安徽省马鞍山市2024-2025学年高一上册期中测试数学检测试卷（含解析）

这是一份安徽省马鞍山市2024-2025学年高一上册期中测试数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁， 函数的图象是， 设函数，若，则， 下列命题中，真命题的是， 下面命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共8个题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则集合的子集共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【正确答案】C
【分析】根据子集的定义逐一列举求解.
【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，.
所以集合的子集共有4个.
故选：C.
2. 已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为或，，
令，，
因为是的充分不必要条件，所以，
所以.
故选：D
3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】A
【分析】利用同一个函数条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断.
【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；
选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；
选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；
选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.
故选:A.
4. 一个矩形的周长为，面积为，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】设出长方形的长和宽为，通过基本不等式得出和的关系，最后将各个选项数据依次代入检验，得出正确的结果．
【详解】设矩形长宽分别为，则，，由基本不等式，
可得.
对于A，，不合题意，故A错误；
对于B，，不合题意，故B错误；
对于C，，不合题意，故C错误；
对于D，，符合题意，故D正确.
故选：D.
5. 函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据二次函数的单调性判断.
【详解】因为函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，
，解得，所以的取值范围是.
故选：A.
6. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用函数定义域和图象上的点，排除法选择正确选项.
【详解】函数，定义域为，BD选项排除；
时，，A选项排除.
故选：C.
7. 设函数，若，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【正确答案】C
【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得.
【详解】因为，又，
所以或，
解得或.
故选：C
8. 已知函数的定义域为，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【正确答案】C
【分析】令，判断出函数的奇偶性，再令，，求出，再求出函数的周期，根据函数的周期求解即可.
【详解】令，则，
故，
所以为定义域内的奇函数，
令，得，解得，
所以，
是以，所以函数是以为周期的一个周期函数，
所以.
故选：C.
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
二、选择题:本大题共4个题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 对任意的，都有D. 菱形的两条对角线相等
【正确答案】AB
【分析】对A，求出判别式判断；对B，由平行四边形的性质判断；对C，将配方可判断；对D，根据菱形的性质可判断.
【详解】对于A，方程的判别式，故A正确；
对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.
故选：AB.
10. 下面命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断.
【详解】对于A，，，则，即，故A正确；
对于B，，，又，所以，故B错误；
对于C，，，即，故C正确；
对于D，，，，
，，则，即，故D正确.
故选：ACD.
11. 某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（ ）
A. 前2年的产品产量增长速度越来越快B. 前2年的产品产量增长速度越来越慢
C. 第2年后，这种产品停止生产D. 第2年后，这种产品产量保持不变
【正确答案】AD
【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解.
【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图，
可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确；
第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确.
故选：AD.
12. 对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是（ ）
A. ，
B. ，
C. 函数的值域为［0，1）
D. 方程有两个实数根
【正确答案】BCD
【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A，当时，，所以A错误，
对于B，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以B正确，
对于C，由选项B可知，所以，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以，所以函数的值域为［0，1），所以C正确，
对于D，由，得，令，则方程的解转化为两函数图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程有两个实数根，所以D正确，
故选：BCD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 集合且，用列举法表示集合________．
【正确答案】
【分析】由集合且,求得，得到且，结合题意，逐个验证，即可求解.
【详解】由题意，集合且，可得，则，
解得且，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
综上可得，集合.
故答案为.
本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的元素与集合的关系，其中解答中熟记集合的表示方法，以及熟练应用元素与集合的关系，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14. 已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式_____________.
【正确答案】（答案不唯一）
【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数.
【详解】因为对，则在上为减函数，
又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可，
故可取.
故（答案不唯一）.
15. 已知且，则的最小值为_____________.
【正确答案】
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故
16. 关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为_____________.
【正确答案】
【分析】根据题意问题转化为方程有4个不相等的实数根，作出函数与函数的图象，数形结合可得解.
【详解】原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示：
可得当时，两图象有4个不同的公共点，即方程有4个不相等的实数根，
所以实数的取值范围为.
故答案为.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合或.
（1）求;
（2）若，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求出，再利用交集运算求解；
（2）根据题意得，求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意得，，
.
【小问2详解】
，，
.
18. （1）解不等式；
（2）解关于的不等式.
【正确答案】（1）或；（2）答案见解析
【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解；
（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）不等式，可化为，
即，即，解得或，
所以不等式组解集为或.
（2）①当时，原不等式化为，解集为；
②当时，原不等式化为，解集为；
③当时，原不等式化为；
当时，，原不等式的解集为空集；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为.
19. 已知，求证:
（1）;
（2）.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解；
（2）作“1”代换，根据基本不等式求解.
【小问1详解】
，
，
当且仅当，即时等号成立.
【小问2详解】
，
.
当且仅当时，即时等号成立.
20. 已知的定义域为，且恒成立.
（1）求的值;
（2）试判断的单调性，并用定义证明你的结论.
【正确答案】（1）
（2）为上的增函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意得，求得并检验；
（2）根据单调性定义判断并证明结论.
【小问1详解】
因为满足，故函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
当时，，满足，符合题意，
故.
【小问2详解】
由（1）可知，.函数在上为增函数.
证明如下：
任取，所以，
所以
所以.
故为上的增函数.
21. 某工厂生产甲､乙两种产品所得的利润分别为和 (万元),它们与投入资金 (万元)的关系为:.今将300万资金投入生产甲､乙两种产品,并要求对甲､乙两种产品的投入资金都不低于75万元.
(1)设对乙种产品投入资金 (万元),求总利润 (万元)关于的函数;
(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?并求出最大总利润.
【正确答案】(1);(2)当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元.
【分析】（1）根据题意，对乙种产品投资（万元），对甲种产品投资（万元），利用利润公式，可求甲、乙两种产品的总利润（万元）关于的函数表达式；
（2）利用配方法，可求总利润的最大值．
【详解】(1)根据题意,对乙种产品投资 (万元),对甲种产品投资 (万元),
那么总利润,
由,解得,
所以,其定义域为;
(2)令,因为,故,
则
所以当时,即时,,
答:当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元.
本题考查函数的实际应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查阅读理解能力和运算求解能力，求解时注意利用函数的最值解决问题.
22. 已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，利用上述性质，求函数的值域;
（2）对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解；
（2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解.
【小问1详解】
，
设
则.
由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又当时，，当时，，
所以，即的值域为.
【小问2详解】
因为在上为减函数，故.
由题意，的值域是的值域的子集，