专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系(10类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24972" 题型01 两条直线的平行与垂直关系 PAGEREF _Tc24972 \h 1
\l "_Tc21519" 题型02点到直线距离公式应用 PAGEREF _Tc21519 \h 3
\l "_Tc4814" 题型03圆的方程 PAGEREF _Tc4814 \h 6
\l "_Tc21931" 题型04圆上点到定点（定直线）距离最值问题 PAGEREF _Tc21931 \h 9
\l "_Tc2553" 题型05直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc2553 \h 12
\l "_Tc18383" 题型06圆的切线 PAGEREF _Tc18383 \h 15
\l "_Tc18877" 题型07 圆的弦长 PAGEREF _Tc18877 \h 18
\l "_Tc28300" 题型08相交圆的公共弦长 PAGEREF _Tc28300 \h 21
\l "_Tc10630" 题型09两圆的公共弦方程 PAGEREF _Tc10630 \h 23
\l "_Tc16599" 题型10 圆的公切线问题 PAGEREF _Tc16599 \h 26
题型01 两条直线的平行与垂直关系
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】已知直线垂直求参数、既不充分也不必要条件
【分析】由，计算得或，即可判断.
【详解】因为，
所以，
解得或，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【典例1-2】（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数
【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若，则，解得或，
若，则直线：、直线：，可知；
若，则直线：、直线：，可知；
综上所述：或.
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】由两直线垂直的充要条件结合且即可求解.
【详解】由题意可知若，则，
又因为即，故，即.
故选：B.
【变式1-2】（23-24高二上·宁夏银川·期中）“”是“直线：与直线：垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件的证明、已知直线垂直求参数
【分析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】因为直线：与直线：垂直，
所以，解得，
所以“”是“直线：与直线：垂直”的充要条件.
故选：C
题型02点到直线距离公式应用
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得.
【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点，
而由知，点可看成圆上的动点，
于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.

如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为，
要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大，
又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短）
此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为.
故选：D.
【典例1-2】（23-24高三下·北京·开学考试）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】由条件可得点是圆上的一点，因此点到直线的距离的最大值为,只需用点到直线的距离求出的最大值即可.
【详解】设点，
因为,
所以,
所以点是在以为圆心，半径为1的圆上，
因为点到直线的距离,
当且仅当时等号成立，
所以点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
【变式1-1】（23-24高二上·福建三明·期末）已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意分析可得直线与圆有公共点（公共点不能是、），结合直线与圆的位置关系分析运算即可.
【详解】因为直线上存在点使得，
所以点在以，为直径的圆上，但点不能是、，
由，为直径的圆，可得圆心为,半径为，即圆,
要使得，只需直线与圆有公共点，但公共点不能是,，
因为圆心到直线的距离为，
所以，解得，
当直线与圆有公共点为,时，则直线为轴，即.
综上所述：实数k的取值范围为.
故选:B.
【变式1-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线有公共点，利用点到直线的距离公式列不等式，即可求得答案.
【详解】连接，则.圆的圆心为2,0，半径为；
又，所以四边形为正方形，所以，
于是点在以点为圆心，为半径的圆上.
则该圆与直线有公共点，
所以圆心到直线的距离，解得.
故选：C
【变式1-3】（23-24高二上·北京平谷·期末）圆心为，且与直线相切的圆的半径为（ ）
A．B．2C．8D．
【答案】A
【知识点】求点到直线的距离
【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意知，圆心为，且与直线相切，
则圆的半径为.
故选：A.
题型03圆的方程
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高二上·北京顺义·期中）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点
【分析】求圆心关于直线的对称点，利用对称前后半径相等可得结果.
【详解】
圆的圆心为，半径.
设点关于直线的对称点为，则，解得，故，圆方程为.
故选：B.
【典例1-2】（2024·北京海淀·二模）已知双曲线，则的离心率为 ；以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .（写出一个即可）
【答案】 / 或（）
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.
【详解】的离心率为，又渐近线为，即，
故焦点与到的距离均为，
则以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为或，
故答案为：；或（）
【变式1-1】（2024·北京西城·二模）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为 ．
【答案】
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、点与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】设圆的方程为，进而利用待定系数法求解即可.
【详解】设圆的方程为，
则由题意可得，解得，
所以圆的方程为
故答案为：
【变式1-2】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 .
