配送服务频率低”，否则称为“使用同城配送服务频率高”，若800名消费者中有400名在年龄段I，补全列联表，并判断是否有的把握认为消费者使用同城配送服务频率的高低与年龄段有关？
参考公式：，其中.附：
【答案】(1)平均数为33.4，中位数为32.3
(2)表格见解析，有的把握认为同城配送服务的使用频率高低与年龄段有关.
【分析】（1）根据频率分布直方图中的平均数和中位数求解公式求解即可；
（2）根据题目数据完善列联表，计算卡方，与临界值比较即可判断.
【详解】（1）每月使用同城配送服务不低于5次的消费者年龄的平均数为
设每月使用同城配送服务不低于5的消费者年龄的中位数为，
则，解得.
（2）补全的列联表如下：
所以.
所以，有的把握认为同城配送服务的使用频率高低与年龄段有关.
【变式3】（2024·青海海西·模拟预测）为全面贯彻党的二十大和中央经济工作会议精神，落实国务院年重点工作分工要求，深入实施就业优先战略，多措并举稳定和扩大就业岗位，全力促发展惠民生，经国务院同意，年职业技能等级证书补贴政策正式公布，参加失业保险年以上的企业职工或领取失业保险金人员取得职业资格证书或职业技能等级证书的，可申请技能提升补贴，每人每年享受补贴次数最多不超过三次，政策实施期限截至年月日．某机构从本市众多申报人员中随机抽取人进行统计，得到他们的首次补贴金额的统计表（如下）：
(1)根据上述列联表，判断是否有的把握认为首次补贴金额超过2000元与性别有关？
(2)从补贴金额不低于2000元的样本中按照分层抽样的方法随机抽取5人进行职业分析，再从这5人中随机抽取2人进行年收人评估，求抽取的2人都是女性的概率．
附：．
【答案】(1)没有的把握认为首次补贴金额超过2000元与性别有关；
(2)0.3
【分析】（1）根据卡方公式计算，即可与临界值比较作答；
（2）根据分层抽样比求解个数，即可利用列举法，结合古典概型的概率个数求解.
【详解】（1），
所以没有的把握认为首次补贴金额超过元与性别有关；
（2）由题意知，按照分层抽样随机抽取5人中，
男性有（人），记为，
女性有（人），记为，
从中随机抽取2人的所有基本事件有
，，共10种，
其中，2人都是女性的事件有，共3种，
所以抽取的2人都是女性的概率为．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）下列说法中，正确的为（ ）
A．在研究数据的离散程度时，一组数据中添加新数据，其极差与标准差都可能变小
B．在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱
C．在实施独立性检验时，显著增加分类变量的样本容量，随机变量的观测值会减小
D．在回归分析中，模型样本数据的值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好
【答案】D
【分析】根据极差、标准差、相关系数、独立性检验的定义和概念逐项分析即可.
【详解】选项A：假设原数据为，其中最大值为，最小值为，极差为，
向其中添加一个新数据，当或时，极差变大，当时，极差不变，
标准差描述一组数据的离散程度，所以添加新数据后，其标准差可能变大、变小或不变，A说法错误；
选项B：在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数的绝对值越小，两者的线性相关程度越弱，B说法错误；
选项C：在实施独立性检验时，随机变量的观测值与分类变量的相关关系有关，与样本容量无关，C说法错误；
选项D：由相关指数的定义可知值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好，D说法正确；
故选：D
2．（2020·河南濮阳·二模）2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（ ）
附：，其中.
A．130B．190C．240D．250
【答案】B
【分析】设男、女学生的人数都为，则男、女学生的总人数为，建立列联表，由独立性检验算出，结合观测值和选项可得答案.
【详解】依题意，设男、女学生的人数都为，则男、女学生的总人数为，建立列联表如下，
故，由题意可得，
所以，结合选项可知，只有B符合题意.
故选：B.
