中考数学三轮冲刺培优训练专题09锐角三角函数（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学三轮冲刺培优训练专题09锐角三角函数（2份，原卷版+解析版），文件包含中考数学三轮冲刺培优训练专题09锐角三角函数原卷版doc、中考数学三轮冲刺培优训练专题09锐角三角函数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
类型一、锐角三角函数的应用：俯角仰角问题
1．（2023·河南安阳·统考一模）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊的高度．如图，在处测得字坊顶端的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得字坊顶端的仰角为，求字坊的高度．结果精确到，参考数据：s ， ， ， )
2．（2023·山东菏泽·一模）某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为，烈士塔底部点C的俯角为，无人机与烈士塔的水平距离为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，）
3．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模）如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度，小组同学在地面上的处测旗杆上国旗、两点的仰角，测得，，求旗杆顶端到地面高度．（结果精确到）参考数据：（，，）
4．（2023·黑龙江绥化·校考一模）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在处测得无人机的仰角为，同时小李登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若小李所在斜坡的坡比为：，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）．
(1)小王和小李两人之间的距离；
(2)此时无人机的高度．（，，，结果精确到米）
5．（2023·河南新乡·校联考一模）如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°（点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上）求纪念碑的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin53°≈；cs53°≈，tan53°≈）
6．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为，看另一边B处的俯角为，楼高为米，求楼下公园的湖宽．（结果精确到1米，参考数据:，，，）
7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，西安市某居民楼南向的窗户用表示，其高度为2.5米（A，B，D三点共线），此地一年冬至正午时刻太阳光与地平面的最小夹角α为，一年夏至正午时刻太阳光与地平面的最大夹角β为，并且在冬至的正午时刻阳光刚好全部射入窗户，求遮阳棚中的高（结果精确到，参考数据：，，，）．
8．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度（结果保留整数，参考数据：，，，）．
9．（2023·广东深圳·校考模拟预测）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内上下转动张角，转动点A距离地面的高度为4米．
(1)当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度的长为_____米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
10．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）大雁塔是古城西安的标志性建筑（如图1）．某学习小组为测量大雁塔的高度，在梯步处（如图2）测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行100米到达平台处，测得此时楼顶的仰角为，请同学们根据学习小组提供的数据求大雁塔的高度（结果保留根号）．
类型二：锐角三角函数的应用：方向角问题
11．（2023·河南驻马店·统考一模）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，）
12．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，一条高速公路在城市的东偏北方向直线延伸，县城在城市东偏北方向上，测绘员从沿高速公路前行米到达，测得县城位于的北偏西方向上．现要设计一条从县城进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点，使修建到县城的道路最短，试确定点的位置并求出最短路线长？（结果取整数，）
13．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，一艘海轮自西向东航行，在点B处时测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁，如果海轮不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：，，）
14．（2023·山西晋中·统考一模）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距海里．
(1)求：的面积；
(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
15．（2023·安徽滁州·校考一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为、、，由三个观测点确定的圆形区域是“利剑”中国多军种军事演习区，如图所示．
(1)求圆形区域的面积．
(2)某时刻海面上出现一艘可疑船，在观测点测得位于北偏东方向上，同时在观测点测得位于北偏东方向上，求观测点到可疑船的距离，结果保留根号；
(3)当可疑船由（2）中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．
16．（2023·广西河池·校考一模）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行．
(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程是多少nmile（结果保留根号）？
17．（2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模）如图，是湘江段江北岸滨江路一段，长度为，C为南岸一渡口．为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，垂足为点D．经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向．问：桥长为多少？（结果精确到，参考数据：，．）
18．（2023·浙江嘉兴·校考一模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
(1)求点D与点A的距离；
(2)求隧道的长度．（结果保留根号）
