专题06 数列求通项(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29513" 题型01 法 PAGEREF _Tc29513 \h 1
\l "_Tc28665" 题型02 类法 已知等式中左侧含有： PAGEREF _Tc28665 \h 2
\l "_Tc16705" 题型03 累加法 PAGEREF _Tc16705 \h 3
\l "_Tc8979" 题型04累乘法 PAGEREF _Tc8979 \h 4
\l "_Tc14733" 题型05 用“待定系数法”构造等比数列 PAGEREF _Tc14733 \h 5
\l "_Tc19326" 题型06 用“同除法”构造数列 PAGEREF _Tc19326 \h 6
\l "_Tc14847" 题型07 用“倒数变换法”构造等差数列 PAGEREF _Tc14847 \h 6
\l "_Tc21550" 题型08 形如()型 PAGEREF _Tc21550 \h 7
\l "_Tc7294" 题型09 形如()型 PAGEREF _Tc7294 \h 7
题型01 法
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·北京东城·一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则 ， .
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ．
【变式1-3】（2023·北京·模拟预测）设数列的前项和，则 ；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为 .
题型02 类法 已知等式中左侧含有：
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ．
【变式1-1】（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（ ）
A．216B．260C．290D．316
【变式1-3】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则 .
题型03 累加法
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京大兴·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（ ）

A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 .
【变式1-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-3】（2023·云南红河·一模）已知数列满足：，则（ ）
A．21B．23C．25D．27
题型04累乘法
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）数列 满足，则 .
【变式1-1】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·山西太原·二模）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 .
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为 .
题型05 用“待定系数法”构造等比数列
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】已知数列满足，且，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】若数列满足，，，则数列的前项和 .
【变式1-1】已知数列满足，，则 ．
【变式1-2】已知数列满足，且前8项和为761，则 ．
【变式1-3】已知数列满足，且，则 .
题型06 用“同除法”构造数列
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【典例1-2】数列满足，则数列的通项公式为 ．
【变式1-1】数列满足，则数列的通项公式为 .
【变式1-2】记数列的前项和为，若，则 .
【变式1-3】已知数列的首项为，且满足，则 ．
题型07 用“倒数变换法”构造等差数列
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 .
【典例1-2】数列中，若，，则 ．
【变式1-1】已知数列满足，，，则 .
【变式1-2】已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【变式1-3】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
题型08 形如()型
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 .
【典例1-2】在数列中，，且，则的通项公式为 ．
【变式1-1】设数列满足，，则数列的通项公式为 .
【变式1-2】若，，则 ；
【变式1-3】在数列中，已知，且，若，则n取值的集合为 ．（用列举法表示）
题型09 形如()型
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】已知数列满足，且，，对，，则数列的通项公式是 ；实数的取值范围是 .
【典例1-2】已知数列中，，且满足，则 ．
一、单选题
1．（2024·广东河源·模拟预测）记为非零数列的前项和，若，，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（ ）
A．−2B．C．1D．2
6．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖南永州·三模）已知非零数列满足，则（ ）
A．8B．16C．32D．64
8．（2024·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A．−1,1B．C．D．1,+∞
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 .
12．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 .
13．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和 ．
14．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列的前项和为，，，，则 ．
15．（2023·上海徐汇·一模）在数列中，，且，则 .
①；
②
①-②：

已知等式中左侧含有：作差法（类似）例：已知求
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
满足()的数列的通项公式的求法：
设，通过待定系数法确定，的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
满足()的数列的通项公式的求法：
可以将递推式化为，其中，是方程的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列．