2024-2025学年广东省深圳市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ）
A．B．C．D．
2．若直线的方程为，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
4．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
7．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9．点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为
10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．存在实数使得
11．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线与曲线交于两点．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为：
B．的最小值为1
C．为坐标原点，的最小值为
D．为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则平面与直线所成角的正弦值为 ．
13．当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 .
14．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．(13分)如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，.
(1)试用表示向量；
(2)求与的夹角.
16．（15分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
(1)求的离心率；
(2)射线与交于点，且，求的周长．
17.（15分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，O为线段的中点且底面，，，E是的中点.
(1)证明：平面；
(2)点M为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（17分）已知圆C：与圆.
(1)求C与相交所得公共弦长；
(2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求
19．（17分）在平面直角坐标系中，已知动点到直线的距离与点到点的距离的比是
(1)求动点P的轨迹方程E；
(2)若轨迹E与x轴的交点分别为.过点的直线分别与轨迹相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值.
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期11月期中考试数学检测试题
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【详解】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是．故选：A.
2．若直线的方程为，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【正确答案】A
【详解】由可得，，即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数，
故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.故选：A.
3．已知，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
【正确答案】C
【详解】向量
若，则， ．故选：C．
4．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意；
故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，
，有，，解得，
所以直线的方程为，即.故选：B.
5．已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【详解】设圆心的坐标为.
因为圆心在直线上，所以①，
因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，
由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.故选:C.
6．在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】底面ABCD为等腰梯形，，，
如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，
，
设平面的法向量为，
则，所以，两式相减可得，
令，解得，
则平面的一个法向量为，
则点到平面的距离为.故选：D.
7．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【详解】设直线的倾斜角为，则，，
则直线的倾斜角为，
故其斜率，
而直线过点，则直线的点斜式方程为，
即直线的方程是.故选：A
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【详解】设，因为，为的中点，所以，，
由椭圆定义可得BF1+BF2=2a，
所以，
又因为，为的中点，
所以，，
设椭圆的半焦距为，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以椭圆C的离心率，故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9．点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【正确答案】ABC
【详解】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
故A、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.
故ABC
10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．存在实数使得
【正确答案】BD
【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
对于A，，故与不垂直，故A错误；
对于B，，
所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，由上，所以，
所以即，又，
所以，
因为，又由正方体性质可知平面即平面，
所以，故C错误；
对于D，若存在实数使得，
则，
所以，所以，故D正确.故选：BD.
11．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线与曲线交于两点．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为：
B．的最小值为1
C．为坐标原点，的最小值为
D．为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
【正确答案】ACD
【详解】对A，设，则，即，化简得，故A正确；
对B，设椭圆另一个焦点为，如图，
由O为和中点可知四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，故B错误；
对C，由定义知动点到定点与它到定直线距离满足，
所以，即求椭圆上一点到与直线距离和的最小值，
显然当在椭圆右顶点时，取得最小值，故C正确；
对D，设，则，
所以，故D正确.故选：ACD
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则平面与直线所成角的正弦值为 ．
【正确答案】
【详解】设与所成角为 ,设向量与的夹角为，
平面α的一个法向量，直线的一个方向向量为，
.故答案为.
13．当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 .
【正确答案】
【详解】可得：，
令可得：，所以直线过定点，
当时，两点间的距离即为最大值，又,所以，所以直线方程为，即.
故
14．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．
【正确答案】
【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故，
连接，因为为内心，故为角平分线，
由角平分线性质，有，故，
故，.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，.
(1)试用表示向量；
(2)求与的夹角.
【正确答案】(1) (2)
【详解】（1）
；
（2）因为，，
，所以
，所以，
因为，所以与的夹角为.
16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
(1)求的离心率；
(2)射线与交于点，且，求的周长．
【正确答案】(1) (2)
【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为F1−c,0，，
所以，，又，
所以，即，即，所以，所以离心率；
（2）由（1）可得，，则椭圆方程为，射线的方程为，
联立，整理可得，解得或，则，即，
所以，解得，则，
所以的周长．

17.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，O为线段的中点且底面，，，E是的中点.
(1)证明：平面；
(2)点M为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】(1)证明见解析 (2).
【详解】（1）因为，所以，
O为线段的中点且，故，
连接，又.
所以四边形为正方形，所以，
因为底面，底面，
所以，，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，D0,1,0，
因为E是的中点，所以，
则，，，
设平面的一个法向量n1=x1,y1,z1，
则，即，
取，则，故，又因为平面，所以平面.
（2）由题意，知底面的一个法向量为，
因为，
且BC=0,1,0，，所以.
因为，设平面的一个法向量为，
则，即，取，
所以
又平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．已知圆C：与圆.
(1)求C与相交所得公共弦长；
(2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求
【正确答案】(1)2 (2)
【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为
整理得，圆心到直线的距离，所以所求弦长为；
（2）由题设可知直线l的方程为，
设Px1,y1，Qx2,y2，将代入方程，
整理得，所以，，
，
因为，解得k=1，经检验，直线与圆有交点，
所以直线l的方程为，故圆心C在直线l上，所以
19．在平面直角坐标系中，已知动点到直线的距离与点到点的距离的比是
(1)求动点P的轨迹方程E；
(2)若轨迹E与x轴的交点分别为.过点的直线分别与轨迹相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值.
【正确答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意可知，，整理为，
所以动点的轨迹方程；
（2）如图，设A−2,0，，，则直线，，
联立，得，则，得，
联立，得，则，得，，
所以四边形的面积,
设，则，函数在区间单调递增，
当时，取得最小值，此时面积取得最大值，最大值为.所以四边形面积的最大值为.