2025年中考数学二轮复习：反比例函数 压轴解答题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：反比例函数 压轴解答题练习题（含答案解析），共39页。
1．（2024•中山市二模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC．点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象直接写出不等式kx+b＞mx的解集；
（2）求直线AC的解析式；
（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段EF的长为14，求n的值．
2．（2024•惠阳区校级三模）如图，直线y＝kx+b与双曲线y=mx(x＜0)相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式kx+b＜mx的解集．
3．（2024•新县一模）如图，反比例函数y=mx(x＞0）的图象与一次函数y＝kx+6的图象交于点B（1，5），C（n，1）．
（1）求m和k的值；
（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式mx≤kx+6（x＞0）的解集；
（3）连接OB，OC，求△BOC的面积．
4．（2024•焦作一模）小晃同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形ABCD的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=kx的图象经过正方形的顶点A（2，2），以点C为圆心，CB的长为半径作扇形BCD，BD交AC于点F；以CF为对角线作正方形CEFG，再以点C为圆心，CE的长为半径作扇形ECG．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求EG的长；
（3）直接写出图中阴影部分面积之和．
5．（2024•淮安区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜mx的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
6．（2024•澄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y＝ax+b（a≠0）交于点A（1，2），B（n，﹣1）两点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）求△AOB的面积．
7．（2024•澄城县一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻R为6Ω时，求电流I的大小．
8．（2024•焦作模拟）如图所示，矩形OABD的边OA在x轴上，OD在y轴上，点B的坐标是(2，3)反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点B，以点A为圆心，AO为半径作OC交边BD于点C，连接OC．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求∠OAC的度数．
（3）请直接写出图中阴影部分的面积．
9．（2024•吉林四模）如图，反比例函数y=kx(x＜0)的图象与直线x＝﹣3交于点P，△AOP的面积等于3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）利用图象，求当﹣3＜x＜0时，y的取值范围．
10．（2024•船营区校级模拟）某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
11．（2024•华蓥市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+b与双曲线y=kx(x＞0)交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024•定结县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当kx+b＞mx时，请直接写出x的取值范围是多少．
13．（2024•天河区一模）已知关于x的函数y=mm+1x+3m+1m+1(m≠−1)图象经过点A（m﹣1，n）．
（1）用含m的代数式表示n；
（2）当m=5时，若反比例函数y=kx的图象也经过点A，求k的值．
14．（2024•合水县一模）如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点P为反比例函数y=kx图象上一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
15．（2024•绥化模拟）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P关于S的函数关系式为 ．
（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 Pa．
（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．
16．（2024•垦利区三模）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y=nx图象于A（32，4），B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞nx的解集．
17．（2024•南阳二模）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得xy＝4，即y=4x；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+m2满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y=4x（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+m2的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y=4x（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ．
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
18．（2024•沈丘县二模）如图，一次函数y1＝x+b与反比例函数y2=kx(x≠0)的图象交于A、B两点，位于第一象限的交点A坐标为（1，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求点B坐标，并结合函数图象，直接写出y1﹣y2＜0时的自变量的取值范围；
（3）若x轴上存在点P，使得△ABP为等腰三角形，在图中画出点P位置（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出P点坐标．
19．（2024•南昌县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=3x(x＞0)的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为（m，3），AB＝5．
