高考数学第二轮复习专项练习——余弦定理（二）（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——余弦定理（二）（含解析），共12页。
一．选择题（共8小题）
1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ）
A．17B．19C．16D．18

2．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ）
A．B．1C．D．2

3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．2

4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ）
A．18B．19C．16D．17

5．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（ ）
A．4B．3C．2D．1

6．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acsC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（ ）
A．B．C．D．

7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b+c）（a﹣b﹣c）=﹣3bc．则A=（ ）
A．B．C．D．

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（ ）
A．B．C．D．或


二．填空题（共2小题）
9．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．

10．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为 ．


三．解答题（共4小题）
11．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csC+（csA﹣sinA）csB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．

13．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且bc=2b2+2c2﹣2a2．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，sinB+sinC=，求b的值．

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．


参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）
1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ）
A．17B．19C．16D．18
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b及csB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解答】解：∵a=3，c=9，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accsB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，
则a+b+c=18
故选：D．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

2．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ）
A．B．1C．D．2
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由已知及余弦定理可求csA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，
∴由余弦定理可得：csA===，又0＜A＜π，
∴可得A=60°，sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故选：C．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．

3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．2
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccsA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值．
【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccsA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccsA，
∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，
∴S△ABC=bcsinA==，
故选：B．
【点评】本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．

4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ）
A．18B．19C．16D．17
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理列出关系式，把a，c，csB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长．
【解答】解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°，
∴b2=a2+c2﹣2accsB=9+64﹣24=49，即b=7，
则△ABC周长为3+8+7=18，
故选：A．
【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

5．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】运用余弦定理，化简=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．
【解答】解：=，即为
3ccsA=acsC，
即有3c•=a•，
即有a2﹣c2=b2，
又a2﹣c2=2b，则2b=b2，
解得b=4．
故选A．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．

6．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acsC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（ ）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理求出csA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcsC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
由sinC≠0，整理得：csA=，即A=，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccsA，即1=b2+c2﹣bc①，
与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，
由正弦定理=，得：sinB===，
∵b＜c，∴B＜C，
则B=．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b+c）（a﹣b﹣c）=﹣3bc．则A=（ ）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】已知等式整理得到关系式，利用余弦定理表示出csA，把得出的关系式代入求出csA的值，即可确定出A的度数．
【解答】解：△ABC中，（a+b+c）（a﹣b﹣c）=﹣3bc，
整理得：a2﹣（b+c）2=a2﹣b2﹣2bc﹣c2=﹣3bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴csA==，
则A=，
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（ ）
A．B．C．D．或
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出csC，把已知等式变形后代入计算求出csC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，b2+a2=c2+ab，即b2+a2﹣c2=ab，
∴csC==，
则C=，
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

二．填空题（共2小题）
9．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= 1 ．
【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】利用余弦定理求出csC，csA，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴csC==，csA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

10．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为 ．
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cs∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cs∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cs∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cs∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD=．
故答案为：
【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

三．解答题（共4小题）
11．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与csB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；
（2）先由csB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出csA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，csB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accsB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵csB=，B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵b=2，a=3，sinB=，
∴由正弦定理得：sinA===，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴csA==，
则sin（A﹣B）=sinAcsB﹣csAsinB=×﹣×=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csC+（csA﹣sinA）csB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．
【专题】解三角形．
【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及csB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．
【解答】解：（1）由已知得：﹣cs（A+B）+csAcsB﹣sinAcsB=0，
即sinAsinB﹣sinAcsB=0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣csB=0，即tanB=，
又B为三角形的内角，
则B=；
（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，csB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•csB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，
∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，
则≤b＜1．
【点评】此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

13．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且bc=2b2+2c2﹣2a2．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，sinB+sinC=，求b的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出csA，再利用平方关系，求sinA的值；
（2）运用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式及同角公式，即可求得sinB，再由正弦定理，即可得到b．
【解答】解：（1）∵bc=2b2+2c2﹣2a2，
∴bc=b2+c2﹣a2，
由余弦定理得csA===，
则sinA==．
（2）由A+B+C=π有C=π﹣（A+B），
于是由已知sinB+sinC=得sinB+sin（A+B）=，
即sinB+sinAcsB+csAsinB=，
将sinA=，csA=代入整理得sinB+csB=①，
根据sin2B+cs2B=1，可得csB=．
代入①中，整理得8sin2B﹣4sinB+5=0，
解得sinB=．
∴由正弦定理，
有b===．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出csA，将已知等式变形后代入求出csA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理得：csA==，
∵A为三角形内角，
∴A=，
由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，
则B=；
（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，
由余弦定理得AM2=x2+﹣2x••（﹣）=14，
解得：x=2，
则S△ABC=AC•BC•sinC=×2×2×=2．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．