甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 Word版含解析

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（ ）
A. B. C. 6D. 12
4. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数满足且，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正三棱锥体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ）
A.
B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为
C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间
D. 估计该哈密瓜质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 若函数图象的一条对称轴方程为，则（ ）
A. B.
C. 图象的一条对称轴为直线D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为________.
13. 已知向量，，若，则________.
14. 已知函数，则函数的最小值为________；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是________.（注：当时，）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16. 现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：
A
B
总计
喜欢
40
10
50
不喜欢
20
30
50
总计
60
40
100
（1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？
（2）为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
附表格及参考公式：，其中.
17. 已知函数.
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面PCD平面ABCD，，，，.
（1）证明：.
（2）已知Q为侧棱PB上一点，平面QAC.
①求值；
②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.
19. 已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，O为坐标
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
原点，是线段OM的中点.
（1）求双曲线的离心率.
（2）过点M且斜率不为0的直线l与双曲线的左，右两支的交点分别为Q，P.
①若直线l的斜率为1，，求双曲线的方程；
②连接QO并延长，交双曲线于点R，证明：.