（1）求m，k，b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=ax(x＜0)的图象相交于点C，且BCAB=13，求a的值．
20．（2024•渠县校级模拟）如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）求k的值；
（2）请直接写出不等式kx＞12x+1的解集；
（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数y=12x+1的图象于点M，交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于点N，当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．（2024•中山市二模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC．点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象直接写出不等式kx+b＞mx的解集；
（2）求直线AC的解析式；
（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段EF的长为14，求n的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2＜x＜4；
（2）y=−34x+92；
（3）83或3．
【分析】（1）结合图象即可写出不等式kx+b＞mx的解集；
（2）由OB与AB的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，由OB+BD求出OD的长，即为C的横坐标，代入反比例解析式中求出CD的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y＝kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式；
（3）根据题意画出线段EF，根据线段EF的长为14，即可求n的值．
【解答】解：（1）根据图象可知：
不等式kx+b＞mx的解集为：2＜x＜4；
（2）将A点坐标（2，3）代入y=mx，
得：m＝xy＝2×3＝6，
∴y=6x；
又OD＝4，
∴C（4，1.5），
将A（2，3）和C（4，1.5）分别代入y＝kx+b，
得2k+b=34k+b=1.5，
解得k=−34b=92，
∴直线AC的解析式为y=−34x+92；
（3）当x＝n时，点E的纵坐标为−34n+92，
点F的纵坐标为6n，依题意，
得：−34n+92−6n=14，
解得n=83或n＝3．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及梯形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
2．（2024•惠阳区校级三模）如图，直线y＝kx+b与双曲线y=mx(x＜0)相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式kx+b＜mx的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+4，反比例的解析式为y=−3x（x＜0）；
（2）4；
（3）x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b，
得−3k+b=1−4k+b=0，
解得：k=1b=4，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入y=mx(x＜0)，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y=−3x（x＜0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，4），
由y=x+4y=−3x，解得x=−3y=1或x=−1y=3，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD=12×4×3−12×4×1=4；
（3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式kx+b＜mx的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
3．（2024•新县一模）如图，反比例函数y=mx(x＞0）的图象与一次函数y＝kx+6的图象交于点B（1，5），C（n，1）．
（1）求m和k的值；
（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式mx≤kx+6（x＞0）的解集；
（3）连接OB，OC，求△BOC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m＝5，k＝﹣1；
（2）1≤x≤5；
（3）12．
【分析】（1）将B（1，5）代入反比例函数y=mx(x＞0)得，m＝5，将点B（1，5）代入y＝kx+5中，解方程即可得出k＝﹣1；
（2）根据点C在反比例函数图象上，可得C的坐标，根据图象可得解集；
（3）求得直线与x轴的交点D的坐标，然后根据S△BOC＝S△BOD﹣S△COD求得即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，5）在反比例函数y=mx（x＞0）的图象上，
∴m＝1×5＝5，
∵点B（1，5）在一次函数y＝kx+6的图象上，
∴k+6＝5，
∴k＝﹣1；
（2）∵点C（n，1）在反比例函数y=5x的图象上，
∴n=51=5，
∴点C的坐标为（5，1），
观察图象，关于x的不等式mx≤kx+6（x＞0）的解集为1≤x≤5；
（3）设直线与x轴的交点为D，
令y＝0，则y＝﹣x+6得，﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴D（6，0），
∴S△BOC＝S△BOD﹣S△COD=12×6×5−12×6×1＝15﹣3＝12．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
4．（2024•焦作一模）小晃同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形ABCD的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=kx的图象经过正方形的顶点A（2，2），以点C为圆心，CB的长为半径作扇形BCD，BD交AC于点F；以CF为对角线作正方形CEFG，再以点C为圆心，CE的长为半径作扇形ECG．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求EG的长；
（3）直接写出图中阴影部分面积之和．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）y=4x；
（2）2π；
（3）24﹣6π．
【分析】（1）将点A的坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）由EG=14×2πr，即可求解；
（3）S阴影ABD＝S正方形ABCD﹣S扇形CBD，同理可得：S阴影EFG＝8﹣2π，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：k＝2×2＝4，
