2023~2024学年广东省清远市高二上期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省清远市高二上期末教学质量检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册至第二册第四章．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为2，两直线垂直，
故直线的斜率，即.
故选：D．
2. 椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（ ）
A. 2B. 6C. 8D. 16
【答案】D
【解析】椭圆中，所以，
由椭圆的定义可得，
又，所以，即点到另一个焦点的距离是16．
故选：D．
3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】因为数列为等差数列，，所以，即．
因为，所以，代入，求得，
故选：C．
4. 如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A
5. 2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，
显然为相互独立事件，
则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，
所求概率．
故选：A．
6. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等腰直角三角形
B. ，则四点共面
C. 四边形是矩形
D. 若与分别是异面直线与的方向向量，则与所成角的余弦值为
【答案】B
【解析】对于A选项，，则有，
又，则为钝角，为等腰三角形，A错误；
对于B选项，若要四点共面，则存在，使得成立，且，又，，
则，解得，，
为的中点，则四点共面，B正确．
对于C选项，，
，
，
所以四边形是平行四边形．
，
与不垂直．
四边形不是矩形，C不正确；
对于D选项，，
异面直线与所成角的余弦值为，故D不正确．
故选：B
7. 如图,在一个7行8列的数表中,第行第列的元素为，其中，则该数表中所有无重复的元素之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知有，
故在7行8列的数表中，只有第1行第1列及第7行第8列两数是没有重复的，
则．
故选：B．
8. 如图，已知抛物线的焦点为为抛物线上两点，且有，直线与准线分别交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，
又，
则，
设直线，
把代入，可得，
，
令，则，同理，
则，
，
，
故选：D．
二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知数列满足，则下列结论成立的有（ ）
A. 数列为等差数列B. 数列为递增数列
C. D. 数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
求得，即，所以为首项为1，公差为1的等差数列，故选项A正确，选项C正确．
对于B选项，因为，所以数列为递减数列，选项B错误．
对于选项，因为，
所以数列的前项和为：
，选项D正确．
故选：ACD．
10. 已知圆心为的圆经过，则（ ）
A. 圆的方程为
B. 圆上一点到点的距离为，则
C. 圆心为，半径为的圆与圆有公共点，则
D. 过点的直线被圆截得的弦长为6，则直线的方程为
【答案】AC
【解析】对于选项，圆心为的圆经过，则半径为5，则圆的方程为，故选项A正确．
对于选项，圆心与点距离为，
则圆上点到点的距离满足，故选项错误．
对于选项，点到圆心的距离为，
因为圆与圆有公共点，所以，
则，故选项C正确．
对于选项，由公式，可知要使得直线被圆截得的弦长为6，
则圆心到直线的距离为4．①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为4，满足题意；
②当过点的直线的斜率为时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为4，则，得，
则直线的方程为．所以直线的方程为及，
故选项D错误．
故选：AC．
11. 如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，的值最小
B. 当时，
C. 若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆
D. 直线与平面所成角的正弦值是
【答案】ABC
【解析】对于A选项，建立如图1所示的空间直角坐标系，

设，则．
设，则．
，
，
，
当，即时，的值最小，故A正确．
对于B选项，，
，
，故B正确．
对于C选项，如图2所示构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥，
使直线与平面夹角为，则截口为点的轨迹图形，
由圆锥曲线定义可知，点的轨迹为椭圆，故C正确．
对于D选项，直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．
是与平面所成的角，又，则，故D不正确．
故选：ABC．

12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点的内切圆与边相切于点．若，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 若直线与双曲线有且仅有1个公共点，则
C. 的最小值为12
D. 的内切圆的圆心在定直线上
【答案】ACD
【解析】因为的内切圆与边相切于点，如图，
由切线长定理可知，
所以
，
所以，则双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，故A正确．对于B选项，由消去并化简得
注意到当时，方程有唯一解，即此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，所以B选项错误．对于选项，当垂直于轴时，是通径，由双曲线性质可知，通径最短，所以的最小值为，C选项正确．对于选项，如图，
