广西柳州市2025届高三第二次模拟考试数学试题

这是一份广西柳州市2025届高三第二次模拟考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．180的不同正因数的个数为（ ）
A．8B．10C．12D．18
6．若，则（ ）
A．B．10C．15D．16
7．在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知是定义在R上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ）
A．1,+∞B．C．D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（ ）
A．与平面有可能平行
B．与平面有可能平行
C．三角形周长的最小值为
D．三棱锥的体积为定值
11．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．关于直线对称
C．的值域为
D．关于的方程在区间上有实根，则所有根之和组成的集合为
三、填空题
12．设是一个随机试验中的两个事件，若，则 .
13．记的内角的对边分别为，若，则的面积为 .
14．已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 .
四、解答题
15．某公司推出一种新品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了名消费者，得到下表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
(2)若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望.
附：其中.
16．已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值.
17．如图，在四棱锥中，与均为等边三角形.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知函数.
(1)求在处的切线；
(2)若与的图象有交点.
①当时，求的取值范围；
②证明：.
19．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中；
(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由.
(2)正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：.
性别
满意度
合计
满意
不满意
男
220
30
250
女
230
20
250
合计
450
50
500
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
《广西柳州市2025届高三第二次模拟考试数学试题》参考答案
1．B
【分析】根据集合的基本运算先求，再求即可.
【详解】根据题意有，所以.
故选：B.
2．C
【分析】根据含有一个量词的否定的定义即可判断.
【详解】命题“”的否定是“”，
故选：C.
3．B
【分析】先根据点在抛物线上得出，再根据抛物线定义计算即可.
【详解】因为点在抛物线上，所以，即得，
则.
故选：B.
4．C
【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】由题意，
.
故选：C.
5．D
【分析】把180进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算．
【详解】因为，它的正因数即为的幂的乘积，
因此正因数个数为.
故选：D.
6．C
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项为，
又，
所以，，
所以，
故选：C
7．A
【分析】先依据条件设定点的坐标，接着根据投影向量概念公式直接计算即可求解.
【详解】由题可设，则，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A
8．C
【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围.
【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以，
即，又也是偶函数，所以，
所以，即，
因为函数是R上的减函数，也是减函数，
所以函数是R上的减函数；
令，即，解得，
当时，，此时函数在上单调递增，
当时，，此时函数在上单调递减，
又函数是上的偶函数，
所以由，可得，解得，
因此，实数的范围是，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性.
9．ACD
【分析】先将指数式化为对数式，利用函数的单调性可得A正确；再利用函数的运算性质得B正确；利用不等式放缩可得C正确，D正确.
【详解】由得,
对于选项A：因为函数在单调递增，所以，即，故A正确
对于选项B：，故B错误
对于选项C:因为，，所以，由B得，即，
故C正确
对于选项D：由B得，所以，
即，故D正确
故选：ACD
10．ACD
【分析】对于A，当Q为的中点时，可证得四边形为平行四边形，则与互相平分于点，连接可证得∥，再由线面平行的判定定理可得结论，对于B，由题意可得与平面BPQ相交，对于C，把沿展开与在同一平面（如图），则当B，P，Q共线时，有最小值，从而可求得结果，对于D，， 为定值，可得结论.
【详解】对于A，连接，当Q为的中点时，，
因为，∥，∥，，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以与互相平分，设与交于点，连接，
因为P是棱的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面BPQ，故A正确；

对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，
所以与平面BPQ只能相交，故B错；
对于C，，把沿展开与在同一平面（如图），
则当B，P，Q共线时，有最小值，
在直角梯形中，，，，，
则，
所以，
所以，
所以三角形BPQ周长的最小值为，故C正确；