【答案】
【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——圆
【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解.
【详解】方法一：设点，
，，，，
由题意可知：，
，，
整理得：，
三点不共线，
，，应去除.
直角顶点的轨迹方程为：.
方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心，
为半径的圆上(不能和B、C重合)，
故A的轨迹方程为.
【变式1-3】（23-24高二上·北京东城·期中）设为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、椭圆定义及辨析、求椭圆的焦点、焦距
【分析】由椭圆定义可得，，从而，进而的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由此能求出动点的轨迹方程．
【详解】为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，
延长至点，使得，
，，
，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
动点的轨迹方程为．
故答案为：
题型04圆上点到定点（定直线）距离最值问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京房山·一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】向量加法法则的几何应用、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可．
【详解】由题意，可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
取的中点，则，
所以，
故选：D
【典例1-2】（23-24高二上·北京西城·期末）已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求点到直线的距离
【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，即可得圆心到直线的距离的最大值，加上半径即为点到直线的距离的最大值.
【详解】由，即，
即圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
故圆心到直线的距离的最大值为，
则点到直线的距离的最大值为.
故选：D.
【变式1-1】（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、轨迹问题——圆
【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得.
【详解】由以及可得直线的方程为，
联立，消去整理可得；
所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆；
因此.
故选：C
【变式1-2】（2023·北京昌平·二模）已知点在直线上，点，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据的轨迹为圆，利用圆的几何性质，转化为圆心到直线的距离得解.
【详解】设，
由可知，
所以，即在圆心为，半径为2的圆上的动点，
圆心到直线的距离，
所以，
故选：B
【变式1-3】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先确定的轨迹为以线段为直线的圆以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值．
【详解】因为，所以点的轨迹为以线段为直线的圆，
因为，所以圆心为，半径为1，
又直线，其过定点，
故点到直线的距离的最大值为．
故选：C．
题型05直线与圆的位置关系
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、过圆上一点的圆的切线方程
【分析】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立.
【详解】时，到的距离为，
故，解得，
满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立，
经过定点M1,1，
若，，若，此时直线，
直线与相切，另一条切线斜率不存在，
故满足存在唯一k使得直线l与相切”，
当M1,1在上，满足存在唯一k使得直线l与相切，
故，
又，解得，必要性不成立，
故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件.
故选：A
【典例1-2】（2024·北京朝阳·二模）若直线与曲线 有两个不同的交点，则实数的一个取值为 .
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】画出图，由图可知有两个交点的时候的临界状态为相切与过点，求出此时直线的斜率，则实数的取值范围即可求解.
【详解】
直线过定点，
曲线 ，即，表示半圆，
如图所示，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，
所以（舍去）或，
由于直线与曲线 有两个不同的交点，
当直线过时，斜率最小为，
所以由图可知，实数的取值范围为：，
故实数的一个取值为1，
故答案为：1（答案不唯一）.
【变式1-1】（2024·北京大兴·三模）已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法，当，直线与圆有公共点时，恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】易知圆的圆心为，半径为，
当，直线与圆有公共点时，恒成立，即恒成立，
则且，解得，即或（舍去）
所以“，直线与圆有公共点”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【变式1-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数
【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得.
【详解】因圆与直线只有一个公共点，
则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1，
即，而，则有，
所以的值为2.
故选：C
【变式1-3】（24-25高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是 ．
【答案】相离
【知识点】判断直线与圆的位置关系
【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案.
【详解】由的圆心为，半径为1，
圆心到的距离，
所以直线与圆相离.
故答案为：相离
题型06圆的切线
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京通州·三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【知识点】求点到直线的距离、过圆外一点的圆的切线方程、切线长
【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长.
【详解】如图所示，圆心为，连接，

因为直线，关于对称，所以垂直于直线，
故，而，
所以.
故选：C
【典例1-2】（2023·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程
【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.
【详解】解：圆的标准方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即，
化简得，
解得，，
综上：直线方程为：，
故答案为：
【变式1-1】（2023·北京东城·二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程
【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为，
设倾斜角为，则，
由于，故，
故选：D
【变式1-2】（2023·北京门头沟·一模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】已知切线求参数
【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.
