新高考数学一轮复习讲练测第03讲 等式与不等式的性质（练习）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·山西阳泉·统考二模）已知 ， 则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，不妨取
则，此时不满足，即A错误；
易得，此时，所以B错误；
对于D，无意义，所以D错误，
由指数函数单调性可得，当时，，即C正确.
故选：C
2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，，即，
因为，则，所以，，
又因为，则，故，故.
故选：A.
3．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为且，所以或，
对A：若，则，若，则，A错误；
对B：∵，，∴，B错误；
对C：由或，知且，∴，C正确；
对D：当时，有，从而
当，则且，∴，D错误.
故选：C
4．（2023·北京昌平·统考二模）某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）
A．路口B．路口C．路口D．路口
【答案】B
【解析】观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，
令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为，
，
路口为中转站时，距离总和，
路口为中转站时，距离总和，
路口为中转站时，距离总和，
路口为中转站时，距离总和，
显然，所以这个中转站最好设在路口.
故选：B
5．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；
B选项，因为，所以，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；
C选项，，
因为，，故，故，C正确；
D选项，不妨设，则
故选：D
6．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A选项，，故，所以，
两边同乘以得，，A成立；
B选项，因为，所以，且，
由基本不等式得，故B成立；
C选项，因为，所以，
故，所以，C成立；
D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.
故选：D
7．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，所以，故D正确；
当，时，，但，，，故A，B，C错误.
故选：D.
8．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若两个正实数x，y满足，给出下列不等式：①；②；③；④．其中可能成立的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】，
构造函数，所以函数在正实数集上为增函数，
因为是正实数，所以由，
因此由，
令，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
于是有，而，所以，当且仅当时取等号，当时，，由上可知，，或，
故选：C
9．（多选题）（2023·湖南邵阳·统考三模）,则下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【解析】对于A：若，则无意义，故A错误；
对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：由于不确定的符号，故无法判断，
例如，则，故C错误；
对于D：若，则，
所以，故D正确；
故选：BD.
10．（多选题）（2023·河北衡水·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由，得，当时，得0，即;
当时，得，即，综上或，上述两种情况均可得，故选项错误;
当时，得，当时，得，故B选项正确;
令，则，，从而得，故C选项错误;
由上述论证可知恒成立，故D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D正确．
故选：BCD．
12．（多选题）（2023·河北·模拟预测）已知，，为正实数，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，，为正实数，则有：
对于A：虽然，当且仅当时，等号成立，
但无法确定与1的大小关系，则对数函数的单调性无法确定，
所以的大小关系无法确定，故A错误；
对于B：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确；
故选：BCD.
13．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】若，当时，；
当时，；
当时，；
“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，
故答案为：（答案不唯一）
14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知角满足，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】结合题意可知：，
且：，
利用不等式的性质可知：的取值范围是.
15．（2023·高三课时练习）对于实数a、b、c，有下列命题：
①若，则a＞b；
②若ab＞c，则；
③若a＞b＞0，且n为正数，则.
其中，真命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）
【答案】①③
【解析】对于①，由，则，根据不等式的性质，可得，故①正确；
对于②，由，当时，不等式无意义，当时，可得，故②错误；
对于③，由，且为正数，根据不等式的性质，可得③正确；
故答案为：①③.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为______
【答案】
【解析】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即，
又，
设，
则，解得，
即，且，
故3b－8a的取值范围为.
故答案为：.
1．（2023•全国）不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
则，解得，
故原不等式的解集为．
故选：．
2．（2022•全国）不等式的解集是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【解析】不等式，
即，，
即，，
解得，，．
故选：．
3．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，
又，所以，故正确，错误，
，当且仅当，即时取等号，故错误，
故选：．
4．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，，即，，
由不等式的可加性可得，，故正确，
对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，令，，，，满足，但，故错误．
故选：．
5．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，
，，，
根据题意，应该有，
且，
则有，
则，
因为，
所以，
所以项正确，错误．
，而上面已证，
因为不知道的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：．
6．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】方法一：由可得，，
令，则，
，，故错，对，
，，
故对，错，
方法二：对于，，由可得，，即，
，，故错，对，
对于，，由得，，
，故对；
，，
，故错误．
故选：．
7．（2022•上海）不等式的解集为 ．
【答案】．
【解析】由题意得，
解得，
故不等式的解集．
故答案为：．
8．（2021•上海）不等式的解集为 ．
【答案】．
【解析】，
解得，．
故答案为：．