19．（2023·新疆·统考一模）如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：）
20．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
类型三：锐角三角函数的应用：坡度坡角问题
21．（2023·天津武清·校考模拟预测）如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅，小明站在位于建筑物正前方的台阶点处测得条幅顶端的仰角为，朝着条幅的方向走到台阶下的点处，测得条幅顶端的仰角为，已知台阶的坡度为，米，则条幅的长度为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据，，，）
22．（2023·山西忻州·统考一模）绵山是中国清明节（寒食节）的发源地，相传春秋时期晋国介子推携母隐居被焚在山上．绵山入口处有一座雄伟高大的介子推铜像，当地某校的综合与实践小组的同学们想要测出这座铜像有多高．他们先制订了测量方案，随后又进行了实地测量．如图，铜像建在坡比为的楼梯顶端，同学们在A处测得铜像顶点N的仰角为，然后沿着AC方向走了到达B处，此时在B处测得铜像顶点N的仰角为，其中点A，B，C，D，M，N均在同一平面内．请根据以上数据求出铜像的高度．（结果精确到，参考数据，，，）
23．（2023·陕西榆林·校考一模）延安宝塔，是革命圣地延安的标志和象征，融历史文物和革命遗址为一脉，集人文景观和自然景观为一体．某数学兴趣小组在确保无安全隐患的情况下，开展了测量延安宝塔的高度的实践活动，具体过程如下：如图，是坡度的斜坡，的长为15米，米．是测角仪，长为2米，从点测得该塔顶部处的仰角为37°，已知，，求该塔的高度．（参考数据：）
24．（2023·陕西西安·校考三模）开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚处，测得铁塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走35m到达处，测得铁塔顶端的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：）．
25．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如图，在坡角为的山坡上有一铁塔，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成角时，测得铁塔落在斜坡上的影子的长为8米，落在广告牌上的影子的长为5米，求铁塔AB的高．（、均与水平面垂直，结果保留根号）
26．（2023·河北衡水·校考二模）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．
(1)求证：；
(2)若滑梯的长度米，米，分别求出滑梯与的坡度；
(3)在（2）的条件下，由于太陡，在保持长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．
①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯底端F向右移动的距离；
②在移动的过程中，直接写出面积的最大值．
27．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为．
(1)求坝底的长；
(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到）
28．（2023·上海崇明·统考一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为，它的影子的长度为4米．
(1)当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离；
(2)当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
29．（2023·海南儋州·统考一模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为．
(1)求坡顶A到地面的距离；
(2)计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
30．（2023·山东济南·一模）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房的高度，如图，楼房后有一假山，其斜坡坡比为1∶，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为，假山坡脚C与楼房水平距离米，与亭子距离米．
(1)求点E距水平地面的高度；
(2)求楼房的高．（结果精确到整数，参考数据，）
类型四、锐角三角函数与解直角三角形
31．（2023·福建漳州·统考一模）如图，四边形是矩形，对角线与交于点，过点作于点，作交延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
32．（2023·河南安阳·统考一模）如图，内接于，、是的直径，E是长线上一点，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长．
33．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，在中，，垂足是D，若，求的值．
34．（2023·浙江舟山·校联考一模）如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
35．（2023·上海静安·统考一模）如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
36．（2023·广东深圳·统考一模）(1)如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为 ．（从以下选项中选取）
A．正方形 B ．菱形 C．矩形
(2)如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
①求证：四边形是菱形；
②连接，求的值．
37．（2023·广东梅州·校考模拟预测）如图，在四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点E．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
38．（2023·上海崇明·统考一模）如图，是边上的一点，，垂足为点，若，．
(1)求的长；
(2)若，求的值．
39．（2023·上海浦东新·统考一模）如图，在中，，，点B在边上，，垂足为D，点F在延长线上，， ．求：
(1)的长；
(2)的值．
40．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．
(1)当AB＜AD时，
①求证：BE＝CD，
②猜想∠BDF的度数，并说明理由．
(2)若时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）．
在中，，，的对边分别为a、b、c，的面积为，过点A作，垂足为D，则在中，
∵
∴
∴
同理可得，，
即……………①
由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又∵
∴将等式两边同除以，得，
∴…………………②
由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．