专题02 基本不等式求最值（常考7大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc31187" 题型01 配凑法 PAGEREF _Tc31187 \h 1
\l "_Tc25475" 题型02 常数代换法 PAGEREF _Tc25475 \h 2
\l "_Tc4891" 题型03 变形后常数代换法 PAGEREF _Tc4891 \h 3
\l "_Tc8779" 题型04 消元法 PAGEREF _Tc8779 \h 3
\l "_Tc12036" 题型05 齐次化求最值 PAGEREF _Tc12036 \h 4
\l "_Tc23915" 题型06 双换元法 PAGEREF _Tc23915 \h 4
\l "_Tc2608" 题型07 与其他知识点交汇 PAGEREF _Tc2608 \h 5
题型01 配凑法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（ ）
A．命题与均为真命题
B．命题与均为真命题
C．命题与均为真命题
D．命题与均为真命题
3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．C．6D．
题型02 常数代换法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（ ）
A．20B．12C．16D．25
2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．9
3．（24-25高三上·重庆·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．7B．9C．10D．12
4．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．5B．2C．9D．8
题型03 变形后常数代换法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设，若，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．D．18
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．20B．25C．30D．35
3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．13B．C．14D．
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．12B．C．16D．
题型04 消元法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．8
2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．（24-25高三上·山东枣庄·期中）已知，为正实数且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
题型05 齐次化求最值
【解题规律·提分快招】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A．B．2C．4D．6
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 .
题型06 双换元法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足且，则的最小值为
4．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
题型07 与其他知识点交汇
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．（24-25高三上·青海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多选题
3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．的最小值是
三、填空题
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列的前项和为，当取最小值时， .
5．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ．
6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
2．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（ ）
A．12B．9C．6D．3
7．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．
9．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
10．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024高三·全国·专题练习）设均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
14．（2024高三·全国·专题练习）对任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
17．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ．
18．（2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 .
19．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则 （用x表示），当的面积最大时， ．
20．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ．
21．（2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 .
利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1）求
（2）求
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）