【详解】如下图所示：
直线的斜率为，倾斜角为，故，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
易知直线交轴于点，所以，，
由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，
由圆的几何性质可知，且，则，
故.
故选：A.
【变式1-3】（2022·北京朝阳·二模）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程
【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程.
【详解】由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为.
故选：C
题型07 圆的弦长
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京朝阳·一模）已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数
【分析】借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得.
【详解】圆的圆心为：，半径为，
则圆心到直线的距离为，
由垂径定理可得.
故选：D.
【典例1-2】（2024·北京海淀·一模）已知，线段是过点的弦，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】借助直径与弦垂直时，有最小，计算即可得.
【详解】由，故点在圆的内部，
且该圆圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，
由垂径定理可得，即，
故当取最大值时，有最小值，
又，
故.
故答案为：.
【变式1-1】（2023·北京房山·一模）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【知识点】圆的弦长与中点弦、判断点与圆的位置关系
【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小
【详解】由圆的方程，可知圆心，半径，
直线过定点，
因为，则定点在圆内，
则点和圆心连线的长度为，
当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，
由圆的弦长公式可得，
故选：C
【变式1-2】（2024·北京·三模）已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ．
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、圆的弦长与中点弦
【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的离心率和渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的离心率为；
又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即，
因为圆的圆心为，半径，
所以圆心到渐近线的距离为，
由圆的弦长公式，可得.
故答案为：；.
【变式1-3】（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 .
【答案】 2 1（均可）
【知识点】基本不等式求积的最大值、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积
【分析】求出圆心到直线的距离，则，再由基本不等式求出面积最大值，以及此时的值.
【详解】直线，则，令，解得，
所以直线恒过点，
的圆心为，半径，
显然点在上，
圆心到直线的距离，，
则，
当且仅当，即时取等号，
即，解得或.
故答案为：；（均可）
题型08相交圆的公共弦长
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·重庆·三模）过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长、求点到直线的距离
【分析】求出圆的圆心，半径.然后根据已知可推得，四点共圆，进而得出是两圆的公共弦，根据四边形的面积，即可推得.然后求出的最小值，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，圆心，半径.
因为为切线，所以，
所以，四点共圆，过圆心，
所以，是圆与圆的公共弦，所以，
且.
设四边形面积为，则.
又，
所以，.
显然，当增大时，也增大，
所以，当最小时，有最小值.
当时，最小，，此时.
故答案为：.
【典例1-2】（2024·天津河北·二模）圆和圆的公共弦的长为 ．
【答案】
【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差即可得出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式及垂径定理、勾股定理计算可得；
【详解】解：由圆①，即，所以圆心，半径；
又圆②，
①②得，即公共弦方程为，
圆心到直线的距离,
所以公共弦长为；
故答案为：
【变式1-1】（2023·湖南邵阳·一模）已知圆与圆相交于两点，则公共弦所在的直线方程为 ， .
【答案】 ； 2
【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程
【分析】先求出公共弦方程，再利用几何法求弦长.
【详解】由圆与圆，可得公共弦所在的直线方程为：，即.
因为圆的圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为1，所以.
故答案为：；2.
【变式1-2】（23-24高二上·河南·期中）圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为 ．
【答案】
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长.
【详解】圆与圆联立可得：
公共弦的方程为，
变形为，
故的圆心为，半径为，
而满足，故弦AB的长为圆的直径，
故弦AB的长为．
故答案为：.
【变式1-3】（2024·山东威海·三模）圆与圆的公共弦长为 ．
【答案】
【知识点】两圆的公共弦长
【分析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解
【详解】设圆：与圆：交于，两点
把两圆方程相减，化简得
即：
圆心到直线的距离，又
而，所以
故答案为：
题型09两圆的公共弦方程
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·河北·模拟预测）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】轨迹问题——圆、相交圆的公共弦方程
【分析】利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为点在圆上的动点，点满足，
设，，则，
所以，即，
代入圆的方程，可得，即，
可得两圆的公共弦的方程为，即，
又因为两圆的公共弦的方程为，可得 ，解得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量的线性运算与相关点法，求得圆的轨迹方程，从而得解.
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 .
【答案】
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ的方程，运算求解即可.
【详解】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程，
将与作差得，
整理得，
即直线PQ的方程为.
