2025届广西省示范性高中高三上12月调研数学试卷（解析版）

这是一份2025届广西省示范性高中高三上12月调研数学试卷（解析版），共16页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D. i
【答案】D
【解析】复数，
则共轭复数.
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可得，故，
又因为，
所以.
故选：D
3. 已知向量不平行，向量与平行，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于与平行，
故存在实数，使得，
由于向量不平行，故，解得，
故选：C
4. 少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 样本的众数为65B. 样本的第80百分位数为72.5
C. 样本的平均值为67.5D. 该校学生中低于的学生大约为1000人
【答案】B
【解析】由频率分布直方图可得众数为，A错误；
平均数为，C错误；
因为体重位于的频率分别为，
因为，
所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数，
则，
所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；
样本中低于的学生的频率为，
所以该校学生中低于的学生大约为，D错误；
故选：B.
5. 已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知圆和，
可知，，，，且，
又动圆与圆内切，同时与圆外切，
则，，
所以，
所以动点到两个定点，的距离之和为定值，
即满足椭圆的定义，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且长轴长度，焦距，即，，
所以，
椭圆方程为，
故选：C
6. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为.
故选：B.
7. 已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】与的定义域均为，，，
与均为定义在上的偶函数，
又与的图象恰有一个交点，交点必在轴上，
，.
当时，设，
令，则或，
令，则，在上单调递增，
又，有唯一解，
与图象有唯一交点，横坐标为，满足题意；
综上所述：.
故选：A.
8. 甲、乙两人同时从地出发沿同一路线到达B地，所用的时间分别为，，甲有一半的时间以速度行走，另一半的时间以速度行走；乙有一半的路程以速度行走，另一半的路程以速度行走，且，则（ ）
A. B.
C. D. 的大小不能确定
【答案】B
【解析】设地到B地相距,依题意，① ，② ，
由①,可得，由②,可得.
则，
因，且，故，即.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论成立的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 曲线关于直线对称
C. 点是曲线的对称中心
D. 在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】对于A, 的最小正周期为,故A正确，
对于B，，故y=fx不关于直线对称，B错误，
对于C，，故是曲线y=fx的对称中心，C正确，
对于D，当x∈0,π时，,故D错误，
故选：AC
10. 已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A.
B.
C. 以AF为直径的圆与y轴相切
D. l上存在点E，使得为等边三角形
【答案】BC
【解析】易知F1,0，准线的方程为x=-1，则直线经过焦点.
设Ax1,y1,Bx2,y2，
由整理得，则，
根据抛物线的定义可知，，故A错误；
如图，过作，垂足为，
则，又，
所以，所以，故B正确；
以为直径的圆的半径为，
易知四边形为直角梯形，其中位线长为，
所以为直径的圆与相切，故C正确；
当为等边三角形时，，
由抛物线的定义可知，所以，这与为等边三角形矛盾，
所以上不存在点，使得为等边三角形，故D错误.
故选：BC.
11. 设函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 曲线是轴对称图形
B. 函数有极大值为
C. 若，则
D. 若，且，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，故关于对称，A正确，
对于B，，易知，
所以，在区间上，则在上单调递减，
在区间上，则在上单调递增，
于在处取得极小值，即极小值为，故B错误，
对于C,由，则根据对称可得，，
由选项B可知，故C正确，
对于D，由于，且，则，结合在单调递增，故，故D正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品率为，第二，三台为新车床加工的次品率均为，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的，，.任取一个零件，计算它是次品的概率为______.
【答案】
【解析】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，
则，且，，两两互斥，
根据题意得，
，
由全概率公式得
故任取一个零件，它是次品的概率为.
故答案为：.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线右支上的点满足，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】由题意知：，，，
，，，
，解得：；
将代入双曲线方程得：，，，
双曲线离心率.
故答案为：.
14. 设，函数，当时，函数有______个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为______．
【答案】①. ②.
【解析】当时，，
当时，恒成立，
设，令，可解得，
令，即，解得或，
即当时，函数有个零点；
当时，由可知，
当时，恒成立，
所以令，，即，方程有个解，
即当时，函数有个零点，不成立；
当时，当时在上单调递增，在单调递减，
且时，，
此时函数图象如图所示，
令，解得或，
即或，
又有且只有一解，则只能有两个解，
即，
解得，
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
解：（1）因为，所以.
根据正弦定理，得，
因为，所以.又，所以.
（2）在中，由已知，
因为
由余弦定理可得，即7，
即，又,所以.
所以的周长周长为.
16. 随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示：
（1）根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
（2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
解：（1）根据题意，得到列联表为：
零假设为：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联.
根据列联表中数据，可以求得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.
（2）从男生中抽取：（人），从女生中抽取：（人）.
的所有可能取值为，，，，
，
，
的分布列为：
所以
17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，且．
（1）求证：；
（2）若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：由于，
故
由于三棱柱为直三棱柱，故，
因此，
又，故，
又平面，
故平面，平面，故
（2）解：由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
,
则
设平面的法向量为，则，
令，则，
平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为，
则,
18. 已知数列的前n项和．若，且数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：数列的前n项和；
（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围．
（1）证明：由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
（3）解：若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．
19. 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线y=fx，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）．
如果是区间上的连续函数，并且，
那么
（1）求；
（2）设函数．
①若恒成立，求实数的取值范围；
②数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．
（1）解：由于，
故.
（2）由，
①解：由恒成立，得恒成立．
令，则．
当时，，此时在,上单调递增，
又，所以在,恒成立．
当时，当时，有，此时在上单调递减，在单调递增，
又，在恒成立，与矛盾．
综上所述，．
②证明：由，可得，所以．
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故，
所以，
由题意可得是由曲线，两直线，与轴所围成的曲边梯形的面积．
而表示图一阴影所示各矩形的面积和，
所以，不等式的左边成立．
表示图二阴影所示各矩形的面积和，
所以，不等式的右边成立．
故得证.
男
女
合计
了解
150
240
不了解
90
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男
女
合计
了解
150
90
240
不了解
70
90
160
合计
220
180
400