即反比例函数的表达式为：y=4x；
（2）由点A的坐标得，OA＝22=CO，
则EG=14×2πr=14×2π×OC=2π；
（3）由点A的坐标得，AB＝4＝BC，
S阴影ABD＝S正方形ABCD﹣S扇形CBD＝4×4−14×π×r2＝16−14×π×BC2＝16﹣4π；
同理可得：S阴影EFG＝8﹣2π，
则图中阴影部分面积之和＝16﹣4π+8﹣2π＝24﹣6π．
【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到扇形面积和弧长的计算、正方形的性质等，确定阴影部分面积的计算方法是解题的关键．
5．（2024•淮安区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜mx的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y＝kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=mx即可得出m的值，进而得出结论；
（2）利用图象法，写出反比例函数图象和一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；
（3）根据菱形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：
−4k+b=04k+b=2，
解得：k=14b=1，
∴一次函数解析式为y=14x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例函数解析式为y=8x．
（2）观察图象可知，kx+b＜mx时，x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC=42+12=17，PC=17，
∴以BC、PC为边构造菱形，
∵四边形BCPD为菱形，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1），
∵反比例函数解析式为y=8x，
当x＝8时，y＝1，
∴点D在反比例函数的图象上．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
6．（2024•澄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y＝ax+b（a≠0）交于点A（1，2），B（n，﹣1）两点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=2x，B（﹣2，﹣1）；（2）32．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式和点B坐标即可；
（2）先求出点C坐标，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，2），B（n，﹣1）在反比例函数图象上，
∴k＝1×2＝﹣1×n，
∴k＝2，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y=2x，B（﹣2，﹣1），
（2）∵点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝ax+b图象上，
∴a+b=2−2a+b=−1，解得a=1b=1，
∴一次函数解析式为y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC=12×1×1+12×1×2=32．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
7．（2024•澄城县一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻R为6Ω时，求电流I的大小．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】4A．
【分析】先设出电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I=UR(U≠0)，利用待定系数法求出解析式，进而求出当R＝6时，I的值即可得到答案．
【解答】解：设电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I=UR(U≠0)，
把（8，3）代入I=UR(U≠0)中得：3=U8(U≠0)，
∴U＝24，
∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I=24R，
∴当R＝6时，I=246=4，
∴电流I的大小为4A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
8．（2024•焦作模拟）如图所示，矩形OABD的边OA在x轴上，OD在y轴上，点B的坐标是(2，3)反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点B，以点A为圆心，AO为半径作OC交边BD于点C，连接OC．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求∠OAC的度数．
（3）请直接写出图中阴影部分的面积．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=23x；
（2）∠OAC＝60°；
（3）323−23π．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理求出BC，OC的长，然后证明△OAC是等边三角形，进而可求出∠OAC＝60°．
（3）根据S阴影＝S梯形OACD﹣S扇形OAC求解即可．
【解答】解：（1）把点 B(2，3) 代入 y=kx，得 k=2×3=23．
∴反比例函数的解析式是y=23x．
（2）∵矩形 OABD中B(2，3)，
∴OA＝BD＝2，AB=OD=3，∠B＝∠ODC＝90°，
由题意知AC＝AO＝2．
由勾股定理得BC=22−(3)2=1，
∴CD＝2﹣1＝1．
由勾股定理得OC=12+(3)2=2，
∴AO＝AC＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°．
（3）S阴影＝S梯形OACD﹣S扇形OAC
=12×(1+2)×3−60π×2180
=323−23π．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及扇形的面积公式，证明△OAC是等边三角形是解答本题的关键．
9．（2024•吉林四模）如图，反比例函数y=kx(x＜0)的图象与直线x＝﹣3交于点P，△AOP的面积等于3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）利用图象，求当﹣3＜x＜0时，y的取值范围．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=−6x；
（2）y＞2．
【分析】（1）先确定点P的坐标，即可求出反比例函数的表达式；
（2）根据反比例函数图象解答即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与直线x＝﹣3交于点P，
∴点P的横坐标为﹣3，OA＝3，
∵△AOP的面积等于3．
∴12•OA•PA＝3，
∴PA=6OA=63=2，
∴点P的坐标为（﹣3，2），
