专题05 导数中的隐零点问题（3大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9191" 题型01 利用隐零点解决最值、极值 PAGEREF _Tc9191 \h 1
\l "_Tc24865" 题型02 利用隐零点判断零点个数 PAGEREF _Tc24865 \h 6
\l "_Tc12466" 题型03 利用隐零点证明不等式 PAGEREF _Tc12466 \h 14
题型01 利用隐零点解决最值、极值
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）已知 表示不超过 的最大整数，若 为函数的极值点，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导后，构造，分别求出，由零点存在定理得到零点范围，再结合题意求出结果即可.
【详解】由题意可得，
令，
则，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以为函数的极值点，
所以，
所以，
故选：B.
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断.
【详解】因为，
当时，，所以，没有零点，故A错误；
当时与在上单调递增，所以在上单调递增，
，要使有零点，则需，
即，令，则在上单调递减，
且，，，
所以存在使得，
所以有零点的充要条件为，
所以使有零点的一个充分条件是.
故选：D
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导后，令，则只需要有两个不同的零点，利用导数求得在上单调递减，在上单调递增，则，得，再结合零点存在性定理可判断出在和上各有一个零点，从而可求得结果.
【详解】的定义域是，，令，
所以，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
要使恰有两个极值点，则，解得，
此时，
所以在上有唯一的零点，
令，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，
所以，
所以在上有唯一的零点，
综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号，
所以a的取值范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决函数极值点问题，解题的关键是将问题转化为有两个不同的零点，结合零点存在性定理分析，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】构造，，其中，二次求导，并得到，分和两种情况，结合函数单调性和最值情况，得到答案.
【详解】，，显然，
，注意到，
令gx=f′x，则，
其中，
当，即时，
gx=f′x在上单调递增，故，
故在上单调递增，故恒成立，满足要求，
当时，，又趋向于时，趋向于，
由零点存在性定理得使得，
当时，，即gx=f′x单调递减，
又，故时，，
故在上单调递减，又，在上，，
不合要求，舍去，
故的最大值为
故选：A
【点睛】方法点睛：于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
二、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，且，函数的值域为 .
【答案】
【分析】对求导，构造函数，利用导数判断的单调性，根据零点存在性定理得到的零点，从而确定的单调性，求解即可.
【详解】，由可知，
令，，则，
所以在内单调递增，
又，，
所以在内存在唯一零点，
且，又，所以，
当时，，即，则在区间上单调递增，
由，可得，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
6．（2024·青海·模拟预测）已知函数的最小值为，则 .
【答案】/0.25
【分析】利用求导研究函数单调性得出函数得最小值满足，根据题意推得，代入所求式整理计算即得.
【详解】由可得，，
令，则，所以即在上单调递增.
因为，，则存在，使得，即（*）.
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
故.又的最小值为，则有，代入（*）得，.
故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数和零点存在定理研究函数的最值点，属于较难题.
解题关键在于在得到导函数f′x的单调性后，利用取值不能得到f′x的取正取负的区间，需要利用零点存在定理设出，确定的单调区间，推得即得.
题型02 利用隐零点判断零点个数
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围.
【详解】已知函数，函数的定义域为
，
当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点；
当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
此时最小值为，
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，又
；
，
由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点．
所以有两个零点，a的取值范围为；
故选:A．
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】利用导数研究函数的单调性，令，则是的零点，结合零点存在性定理确定范围，然后结合零点存在性定理及的单调性判断零点个数．
【详解】由题设，
∴当或时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
令，则，即是的零点，
∵在上单调递增，∴在上单调递增，
∵，，，
∴在上有唯一零点，则．
∵，
∴，
∴结合的单调性可知，共有3个零点，分别在上各有1个零点．
故选：D．
二、解答题
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.
(1)求在区间内的极大值；
(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．
，
令，则 (【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求解极大值.
（2）由可构造，讨论单调性和极值，证明零点个数的结论.
【详解】（1）由题得，
当时，f′x>0，当时，f′x0，hx在区间内单调递增；
当时，，即h′x0时，，当时，，
所以，所以．
所以，
取，则；
又，所以，
即，故；又，
所以在区间内各恰有唯一的零点，
故恰有三个零点，从而恰有三个零点．
若选择条件②：，
令，得．
因为，所以，
因此在上单调递增，在区间内单调递减，在上单调递增．
同选择条件①，取，则，
取；
又因为，
所以，
即，又．
所以在区间内各恰有唯一的零点，
故恰有三个零点，从而恰有三个零点．
【点睛】方法点睛：先根据fx的零点即是等于的零点个数，求出导函数得出函数的单调性得出函数值范围，应用零点存在定理即可证明函数有3个零点.
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简:
（1）要么消除最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到最值式的估计.
一、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
二、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。