3．（2024·四川成都·三模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
附：（），
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班人数少于乙班人数
B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率
C．表中的值为15，的值为50
D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
【答案】D
【分析】根据条件解出，，然后直接计算即可判断A，B，C错误，使用的计算公式计算，并将其与比较，即可得到D正确.
【详解】对于C，由条件知，，故，.
所以，，故C错误；
对于A，由于甲班人数为，
乙班人数为，故A错误；
对于B，由于甲班优秀率为，乙班优秀率为，故B错误；
对于D，由于，故D正确.
故选：D.
4．（2020·山东德州·二模）某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）
附：,其中.
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【答案】B
【解析】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算,结合表中的数据判断即可.
【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为,故经常进行体育锻炼的学生人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为,女生有.列出列联表有：
故,因为.
故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”.
故选：B
【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.
二、多选题
5．（2024·湖南怀化·二模）下列说法正确的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
【答案】ABD
【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D.
【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确；
对于B，由，得第75百分位数为，B正确；
对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；
对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确.
故选：ABD
6．（2024·河南濮阳·模拟预测）对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A．数据的第75百分位数是6
B．若事件的概率满足，则
C．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断独立
D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
【答案】BD
【分析】根据百分位数的定义求出第75百分位数，从而判定A；由互斥加法的概率公式、条件概率公式判定B；根据，可判定C；根据直线方程斜率为负值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为1，进而可知相关系数，从而判定D.
【详解】对于A，9个数据从小到大排列，由于，所以第75百分位数应该是第7个数8，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由，不可判断独立，故C错误；
对于D，样本点都在直线，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为，故D正确，
故选：BD.
三、填空题
7．（2023·四川绵阳·模拟预测）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人.
参考数据及公式如下：
【答案】12
【分析】设男生人数为，得到列联表，根据题意得到，列出不等式，求得的取值范围，结合，为整数，即可求解.
【详解】设男生人数为，依题 意可得列联表如下：
若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，
由，解得，因为，为整数，
所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有12人.
故答案为：.
8．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ．
(参考公式：；参考值：）
【答案】
【分析】由题意列出不等式，结合近似计算求出m的取值范围，即可得答案.
【详解】由题意可知，
则，
解得或，而，
故m的最小值为44.
故答案为：44.
四、解答题
9．（2024·广西钦州·三模）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.
(1)求和.
(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
参考公式及数据：，.
【答案】(1)，
(2)表格见解析，有关；
【分析】（1）根据条件概率计算出结果；（2）利用独立性检验步骤进行计算得出结果；
【详解】（1）因为，，
所以，，
由于，解得，所以.
，解得.
（2）
零假设为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.
根据列联表中的数据，经计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，
此推断犯错误的概率不大于0.005.
10．（2024·四川宜宾·三模）某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
(1)根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？
(2)在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率．
参考公式：，．
【答案】(1)有
(2)
【分析】（1）根据二联表求解卡方，即可与临界值比较作答，
（2）列举基本事件，即可由古典概型的概率个数求解.
【详解】（1）由题意可得
由．
知：有99%把握认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关．
（2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人
在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人，则女性抽取4人，记为：，，，，男性抽取2人，记为：，，从这6人中随机抽取2人，抽法有：
，，，，，，，，，，，，，，共15种，
这两人中至少有一人是女性的抽法有：
，，，，，，，，，，，，，共14种，故两人中至少有一人是女性的概率
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（ ）参考值：
A．x与y不独立
B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C． x与y独立
D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.
【详解】零假设为：x与y独立，
由，依据的独立性检验，可得成立，
故可以认为x与y独立.
故选：C.
2．（2021·湖北武汉·三模）在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（ ）
附，
A．400B．300C．200D．100
【答案】B
【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可.
【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：
，
有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，
，解得，
，
，
.
故选：B
3．（2024·山西临汾·二模）人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下：
附：，其中．
根据小概率值的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则的值可以为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】A
【分析】利用题目中的数据和算式，结合表格，分别检验选项，可得答案.