将P（﹣3，2）代入y=kx得：2=k−3，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y=−6x；
（2）∵当x＝﹣3时，y＝2，
∴当﹣3＜x＜0时，函数y的取值范围是y＞2．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，反比例图象上点的坐标特征，关键在于求出解析式．
10．（2024•船营区校级模拟）某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y=1200x(x＞0)；
（2）需要4台这样的挖掘机．
【分析】（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出当y＝20时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx，
∵点（24，50）在函数图象上，
∴50=k24，
∴k＝1200，
∴所求函数关系式为y=1200x(x＞0)．
（2）当y＝20时，20=1200x，
∴x＝60，
60÷15＝4，
答：需要4台这样的挖掘机．
【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
11．（2024•华蓥市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+b与双曲线y=kx(x＞0)交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x+4；
（2）4；
（3）存在，点P的坐标为（﹣2，0）或（10，0）；理由见解析．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积求得△OAB的面积；
（3）根据题意得到12PC⋅OD=12，即12PC×4=12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，3）代入y=kx(x＞0)得：3=k1，
解得k＝3，
故反比例函数的表达式为：y=3x；
将点B（3，m）代入y=3x得：m＝1，
故点B（3，1），
将点A（1，3），B（3，1）代入y＝ax+b得
a+b=33a+b=1，
解得a=−1b=4，
故一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）由一次函数y＝﹣x+4可知，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
所以，D（0，4），C（4，0），
则△OAB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积=12×4×3−12×4×1=4；
（3）存在，点P的坐标为（﹣2，0）或（10，0）；
理由：∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．
∴12PC⋅OD=12，即12PC×4=12，
∴PC＝6，
∴点P的坐标为（﹣2，0）或（10，0）．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
12．（2024•定结县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当kx+b＞mx时，请直接写出x的取值范围是多少．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数解析式为：y=−6x；（2）0＜x＜6或x＜﹣2．
【分析】（1）根据点AB的坐标求出直线AB解析式，代入点C的横坐标求出a值即可得到k值；
（2）联立方程组得到两个交点的横坐标，根据两个函数图象和性质直接写出不等式kx+b＞mx的解集即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，0）点B（0，2），
∴直线AB解析式为y=−12x+2，
∵点C（6，a）在直线AB上，
∴a=−12×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
∵点C（6，﹣1）在反比例函数y=mx的图象上，
∴m＝﹣6，
∴反比例函数解析式为：y=−6x；
（2）联立方程组y=−12x+2y=−6x，
解得x1＝6，x2＝﹣2，
当kx+b＞mx时，自变量x的取值范围为：0＜x＜6或x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，两个函数的交点满足两个函数解析式．
13．（2024•天河区一模）已知关于x的函数y=mm+1x+3m+1m+1(m≠−1)图象经过点A（m﹣1，n）．
（1）用含m的代数式表示n；
（2）当m=5时，若反比例函数y=kx的图象也经过点A，求k的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）n＝m+1；
（2）k的值为4．
【分析】（1）把点A（m﹣1，n）代入解析式，化简即可；
（2）当m=5时，则A（5−1，5+1），然后利用待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的函数y=mm+1x+3m+1m+1(m≠−1)图象经过点A（m﹣1，n），
∴n=mm+1×（m﹣1）+3m+1m+1
=m2+2m+1m+1
=(m+1)2m+1
＝m+1；
（2）当m=5时，则A（5−1，5+1），
∵反比例函数y=kx的图象也经过点A，
∴k＝（5−1）（5+1）＝4，
∴k的值为4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
14．（2024•合水县一模）如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点P为反比例函数y=kx图象上一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y=4x；
（2）点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【分析】（1）先把点A（1，m）代入y＝x+3，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可；
（2）先求出OB和OC长，利用12OB×PD=2×12OC×AH，列出方程进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意，将A（1，m）代入y＝x+3中，
∴m＝1+3．
∴m＝4．
∴A（1，4）．
将A（1，4）代入反比例函数y=kx，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x．
（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴OB＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴12OB×PD=2×12OC×AH，
即12×3×PD=2×12×3×1，
解得PD＝2，
∴点P的纵坐标为2或﹣2，
将y＝2代入y=4x得：x＝2，
或y＝﹣2代入y=4x得x＝﹣2，
∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