设的内切圆圆心为，半径为，
设与圆分别相切于点，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
所以轴，则圆心在直线上，故选项D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 魔方，又叫鲁比克方块，是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋同被称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方（如图所示）可以看作是将一个表面涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开形成27个小正方体．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这27个小正方体中任取1个，则抽到的是中心方块或边角方块的概率为__________．
【答案】
【解析】沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个，
所以抽到的是中心方块或边角方块的概率是．
故答案为：．
14. 设点到直线的距离为，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】直线过定点，
则垂直于直线时，有最大值，为，
故答案为：．
15. 如图，四面体中，，，，，，分别是，的中点，则__________．
【答案】
【解析】设，，，
,,故答案为：
16. 如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为180米，水平方向上塔身最窄处的半径为30米，最高处塔口半径为米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图，以冷却塔的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，
设该双曲线的标准方程为，
则由题知，点的横坐标为，点的横坐标分别为，
设点的坐标分别为，
所以，解得，
因为冷却塔总高度为180米，所以，所以，
故所求双曲线的离心率．
故答案为：．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知数列的前项和为，．
（1）求的通项公式．
（2）是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，，
当时，，
又符合，
所以的通项公式为.
（2）存在，理由如下：
设存在，使，，成等比，则
所以：解得：或（舍去）.
所以：可使，，成等比.
18. 已知圆经过点，且与轴相切．
（1）求圆的方程；
（2）过点且与直线平行的光线经轴反射后与圆相交于，求的面积．
解：（1）设圆的方程为，
由题可得
则，,
所以
故圆的方程为．
（2）设过点且与直线平行的光线所在直线为，
则斜率为，故直线的方程为，
设经轴反射后为直线，斜率，
则直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，
则，
故的面积为．
19. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，为上一点，且平面，到的距离为．
（1）证明：．
（2）已知点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面，、平面，则，，
因为，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则，
因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，则，
因为，，则为中点，
又因为，则.
（2）由（1）知，因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
由（1）可知，，则点到的距离为，解得，
则，因为，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设平面的法向量为，则，，
则，取，可得，
所以，.
因此，平面与平面夹角的余弦值是．
20. 人类的四种血型与基因类型的对应为型的基因类型为型的基因类型为或型的基因类型为或型的基因类型为．其中和是显性基因，是隐性基因，且各基因类型是等可能的．
（1）若甲的父亲血型是型，母亲的血型基因类型为，求甲血型是型的概率；
（2）若乙的血型基因类型为，其母亲血型是型，求其父亲血型是型的概率．
解：（1）若甲的父亲血型是型（基因类型为或），母亲的基因类型为，
则甲的血型基因类型可能结果为，共8种，
则甲的血型是型（基因类型为或），共有3种，
则其概率为．
（2）若乙的母亲血型是型（基因类型为或），则父母血型的基因类型组合有
从上表可知，乙的血型基因类型为，共有16种，
其中父亲血型为型的有6种，
故乙的血型基因类型为，其母亲血型是型，
其父亲血型是型的概率为．
21. 已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）已知数列，求的取值范围．
解：（1）由题意有，
则，
即，又，
所以为以为首项，公差为的等差数列，
则，
的通项公式为．
（2）由（1）知，则数列．
令，
则，①
②
①-②得，
即．
，
则有恒成立，解得或
，
的取值范围为．
22. 已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）证明：为定值．
（3）求的取值范围．
解：（1）由题意知：，又，解得：，所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图：
由题意，直线不垂直于坐标轴，可设为：，.
联立方程组：，消去并整理得：.
设，，则
，.
由得：，
而，同理可得：.
因此，
所以为定值.
（3）因为.
又,
因为，所以，则.
所以的取值范围是.
父
母