【详解】根据列联表可知：，则，
由公式
，
即根据小概率值独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，
则根据可知只需即可，
，即即可.
当取时，则满足题意，故可取10；
当取时，则不满足题意；
当取时，则不满足题意；
当取时，则不满足题意；
故选：A.
4．（2024·全国·模拟预测）古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下列联表．
参考公式：．
临界值参照表：
则下列说法正确的是（ ）
A．如果有朝霞，当天下雨的概率超过
B．能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C．能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D．连续三天中必有一天出现朝霞
【答案】B
【分析】对A，由题中列联表判断即可；对BC，计算卡方判断即可；对D，根据概率的性质判断即可.
【详解】对A，由题中列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为，故A选项错误；
对BC，由题得，但小于7.879，故B选项正确，C选项错误；
对D，有朝霞的天数占总天数的，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D选项错误.
故选：B．
5．（2023·全国·模拟预测）某超市对一种商品受顾客的喜爱程度进行100份问卷调查，得到了如下的列联表，从100人中随机抽取1人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为.
则有超过（ ）的把握认为喜爱该商品与性别有关.
下面的临界值表供参考：
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据喜爱该商品的男顾客的概率，计算出喜爱该商品的男顾客人数，然后根据表中数据可补充完善列联表，再根据公式计算卡方，对照临界值表可得.
【详解】因为在100人中随机抽取1人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为.
所以喜爱该商品的男顾客人数为，列联表补充如下：
由，
因为，所以有超过的把握认为喜爱该商品与性别有关.
故选：A.
6．（2024·山东枣庄·一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（ ）
A．两种疗法的效果存在差异
B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005
C．两种疗法的效果没有差异
D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005
【答案】C
【分析】根据条件可得列联表，计算的值，结合临界值表可得结论．
【详解】零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，，根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，
即认为两种疗法效果没有差异．
故选:C．
7．（2023·陕西榆林·模拟预测）某社区对100名居民是否观看2022年北京冬奥会开幕式进行问卷调查，得到如下的列联表：
参考公式：，．
附表：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“观看2022年北京冬奥会开幕式与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.001%的前提下，认为“观看2022年北京冬奥会开幕式与性别有关”
C．有99%以上的把握认为“观看2022年北京冬奥会开幕式与性别有关”
D．有99.9%以上的把握认为“观看2022年北京冬奥会开幕式与性别有关”
【答案】C
【分析】利用卡方公式进行计算，再与参照附表对比就可以作出判断.
【详解】由，
根据小概率值的独立性检验可知，有99%以上的把握认为“观看2022年北京冬奥会开幕式与性别有关”
故选：C.
8．（2023·甘肃兰州·模拟预测）为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表：
则下列说法一定正确的是（ ）
附：（其中）.
临界值表：
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”
B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”
C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”
D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”
【答案】A
【分析】根据表中数据求出的值，即可得答案.
【详解】解：由列联表中数据，计算，
且，
所以有的把握认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”.
故选：A.
二、多选题
9．（2024·广东广州·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强
B．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联”
D．若随机变量，，则
【答案】BD
【分析】根据题意，结合相关系数的概念，以及独立性检验的概念和正态分布的概率公式，逐项判断即可求解.
【详解】对于A，根据相关系数的定义，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关，
其中，且当越接近1时，相关程度越大；当越接近0时，相关程度越小，故A错误.
对于B，残差点分布越窄，说明大部分预测值与实际值的偏离越小，拟合效果较好，故B正确.
对于C，独立性检验的判断标准是，若计算得出的值大于临界值，则拒绝独立性假设，
说明变量与存在关联。因此，，
意味着拒绝“与没有关联”的零假设，故C错误.
对于D，对于，则，
所以，
对于，则，
所以，
又，所以，故D正确.
故选：BD.