15．（2024•绥化模拟）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P关于S的函数关系式为 P=100S，（S＞0） ．
（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 400 Pa．
（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】（1）P=100S，（S＞0）；（2）400；（3）0.025＜S＜0.1．
【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设P=kS，依据图象上点A的坐标可以求得P与S之间的函数关系式．
（2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．
（3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围．
【解答】解：（1）设P=kS，
∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上，
∴1000=k0.1．
∴k＝100．
∴P与S的函数关系式为 P=100S，（S＞0）．
故答案为：P=100S，（S＞0）．
（2）当S＝0.25m2时，P=1000.25=400（pa）．
故答案为：400．
（3）令P＝1000，S=1001000=0.1（m2），
令P＝4000，S=1004000=0.025（m2），
∴当1000＜p＜4000时，0.025＜S＜0.1．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
16．（2024•垦利区三模）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y=nx图象于A（32，4），B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞nx的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m＝2，n＝6；
（2）（0，3）或（0，﹣3）；
（3）x＜0或32＜x＜3．
【分析】（1）把点A（32，4）代入y=nx中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式；
（2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB＝S△EOB得到关于a的方程12，解方程求得a，从而求得E点的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【解答】（1）把点A（32，4）代入y=nx中，得：n=32×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
将点B（3，m）代入y=6x得m=63=2；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（32，4），B（3，2）代入得32k+b=43k+b=2，
解得 k=−43b=6
∴直线AB的表达式为y=−43x+6，
∴D点的坐标为（0，6），
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD=12×6×3−12×6×32=92，
设E点的坐标为（0，a），
∵S△AOB＝S△EOB，
∴12|a|×3=92，
解得：|a|＝3，
∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
（3）不等式kx+b＞nx的解集是x＜0或32＜x＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
17．（2024•南阳二模）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得xy＝4，即y=4x；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+m2满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y=4x（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+m2的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y=4x（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ．
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数综合题；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力；创新意识．
【答案】（1）一；
（2）作图见解析部分；
（3）①m＝8；
②当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8；
（4）m≥8．
【分析】（1）x，y都是边长，则x，y都比0大，由此即可判断；
（2）y＝﹣x的图象是一条经过原点的直线；
（3）①利用待定系数法求解；
②欲判断直线平移过程中的交点个数，考虑联立y＝﹣x+m2和y=4x并整理，判断一元二次方程x2−m2x+4＝0的实数根的个数；
（4）构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）∵x＞0，
∴满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；
故答案为：一；
（2）图形如图所示：
（3）①当直线平移到与函数y=4x（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，
将（2，2）代入y＝﹣x+m2，解得m＝8，
故周长m的值为8．
故答案为：8；
②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．
联立y＝﹣x+m2和y=4x并整理，得x2−m2x+4＝0，
有0个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（−m2）2﹣4×1×4=m24−16＜0，解得0＜m＜8；
有两个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（−m2）2﹣4×1×4=m24−16＞0，解得m＜﹣8（舍去）或m＞8．
综上所述，当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8；
（4）由（2）可知，矩形的周长2x+2y＝m≥8，
所以若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8．
故答案为：m≥8．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
18．（2024•沈丘县二模）如图，一次函数y1＝x+b与反比例函数y2=kx(x≠0)的图象交于A、B两点，位于第一象限的交点A坐标为（1，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求点B坐标，并结合函数图象，直接写出y1﹣y2＜0时的自变量的取值范围；
