2023~2024学年陕西省西安市区县联考高二上期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年陕西省西安市区县联考高二上期末数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：
1. 若A，B，当取最小值时，x的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为A，B，
所以，
则 ，
当 时，取最小值，
故选：C
2. 如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意得,
结合
可得，
故，
故选：C
3. 已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图所示：
先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点，
利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心，
从而，即，
不妨设垂心，坐标原点为，
则，
所以有，即垂心的坐标满足,
又四点共面，
从而由四点共面的充要条件可知，
，
从而，结合，
解得.
故选：B.
4. 已知直线和直线,下列说法不正确的是（ ）
A. 始终过定点B. 若，则或
C. 若，则或2D. 当时，始终不过第三象限
【答案】B
【解析】，，，即始终过定点，故A正确.
若，当则与重合，故B错误
.或，故C正确.
当时，直线始终过点，斜率负，不会过第三象限，故D正确.
故选：B.
5. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】圆，
圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：B
6. 过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆的动点为，过作圆的切线，切点分别为，
则过的圆是以直径的圆，该圆的方程为：.
由可得的直线方程为：.
原点到直线的距离为，
故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，
故选：A.
7. 已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（ ）
A. 离心率为
B. 焦点为
C. 长轴长为4
D. 椭圆上的点的横坐标取值范围为
【答案】C
【解析】由椭圆方程，可知，，所以，
所以，故A错误；
由方程可知，焦点在x轴上，故焦点坐标为，故B错误；
长轴长为，故C正确；
因焦点在x轴上，所以椭圆上的点的横坐标的取值范围是，即为，故D错误.
故选：C.
8. 意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中,记载有数列,.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前100项和为（ ）
A. 100B. 99C. 67D. 66
【答案】C
【解析】因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1，偶数除以2所得的余数都是0，
因为，且，所以为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，，
所以，，，，，，，，，，，，所以数列周期数列，周期为3，
所以数列的前100项和为：.
故选：C.
9. 设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不是充分也不是必要条件
【答案】A
【解析】数列中，对任意，，
则，
所以数列为递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，
即，所以，，
如数列不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
10. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为
所以
因为在上是单调减函数
所以
即
所以
当时， 恒成立
当 时，
令 ，可知双刀函数，在 上为增函数，所以
即
所以选C
11. 若函数，则（ ）
A. 函数只有极大值没有极小值
B. 函数只有最大值没有最小值
C. 函数只有极小值没有极大值
D. 函数只有最小值没有最大值
【答案】CD
【解析】，单调递增，由，
则.
∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.
故选：CD.
12. 设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的图象关于直线对称，
∴的最小值是点到直线的最短距离的2倍，
设曲线上斜率为1的切线为，
∵，由得，
即切点为（，2），
∴ ，
∴切线到直线的距离，
∴两点间的最短距离为2=．
故选:B．
二、填空题
13. 在四棱锥中,面,四边形为直角梯形,,，，则平面与平面夹角的余弦值为______，异面直线与的距离为______．
【答案】；
【解析】第一空，
∵⊥面，，面，
∴，．
又∵，∴，
∴，，两两垂直．
∴以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
，，，，
设，分别为平面与平面的法向量，则
，即，令，取，
，即，令，取，
则，
设平面与平面的夹角为θ，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值为．
第二空，
如图，取中点M，连接，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵面，面，
∴面，
∴与的距离为到面的距离，
即点C到面的距离．
设点C到面的距离为h，
，，
由，
得，
解得，
∴异面直线与的距离为．
故答案为：，.
14. 圆的圆心到直线的距离______.
【答案】3
【解析】由已知可得圆的标准方程为，圆心为，
所以圆心到直线的距离，
故答案为：3.
15. 已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，
且圆的圆心坐标为，半径为.
因为，圆下方与轴交点坐标为，
取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.
因为、分别为和的中点，
所以，，所以，
又因为，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.
所以的最小值即为的最小值.
因为N为抛物线上的任意一点，设，，
因为，
则，
当时，，
即的最小值为.
故答案为：.
16. 定义在R上偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为____.
【答案】
【解析】令，则，
所以在R上递减，
又，则，
即，
所以是以4为周期的周期函数，
又，则，
所以，则，
所以不等式的解集为，故答案为：
三、解答题：
17. 如图，三棱柱的侧棱底面，，E是棱上的动点，F是的中点，，，．
（1）当是棱的中点时，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）取的中点，连接、．、分别是、的中点，且，在三棱柱中，且，为的中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；
（2）以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、，，
设，平面的一个法向量为，则，
由，得，令，可得，
易得平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为，即
整理得，
，解得.
因此，在棱上存在点，使得二面角的余弦值是，此时．
18. 已知圆心为的圆经过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知在圆C外，求的取值范围.
解：（1）因为，，成等差数列，所以①，
又因为，，成等差数列，所以，得②，
由①②得，．所以，.
（2），.
.
.
令，则，
则，
所以，当时，，当时，
所以的最小值为.
又恒成立，所以，．
21. 已知函数．
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）求函数在区间上的最值．
解：（1）．
令，得或；令，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
所以的极大值是，的极小值是．
（2）因为，
由（1）知，在区间上，有极小值，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．