对于D，，因为定值，因为∥，∥，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以为定值．所以D正确，
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定和棱锥体的求法，对于选项A解题的关键是证明四边形为平行四边形，从而可找到的中点，再利用三角形中位线定理可得线线平行，考查空间想象能力，属于较难题.
11．BCD
【分析】对于A由的范围，可得函数的解析式，换元整理可得，函数在上不单调；对于B求出的解析式，可得函数图象关于对称；对于C由A选项的分析，可得函数的最值；对于D由B选项的分析，可得关于的方程在区间上有实根关于对称，可得方程的根的和的集合．
【详解】对于A：当时，，，
令，则有在单调递增，，
所以当，单调的递增，当时，单调的递递减，
所以在上不单调，故A错误；
对于B：，所以关于直线对称，故B正确；
对于C：由A有：，
所以，所以的值域为，故C正确；
对于D： 结合A的分析可得在上先增再减，由B选项的分析，函数的图象关于对称，函数草图如下：
当方程在区间有一个实数根时，所有根之和；
当方程在区间有两个实数根时，所有根之和；
当方程在区间有四个实数根时，所有根之和；
所以所有的根之和组成的集合为，故D正确．
故选：BCD.
12．/0.25
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】根据条件概率公式可得.
故答案为：.
13．/
【分析】根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求得.
【详解】由余弦定理得，得，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据函数的对称性得，利用赋值法可得的值，进而得函数解析式，由解得函数的零点再相加即可；利用换元法化简函数解析式，利用二次函数的性质，复合函数单调性判断方法可求函数最值.
【详解】由题意，函数的定义域为，
由函数关于直线对称，得，
令，则，即，
令，则，即，
联立，解得，
则，
令，解得，
所以函数的所有零点之和为；
，
令，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以时，有最小值，最小值为，则，
所以，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
由，得，解得，
所以复合函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此，结合函数的对称性可知，当或时，函数值最小，
即的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据对称性，采用赋值法求得函数解析式；以及换元法化简函数解析式，利用二次函数的性质，复合函数单调性判断方法求函数最值.
15．(1)不能
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用公式求出，利用临界值表进行判定；
（2）先求出不满意的概率，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解
【详解】（1）零假设为：消费者对新产品的满意度与性别无关，
则
所以，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为消费者对新产品的满意度与消费者性别无关.
（2）从该地区消费者中随机选取1人，对新产品不满意的概率为，
从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，
则的可能取值为，且，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的期望为.
16．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；
（2）设，则，把直线的斜率表示出来，结合点在双曲线上即可得证.
【详解】（1）由题意，
从而，
所以双曲线方程，离心率.
（2）证明：由题意知点关于原点对称，
不妨设，则，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，
所以（*）
又点，在曲线上，即，
代入（*）得，
所以直线的斜率和直线的斜率之积为定值3.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过作平面，垂足为，由题意可得，，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，可取，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：过作平面，垂足为，
因为平面，所以，
由都是等边三角形知，
，又，所以为中点，
又，
又为等边三角形，，所以三点共线，即，
又，，平面，
所以平面，又平面，
.
（2）由（1）知平面，，所以以为原点建系如图，不妨取，
由题意知.
则，
设面的一个法向量为n=x,y,z，
则，
取，即n=1,−1,1，
设面的一个法向量为，
则，
取，即，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）①当时，分离参数转化为求函数最值即可；
②将问题转化为，再进行三角换元，转化为，利用放缩结合①的结论即可证明.
【详解】（1），
故，又，
故在处的切线方程为，即.
（2）①当时，，由故，
由，
设，则，
函数在上单调递减，在单调递增，
时，的最小值为，
所以的取值范围.
②由题意，存在使得，
设，则，
设，则，所以在0,+∞单调递减，
所以，
由，故，所以，
由①知，故，，即证.
【点睛】关键点点睛：本题属于导数和三角函数的综合题，难度较大，解题的关键点是三角换元以及放缩法的运用，而①问证明的了的最小值为，所以在运用放缩法时候要尽可能的构造出函数.
19．(1)不是，是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据数列的通项公式求出的通项公式，利用等差数列的定义，结合特例法判断即可.
（2）由存在，使得，可得，由，可得，分类讨论可求的值；
（3）由一阶差分数列的定义可得，则，先证明中，利用分组求和，结合等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）
所以不是等差数列
，则
所以是首项为6，公差为6的等差数列
（2）由题意
又
即
，则
若，即，解得（舍去）
即当时，
当时，则，对，不存在
综上所述，
（3）
所以，从而
从而，所以
【点睛】方法点睛：关于新定义问题的常见思路为：
（1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等；
（2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
D
C
A
C
ACD
ACD
题号
11









答案
BCD









0
1
2
3