10．（2024·福建南平·模拟预测）2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者，患者多以儿童为主．某研究所在某小学随机抽取了46名儿童，得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据，如下表所示，则（ ）
附：．
A．
B．
C．认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，此推断犯错的概率不大于0.1
D．没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联
【答案】AD
【分析】根据表格信息得出相应数值，通过计算和独立性检验判断各个选项；
【详解】由表中数据易得，
对于A,．故A正确；
对于B,，故B错误；
对于C，D，依据的独立性检验，没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，故C错误，D正确．
故选：AD．
11．（2024·广东江门·模拟预测）某中学为更好的开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验，可以认为“选修外出研学课程与性别有关”．则调查人数中男生可能有（ ）
附：
，其中
A．150人B．225人C．300人D．375人
【答案】BCD
【分析】设男生人数为，根据题意用表示出女生人数、男生中“选修外出研学课程”人数、女生中“选修外出研学课程”人数，进而表示出表格中其它人数，利用公式计算出，由得到的范围，进而得到男生人数的范围，选出符合题意的选项.
【详解】设男生人数为，根据题意可得列联表如下：
则，
若有的把握认为喜欢选修外出研学课程与性别有关，则，
解得，则．
故选：BCD．
三、填空题
12．（2021·山东青岛·一模）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 ．
附：
【答案】0.025
【分析】根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小即可得出结论．
【详解】
，
故答案为：0.025．
13．（2020·安徽蚌埠·三模）某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各100名客户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则 （填“能”或“不能”）有以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关.
附.
【答案】能
【分析】根据条形图得出列联表，计算卡方，结合附表进行判断.
【详解】由题意可得列联表如下：
则，
所以有以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关.
故答案为：能.
【点睛】本题主要考查独立性检验，根据题意列出列联表，计算卡方是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
14．（2023·广西·模拟预测）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是 ．（横线上给出一个满足条件的x的值即可）
附：，其中．
【答案】14（答案不唯一）
【分析】根据卡方公式求出x的取值范围，再根据且，即可得解.
【详解】由题意得，故，
所以.
故答案为：14（答案不唯一）.
四、解答题
15．（2022·陕西榆林·模拟预测）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，40,50，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
(1)请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整；
(2)根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
附：．
【答案】(1)列联表见解析
(2)不能认为“课外体育达标”与性别有关
【分析】（1）根据频率求出“课外体育达标”人数，即可完善列联表．
（2）根据（1）中列联表的数据，计算，比较临界值可得结论．
【详解】（1）由题意得“课外体育达标”人数为，则“课外体育不达标”人数为150．
补充完整的列联表如下：
（2），
在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.
16．（2024·四川绵阳·一模）近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
参考公式及数据：．
【答案】(1)列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为
(2)能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关
【分析】（1）先填写列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
（2）计算的知识，从而作出判断.
【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下：
男生有报考军事类院校意向的概率为，
女生有报考军事类院校意向的概率为.
（2），
所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知某学校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关联？
(2)从这350名样本学生中任选1名学生，设事件A＝“选到的学生是男生”，事件B＝“选到的学生对课外活动满意”，比较和的大小，并解释其意义，
附：
【答案】(1)认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联
(2)，意义：男生对课外活动满意的概率比女生对课外活动满意的概率大；或者男生对课外活动满意的人数比女生对课外活动满意的人数多等等
【分析】（1）同过列联表中数据计算的值，再与小概率值进行比较得出结论；
（2）根据条件概率公式本别计算和的值并比较两值的大小，并根据条件概率的含义说明所得结论在本题对应的意义.
【详解】（1）提出零假设：该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联，
根据表中数据，得到，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联．
（2）解法1：依题意得，，
,
则．
解法2： 依题意得，，，
，，
所以，，
则．
意义：男生对课外活动满意的概率比女生对课外活动满意的概率大；或者男生对课外活动满意的人数比女生对课外活动满意的人数多等等．
18．（2024·四川泸州·二模）某数学老师在其任教的甲、乙两个班级中各抽取30名学生进行测试，分数分布如表：
(1)若成绩在120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1名为优秀的概率；
(2)根据以上数据完成下面的2×2列联表，则在犯错的概率不超过0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关？
参考公式：，其中.