故答案为：.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、切点弦及其方程、相交圆的公共弦方程
【分析】方法一：利用直线，得出，在中，利用几何关系求出及，进而可求出点到直线MN的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出结果；方法二：利用直线为圆和以AC为直径的圆的公共弦，求出以AC为直径的圆，即可求出结果.
【详解】由题意得直线垂直平分线段，又圆：，所以圆心，，
又由，得直线AC的斜率，所以直线MN的斜率，
可设直线的方程为，又，
在中，，，
得到，则点到直线MN的距离，
即，解得或，
当时，直线MN与圆C相离，不符合题意，所以直线MN的方程为．

一题多解 因为分别是圆C的切线，所以，
所以点在以AC为直径的圆上．因为，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为
故以为直径的圆的方程为，又因为圆C：，
所以直线MN的方程为，化简得，
故选：B．
【变式1-2】（23-24高二上·北京西城·期中）已知两圆：和：相交，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】将两圆的方程相减即可得解.
【详解】将两圆的方程相减得，
即圆与圆的公共弦所在直线的方程为.
故答案为：.
题型10 圆的公切线问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【知识点】圆的公切线条数
【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数．
【详解】圆标准方程为，
则已知两圆圆心分别为，半径分别为，
圆心距为，
因此两圆外切，它们有三条公切线，
故选：B．
【典例1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【知识点】圆的公切线方程
【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由，设圆心为，半径为，
由，设圆心为，半径为1，
设直线l不存在斜率，此时方程设为：，
因为直线l同时与圆和圆相切，
所以有，此时直线l的方程为，
当直线l存在斜率，此时方程设为：，
因为直线l同时与圆和圆相切，
所以或，
所以此时切线方程为，或，即
，或，
故答案为： ；
【变式1-1】（23-24高二上·北京怀柔·期中）若圆与圆恰有3条公切线，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据两圆外切，即可根据圆心距和半径的关系求解.
【详解】由于圆与圆恰有3条公切线，故两圆外切，
的圆心，半径为，的圆心，半径为，
故，故，解得，
故答案为：7
【变式1-2】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程）
【答案】 （答案不唯一，或亦可）
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的公切线方程
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得圆心；设出两圆的公切线方程，注意讨论斜率是否存在，由切线的性质列式计算即可得公切线方程.
【详解】由，即，
故圆的半径为，圆心坐标为，
设直线与圆和圆都相切，
若直线斜率不存在，设直线为，
需有，解得，故符合要求；
若直线斜率存在，设直线为，即，
需有，两式相除得，
故或，
化简得或，
由可得，
故有或，
化简得或，
即或，
则或，
故该直线为或，
即或，
综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有：
、、.
故答案为：；（答案不唯一，或亦可）
【变式1-3】（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】先确定两圆的圆心和半径，然后根据条件分析出两圆的位置关系，再由圆心距和半径的数量关系求解出结果.
【详解】因为，
∴，半径为，
因为，
∴，半径为，
若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，
∴，
由于，故，
解得，即的最小值为，
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·北京·三模）已知直线，圆，下列说法错误的是（ ）
A．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点；
B．当且仅当时，直线被圆所截弦长为；
C．对任意实数，圆不关于直线对称；
D．存在实数，使得直线与圆相切．
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦
【分析】求出直线所过的定点，并判断该定点与圆的位置关系，再逐项分析判断即可得解.
【详解】直线，由，解得，即直线恒过定点，
圆的半径，，即点在圆内，
对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点，A正确，D错误；
直线不过圆的圆心，因此对任意实数，圆不关于直线对称，C正确；
直线的斜率，当时，直线的斜率为，因此直线
此时直线被圆所截弦是过点的最短弦，最短弦长为，
因此当且仅当时，直线被圆所截弦长为，B正确.
故选：D
2．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值.
【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，
又直线，其过定点，
故距离的最大值为.
故答案为：C
3．（2024·北京房山·一模）直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、已知点到直线距离求参数
【分析】根据给定条件用圆的半径r表示出圆心到直线距离即可计算作答.
【详解】因直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，
令劣弧的两个端点为，则为等边三角形，
故圆心到直线的距离等于，
即，解得.
故选：B.
