2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市三县九年级上学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市三县九年级上学期期末联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题3分，满分30分）
1. 下列关于x的方程是一元二次方程的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、是分式方程，不符合题意；
B、是一元三次方程，不符合题意；
C、中若时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A：图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形；
B：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
C：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
D：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
故选：A．
3. 把拋物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵拋物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴得到的抛物线的解析式为．
故选：B．
4. 如图，将绕点B逆时针旋转到的位置，连接．若点在上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由旋转的性质可知，，，，
，，
，
，
，
故选：C．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故选：C．
6. 在中，，，，M是的中点，以点C为圆心，2为半径作，则（ ）
A. 点在上B. 点在外
C. 点在内D. 点与的位置关系不能确定
【答案】B
【解析】，，，
，
M是的中点，
，
以点C为圆心，2为半径作，且，
点在外，
故选：B．
7. 某种商品原来每件售价为512元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为392元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得方程为：，
故选：C．
8. 如图，在圆内接四边形中，，连接，，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆内接四边形中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
9. 如图，四边形中，，，，若连接，且，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长至点，使得，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，，
过点作于点，
，
，
四边形的面积，
故选：D．
10. 如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出以下结论：①；②；③；④若Ax1,y1、Bx2,y2（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】抛物线对称轴为，开口向下，
且,则，
，
故①正确；
抛物线过点，又对称轴为，
抛物线还过点，
，
故②正确；
对称轴，
，即，
抛物线过点，
，即，
故③错误；
抛物线顶点在第一象限，，
抛物线开口向下，即点离对称轴越近，函数值越大，
Ax1,y1、Bx2,y2（其中）是抛物线上的两点，且，
当，在对称轴两侧时，有，
即，
当，同在对称轴右侧时，有，
即，
即④正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】根据题意，可得，解得且，
即自变量的取值范围是且．
故答案为：且．
12. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高为_____．
【答案】
【解析】由题知，底面圆的周长为，
底面圆的直径为，半径为，
这个圆锥的高为，
故答案为：．
13. 若是关于x的方程的解，则的值为_____．
【答案】
【解析】把代入方程得，即，
∴，
故答案为：．
14. 如图，，，分别与⊙相切于E，F，G三点，若，，，则线段的值为_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，，分别与⊙相切于E，F，G三点，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
即线段的值为．
故答案为：
15. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长______米．
【答案】
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为：，
令，得，
故答案为：．
16. 的直径垂直于弦，垂足为E，，，F为上一点，，则的长为_____．
【答案】或
【解析】根据题意画图如下：
连接，
的直径垂直于弦，垂足为E，
，，
，
，，
，
，
，，，
F为上一点，，
，
当、在点同侧时，，
当、在点异侧时，，
的长为或；
故答案为：或．
17. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为1,0．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
由题意 ,
，
∴的边长，
，
与都在第三象限，坐标为
故答案： ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18. 解方程：
（1）
（2）
解：（1）
，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，；
（2）
，，
解得，．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k值．
解：（1）有两个不相等的实数根，，
，
即，
整理得，
解得；
（2），
，
解得，
，
．
20. 某班计划从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次跳绳比赛，班主任决定用随机抽取的方式确定人选．
（1） “随机抽取2人，甲、丁恰好被抽中”是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件
（2）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是________；
（3）任意选取2名学生参加比赛，用画树状图的方法求一定有乙的概率________．
解：（1）“随机抽取2人，甲、丁恰好被抽中”是随机事件，
故选：C．
（2）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是，
故答案为：．
（3）根据题意画树状图如下：
总共有种情况，其中一定有乙的情况有种，
一定有乙的概率为．
21. 如图，在中，，以为直径作⊙交于点D，过点D作，垂足为E，延长交⊙于点F．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径．
（1）证明： 如图，连接， 则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径， ，
∴DE是的切线；
（2）解：如图，连接AD，，
则，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∵，
，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，（舍去），
∴，
即⊙的半径为．
22. 某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）请你直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（2）若该超市每天销售这种商品所获利润为750元，则销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多
解：（1）设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为，
由图知过点，，
，解得，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为；
（2）该超市每天销售这种商品所获利润为750元，
，
整理得，
解得或，
销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元，
，
销售单价应定为元．
（3）利润
，
，
当时，利润最大，最大利润为元．
即销售单价定为元时，最大利润为元．
23. 综合与实践
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F．
解决问题：
（1）四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形
（2）若，，则四边形的面积为________；
深入探究：
（3）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E、B的对应点分别为点G、H．
①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段、交于点M、N．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线直线交于点N．若，，则线段的长度为________．
解：（1）四边形是菱形，
，
于点E， 于点F，
，
，
四边形是矩形；
故选：B；
（2），，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
（3）①，理由如下：
绕点A逆时针旋转，得到，
，，，，
，
四边形菱形，
，，
为菱形的对角线，
，
，
又，，
，
，
，
，
即；
②过点A作于点Q，
当在线段上时；
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，，
，
，
四边形为正方形，
，
；
当在延长线上时；
同理可得，，，
，
故答案为：或．
24. 综合与探究
如图，抛物线与y轴交于点D，与某一次函数的图象交点为，，连接，．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点B是x轴上的动点，连接，当时，求点B的坐标；
（3）点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴正半轴的交点为M，F为抛物线对称轴上一点，则的最大值为________．
解：（1）抛物线与某一次函数的图象交点为，，
，解得，
，
当时，，
；
（2），，，，
设，，，解得，
，点的坐标为或；
（3）以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，
①当、为边时，
有，且，
此时坐标为1,0，
②当为对角线、为边时，
有，且，
此时坐标为，
③当为对角线、为边时，
有，且，
作轴于点，
，
，
，，
，
，，
，
此时坐标为，
综上所述，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为1,0或或；
（4），
对称轴为直线，
，点与点关于直线对称，
，
点关于直线对称的点为点，且F为抛物线对称轴上一点，
连接，，有，
当、、三点共线时，最大，
即时取最大值，
，
则的最大值为，
故答案为：．