【答案】(1)；
(2)列联表见解析，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．
【分析】（1）列举基本事件，利用古典概型的概率公式求解.
（2）由题意进行数据分析，完善列联表，计算，对照参数下结论.
【详解】（1）乙班参加测试的分以上的同学有人，其中成绩优秀的有3人，记为，另3人记为，
从这六名学生中抽取两名的样本空间，有15个样本点，
设事件表示恰有一位学生成绩优秀，则，有9个样本点，
所以所求概率为.
（2）由给定的分数分布表，得2×2列联表：
，
在犯错概率小于的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系.
19．（2024·吉林长春·一模）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.
(1)随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？
(2)经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：
假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围；
(3)在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率.
附：
【答案】(1)列联表见解析；无关
(2)
(3)；误诊率为，漏诊率为
【分析】（1）依题意列出列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较即可判断误判与性别的相关程度；
（2）分别根据漏诊率和误诊率都小于，结合频率分布表，先判断临界值所在组别，再利用百分位数的定义，建立满足的不等式，继而得到临界值的范围；
（3）结合频率分布表分段写出误判率的表达式，即可求解.
【详解】（1）依题意，列出列联表为：
由上表，，
故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关；
（2）因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有；
又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有.
综上，临界值的范围为；
（3）由（2）已得，设误判率为，
当时，，
当时，
，
所以当时，误判率最小，
相应的误诊率为，漏诊率为：.
【点睛】关键点点睛：本题证据要考查独立性检验、百分位数的应用，属于较难题.
解决通过统计图表求百分位数的问题，需要正确理解相关概念的具体含义，结合统计表或分布图表，列出相应的方程或不等式求解.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·辽宁鞍山·二模）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
附表：
其中，．
A．20B．30C．35D．40
【答案】A
【分析】借助卡方计算即可得.
【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选生物学的人数为，
则，
即，又为的倍数，故男生最少有人.
故选：A.
2．（2024·上海闵行·二模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ）
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；
②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】根据，与临界值表对照判断.
【详解】解：因为，且，
所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，
即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，
故①②正确；
分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确；
故选：D
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18
B．设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32
C．在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大
D．已知随机变量，且，则
【答案】C
【分析】根据比例分层抽样的性质可得样本容量，故可判断A的正误，根据两类数据之间的关系结合方差公式可判断B的正误，根据的意义可判断C的正误，根据正态分布的对称性可计算的值，故可判断D的正误.
【详解】对于A：设样本容量为，则，故，故A正确.
对于B：设样本数据，，…，的均值为，
则数据，，.…，的均值为，
故数据，，.…，的方差为：
，
故B正确.
对于C：越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故C错误.
对于D：由正态分布的对称性可得：
，
故D正确.
故选：C.
4．（2020·河南·模拟预测）某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这个变量之间的关系，随机抽查了名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中
A．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小
B．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小
C．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小
D．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小
【答案】C
【分析】根据题目所给的列联表，计算的观测值，得出统计结论．
【详解】因为，所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小.故选C．
【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想及其应用，意在考查学生的数据分析和处理能力．
二、多选题
5．（2024·吉林·模拟预测）为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ）
A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B．女生中喜爱物理学科的频率为
C．依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
参考公式：，其中.
附表：
【答案】AC
【分析】根据列联表，结合古典概型的概率公式，即可判断A，B；计算的值，根据独立性检验的基本思想，即可判断C，D.
【详解】对于A，喜爱物理学科的学生共有（名），
故喜爱物理学科的学生中，男生的频率为，A正确；
对于B，女生共有100名，喜爱物理的女生有20名，
故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误；
对于C，D，，
故依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，
即在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误，
故选：AC
6．（2024·江西南昌·二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:
甲校样本
乙校样本
（参考公式及数据:）.