4．（2024·北京东城·二模）直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆交点的坐标、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】设的中点为，连接、、，即可求出，分析可知为等边三角形，即可得到点在的中垂线与圆的交点（上方），从而求出点坐标.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
设的中点为，连接、、，则，且，
则，所以，则，即，
若在圆上的点使得为等腰三角形，
若（也类似），连接，则，
此时，则，所以为等边三角形，
若也可得到为等边三角形，所以点在的中垂线与圆的交点（上方），
由，解得或，所以可以是.
故选：D

5．（2024·北京·模拟预测）已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由题意将原问题等价转换为圆心在直线上且半径为的动圆与圆有交点，分直线与圆的位置关系讨论，利用圆心到直线的距离即可得解.
【详解】若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，
则条件等价于圆心（设为D）在直线上且半径为的动圆与圆有交点，
圆的圆心为
到直线的距离，
当圆与直线相离时，即时，
则圆上的动点到直线的最小距离为，
此时只需满足即可，所以；
当时，圆与直线有交点，此时圆和直线上一定分别存在点，使得，符合题意.
综上，.
故选：C.
6．（2024·北京延庆·一模）在等边中，，为所在平面内的动点，且，为边上的动点，则线段长度的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据题意可知点在以点为圆心，半径为的圆上，结合图象分析即可.
【详解】根据题意可知，点在以点为圆心，半径为的圆上，
如图：
为边上的动点，线段取最大值时，
,
而当与点重合时，最大，且最大值为2,
此时线段长度的最大值为，
故选：D.
7．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长
【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案.
【详解】如图所示：连接，则，
当最小时，最小，，
故的最小值为.
故选：C.
8．（2023·北京大兴·三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程
【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值．
【详解】如下图所示：

直线的斜率为，倾斜角为，故，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
易知直线交轴于点，所以，
由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，
由圆的几何性质可知，且，则，
故．
故选：A
二、填空题
9．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 .
【答案】18
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线截距式方程及辨析
【分析】确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知过点的直线（不过原点）在轴、轴上的截距相等，
设该直线方程为，将代入得，即直线方程为，
由于该直线与相切，圆心为，半径为，
故，
故答案为：18
10．（2022·北京房山·二模）已知圆和直线，则圆心坐标为 ；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为 .
【答案】 /
【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线过定点，可知当时，圆心到距离最大，则.
【详解】由圆的方程知：圆心坐标为；
由直线方程知：恒过点，则，
当时，圆心到距离最大，
又圆的半径，.
11．（2023·北京·模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 .
【答案】3
【知识点】点与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】设，根据点P到直线的距离为，求得，再由在圆上，得到，取得或，进而求得满足条件的点的个数，得到答案.
【详解】设，由点P到直线的距离为，得
两边平方整理得到①
因为在圆上，所以，即②
联立①②得，
解得或，
当时，由①②可得，解得或，即或
当时，由①②可得，解得或，即或
综上，满足条件的点P的个数为.
故答案为：3.
12．（2022·北京海淀·二模）已知圆，则圆的半径为 ；若直线被圆截得的弦长为1，则 ．
【答案】 1；
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的弦长与中点弦
【分析】第一空：将一般方程化为标准方程即可求解；第二空：先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.
【详解】第一空：将化为标准式得，故半径为1；
第二空：圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.
故答案为：1；.
13．（2024·上海长宁·一模）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 .
【答案】
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】直接根据已知写出圆的标准方程得解.
【详解】由题得圆的标准方程为.
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）写出一个与直线都相切的圆的标准方程 ．
【答案】（或，答出一个即可）
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先确定圆心横坐标及半径，再分类讨论计算即可.
【详解】根据圆与直线相切可知圆心在直线上，半径为2，
再由圆与直线相切可得圆心为或，
则圆的标准方程为或．
故答案为：或.
直线方程
与
点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线：的距离.
1、圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
2、圆的一般式方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
1、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
2、圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。
1、过圆上一点作切线：利用圆心与切线的连线与切线垂直求斜率，可作一条切线
2、过圆外一点作切线：利用圆心到直线的距离等于半径，可作两条切线
3、切线长问题：
（1）
（2）代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
（1）两圆外离：4条公切线
（2）两圆外切：3条公切线
（3）两圆相交：2条公切线
（4）两圆内切：1条公切线
（5）两圆内含：0条公切线