压轴题02 均值不等式（7大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

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压轴题型一： 三元型
1．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
5．已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最大值是D．的最大值是
压轴题型二： 因式分解型 ·
1．若，且，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为16D．没有最小值
2．已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．以上答案都不对
3．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
4．若、、均大于0，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
压轴题型三： 代数换元型
1．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
4．已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．设正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型四： 三角换元型
1．已知实数满足，则最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
2．已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为
A．2B．4C．D．
3．已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
4．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正数满足，则的最小值为 ．
压轴题型五： 二元二次裂项型
1．已知为正实数，则的最大值是
A．B．C．D．
2．若a，b均为正实数，则的最大值为( )
A．23B．C．2D．2
3．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 .
5．若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
压轴题型六： 构造函数型
1．设a，b，c为ABC中的三边长，且a+b+c=1，则a2+b2+c2+4abc的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
4．已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知正数满足，则的取值范围是 .
压轴题型七：均值法比大小
1．实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ．
一、基础不等式原理
二元基本不等式的几个变形：
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
2.n元均值不等式
设均大于零，则记，，
，，
则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.
二、基本原理简化不等式
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
三、均值不等遵循的原则
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
√满分技法
一般地，多元代数式的最值，处理这类问题的基本策略是降元处理，降元时要结合目标代数式的结构特点，找出能整体处理的部分，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
1.从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
2.从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
3.从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件
√满分技法
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
√满分技法
形如（a，b）==t，求型，则可以换元反解代换。令x=a+m。Y=b+n反解
√满分技法
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，
3.齐次分式同除型，可以代数换元，
√满分技法
常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性
涉及到比较多的对数比大小，可以借助均值不等式和对数运算来比大小