则下列判断中正确的是（ ）
A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C．根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D．根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
【答案】AD
【分析】对AB，根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小判断即可；对CD，根据独立性检验的性质判断即可.
【详解】对A，甲校男学生喜爱足球运动的比例，乙校男学生喜爱足球运动的比例，
即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；
对B，甲校女学生喜爱足球运动的比例，乙校女学生喜爱足球运动的比例，
即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；
对C，甲校中，
所以根据甲校样本没有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；
对D，乙校中，
所以根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确；
故选：AD
三、填空题
7．（2022·云南昆明·一模）长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下列联表（单位：份），其中且．
注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一．根据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，C三个级别，A级品质最好，B级为标准级，C级品质最差．
当时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则的最小值为 ．
附：
【答案】46
【分析】由列不等式，求得的取值范围，进而求得正确答案.
【详解】依题意：，
即，
，，
由于且，
.
所以的最小值为.
故答案为：
8．（2023·宁夏银川·二模）有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别甲：1，2，3，4，5，6，7，8，9；乙：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．则甲乙的中位数分别为5和5.5．
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．
③若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.567，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．
附
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指．
以上命题错误的序号是 ．
【答案】②
【分析】求出两组数据的中位数判断①；利用相关系数的意义判断②；利用的观测值与要求的临界值对判断③；利用残差的意义判断④.
【详解】对于①，甲组数据的中位数为，乙组数据的中位数为，故①正确；
对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，故②错误；
对于③，的观测值约为，认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过，故③正确；
对于④，残差分析中，相应数据的残差，故④正确，
所以命题错误的序号是②.
故答案为：②
四、解答题
9．（2024·四川·模拟预测）某公司为了解旗下的某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表：
(1)是否有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系?
(2)公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取6人，收集对该产品改进建议．若在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．
附：，
【答案】(1)有的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系
(2)
【分析】（1）按照独立性检验步骤判断即可；
（2）分别求出抽取的人中男性与女性人数，设出所求的事件并按照等可能事件的概率公式解出即可.
【详解】（1）记事件为“客户对该产品评价结果与性别因素没有关系”，
由列联表可得：，
依据，
所以有以上的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系.
（2）由题意：抽取的人中，有男性（名），
有女性（名），
设“在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性”为事件，
记名男性为，名女性为，
则从人中抽取人的所有可能结果为：
，
共种；
其中所抽取的人中至少有名女性的可能结果为：
，共种，
所以：.
10．（2024·福建福州·三模）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，.
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率.
附：，；
【答案】(1)没有关联
(2)（i）；
（ii）
【分析】（1）根据卡方的公式代入计算，与临界值比较，即可求解；
（2）（ⅰ）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解；（ⅱ）根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解.
【详解】（1）零假设：在不同区域就餐与学生性别没有关联，
根据表中的数据可得，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.
（2）设“第天去甲餐厅用餐”， “第天去乙餐厅用餐”，
“第天去丙餐厅用餐”，
则两两独立，，
由题意可得，，，，
，，，，
，
（ⅰ）由，结合全概率公式可得，
，
所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为.