（3）若x轴上存在点P，使得△ABP为等腰三角形，在图中画出点P位置（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出P点坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）一次函数的解析式是：y1＝x+5，反比例函数的解析式是：y2=6x；
（2）点B的坐标是（﹣6，﹣1），x＜﹣6或0＜x＜1；
（3）点P的坐标是(97−6，0)，(97−6，0)，(62+1，0)，(−62+1，0)，（0，0），图中点P的位置，见解析．
【分析】（1）将点A（1，6）分别代入y1＝x+b，y2=kx中解出b、k的值，即可得出．
（2）因为点B是两函数图象的交点，得到6x=x+5，解出x的值，再代入反比例函数解析式中，得出结果．
（3）分类讨论，AB＝BP，AB＝AP，AB＝AP三种情况，设点P的坐标为（m，0），利用距离公式，求得结果．
【解答】解：（1）将点A（1，6）代入y1＝x+b中，得到6＝1+b，
解得：b＝5，
∴一次函数的解析式是：y1＝x+5．
将点A（1，6）代入y2=kx中，得到6=k1，
解得：k＝6
∴反比例函数的解析式是：y2=6x；
（2）令6x=x+5，
解得：x1＝1，x2＝﹣6，
将x2＝﹣6代入y2=6x中，
得y2＝﹣1，
∴点B的坐标是（﹣6，﹣1），
有图象可知，y1﹣y2＜0时，x的取值范围是：x＜﹣6或0＜x＜1；
（3）∵AB=(−6−1)2+(−1−6)2=72，
∴①若AB＝BP，
设点P的坐标为（m，0），
可得72=(−6−m)2+(−1−0)2，
解得：m1=97−6，m2=−97−6，
∴点P的坐标为(97−6，0)，(97−6，0)．
②若AB＝AP，
可得：(−6−m)2+(−1−0)2=(1−m)2+(6−0)2，
解得：m＝0，
则P点的坐标是（0，0）．
③若AB＝AP，
可得72=(1−m)2+(6−0)2，
解得：m1=62+1，m2=−62+1，
∴点P的坐标为(62+1，0)，(−62+1，0)．
点P的位置如图所示，
【点评】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的综合，解决问题的关键是要多种情况考虑，多种情况分析．
19．（2024•南昌县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=3x(x＞0)的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为（m，3），AB＝5．
（1）求m，k，b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=ax(x＜0)的图象相交于点C，且BCAB=13，求a的值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m＝1，k=34，b=94；
（2）a=−53．
【分析】（1）作AD⊥x轴于点D，先利用反比例二次函数的性质求得m＝1，再利用勾股定理求得BD的长，得到B（﹣3，0），利用待定系数法即可求解；
（2）作CE⊥x轴于点E，得到△CEB∽△ADB，推出CEAD=CBAB，求得CE＝1，再求得C(−53，1)，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D，如图1，
∵反比例函数y=3x(x＞0)的图象经过点A（m，3），
∴3=3m，
∴m＝1，
∴A（1，3），
∴OD＝1，AD＝3，
∵AB＝5，
∴BD=52−32=4，
∴OB＝4﹣1＝3，
∴B（﹣3，0），
将A（1，3）和B（﹣3，0）代入y＝kx+b，得k+b=3−3k+b=0，
解得k=34b=94；
（2）作CE⊥x轴于点E，如图2，
∵AD⊥x轴，
∴CE∥AD，
∴△CEB∽△ADB，
∴CEAD=CBAB，
∵BCAB=13，AD＝3，
∴CE3=13，
∴CE＝1，
由（1）得直线AC的解析式为y=34x+94，
∴1=34x+94，
解得x=−53，
∴C(−53，1)，
∵反比例函数y=ax(x＜0)的图象经过点C(−53，1)，
∴a=−53×1=−53．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
20．（2024•渠县校级模拟）如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）求k的值；
（2）请直接写出不等式kx＞12x+1的解集；
（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数y=12x+1的图象于点M，交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于点N，当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k＝4；
（2）0＜x＜2或x＜﹣4；
（3）P(−22，0)或P(22，0)或P(−2+23，0)或P(−2−23，0)．
【分析】（1）令y＝0，得到A的横坐标，令x＝0，得到C的纵坐标，由AC＝BC可知点C为AB的中点，设(m，12m+1)，得﹣2+m＝2×0，12m+1=2×1，解得：m＝2，得B的坐标为（2，2），代入y=kx中即可求得k的值；
（2）联立两个函数解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出点D的坐标，运用交点的横坐标，根据图象可得，kx＞12x+1时，y=4x的图象在y=12x+1的上方，即可求解；
（3）设P（a，0），则M(a，12a+1)，点N(a，4a)，根据题意，得12a+1−4a=1，解绝对值方程即可．
【解答】解：（1）令y＝0，得到12x+1=0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
令x＝0，得y＝1，
∴C（0，1）；
∵AC＝BC，则点C为AB的中点，设(m，12m+1)，
∴﹣2+m＝2×0，12m+1=2×1，
解得：m＝2，12m+1=2
∴B的坐标为（2，2），
∵点B（2，2）在y=kx上，
∴k＝2×2＝4；
（2）由（1）知，y=4x，
则12x+1=4x，整理，得x2+2x﹣8＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣1，
∴D（﹣4，﹣1）；
根据图象可得，kx＞12x+1时，y=4x的图象在y=12x+1的上方，
∴x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣4；
（3）设P（a，0），则M(a，12a+1)，点N(a，4a)，OC＝1，
∵PM⊥x轴，
∴CO∥MN，
要使得O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，则CO＝MN，
∴|12a+1−4a|=1，
当12a+1−4a=1时，整理，得a2＝8，
解得a=±22，
当12a+1−4a=−1时，整理，得a2+4a﹣8＝0，
解得a=−2±23，
∴点P的坐标为P(−22，0)或P(22，0)或P(−2+23，0)或P(−2−23，0)．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式，不等式的解集，一元二次方程的解法，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法，灵活运用平行四边形的判定，准确求解一元二次方程的根是解题的关键．