（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，
则，
由全概率公式可得
故①，
同理可得②，
③，④，
由①②可得，由④可得，
代入②中可得，即，
且，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
即，所以，
于是，当时，，
综上所述，.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了独立性检验问题以及相互独立事件概率与数列结合问题，难度较大，解答本题的关键在于结合递推关系与等比数列的定义求解.X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
合计
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
总计
总计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
喜欢冰雪运动
不喜欢冰雪运动
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
喜爱足球
不喜爱足球
合计
男
女
合计
了解冰雪运动
m
p
70
不了解冰雪运动
n
q
50
合计
60
60
120
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计
首选物理
首选历史
合计
男生
500
100
600
女生
700
200
900
合计
1200
300
1500
选择“物理”
选择“历史”
总计
男生
女生
25
总计
55
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
选择“物理”
选择“历史”
总计
男生
30
10
40
女生
25
35
60
总计
55
45
100
机床
品级
合计
一级品
二级品
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合计
物理类
历史类
合计
1000
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合计
物理类
480
420
900
历史类
40
60
100
合计
520
480
1000
年龄段I
年龄段II
合计
使用同城配送服务频率高
使用同城配送服务频率低
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段I
年龄段II
合计
使用同城配送服务频率高
145
105
250
使用同城配送服务频率低
255
295
550
合计
400
400
800
2000元以下
不低于2000元
合计
男
80
20
100
女
70
30
100
合计
150
50
200
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
喜欢网络课程
不喜欢网络课程
总计
男生
女生
总计
优秀
非优秀
甲班
10
乙班
30
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男生
女生
总计
经常锻炼
110
40
150
不经常锻炼
30
20
50
总计
140
60
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
喜欢追星
不喜欢追星
总计
男生
女生
总计
药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
50
未服用
50
合计
80
20
100
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
未建立
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
20
4
24
未建立
4
8
12
合计
24
12
36
女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
140
每周运动不超过2小时
40
20
60
总计
100
100
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
喜欢
不喜欢
总计
男
30m
20m
50m
女
20m
30m
50m
总计
50m
50m
100m
喜欢读书
不喜欢读书
合计
男生
260
60
320
女生
200
m
合计
460
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
有朝霞
无朝霞
合计
当天有雨
8
8
16
当天无雨
2
12
14
合计
10
20
30
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜爱该商品
不喜爱该商品
合计
男顾客
10
女顾客
35
合计
100
0.25
0.15
0.010
0.005
1.323
2.072
6.635
7.879
喜爱该商品
不喜爱该商品
合计
男顾客
40
10
50
女顾客
35
15
50
合计
75
25
100
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
男居民
女居民
观看
40
25
没观看
10
25
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
未治愈
治愈
合计
服用药物
10
40
50
未服用药物
20
30
50
合计
30
70
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
感染情况接种情况
感染支原体肺炎
未感染支原体肺炎
合计
接种流感疫苗
未接种流感疫苗
合计
46
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
选修外出研学课程
未选修外出研学课程
合计
男生
女生
合计
选修外出研学课程
不选修外出研学课程
合计
0.05
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
集中培训
分散培训
合计
一次考过
45
30
75
一次未考过
10
20
30
合计
55
50
105
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
不乐观
乐观
合计
国内代表
40
60
100
国外代表
60
40
100
合计
100
100
200
对工作满意
对工作不满意
男
5x
5x
女
4x
6x
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
女
110
合计
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计
α
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
100
400
500
女学生
100
300
400
合计
200
700
900
性别
课外活动
合计
满意
不满意
男
150
100
250
女
50
50
100
合计
200
150
350
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
分数区间
甲班人数
乙班人数
[0，30）
3
6
[30，60）
6
6
[60，90）
9
12
[90，120）
6
3
[120，150]
6
3
优秀
不优秀
总计
甲班
乙班
总计
优秀
不优秀
总计
甲班
6
24
30
乙班
3
27
30
总计
9
51
60
指标
[95，100]
（100，105]
（105，110]
（110，115]
（115，120]
（120，125]
（125，130]
患病者频率
0.01
0.06
0.17
0.18
0.2
0.2
0.18
指标
[70，75]
未患病者频率
0.19
0.2
0.2
0.18
0.17
0.05
0.01
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
误判人数
未误判人数
总计
男性人数
2
498
500
女性人数
8
492
500
总计
10
990
1000
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
121
162
283
患慢性气管炎者
13
43
56
总计
134
205
339
性别
物理学科
喜爱
不喜爱
男
60
40
女
20
80
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
A级或B级
C级
合计
甲地
a
50
乙地
50
合计
80
20
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
不喜欢
喜欢
合计
男
50
100
150
女
50
50
100
合计
100
150
250
0．10
0．05
0．010
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828
性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635