（人教版）数学八年级下册期末复习训练专题 二次根式求值的常用方法 （2份，原卷版+解析版）

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题型一 利用二次根式的性质求值
【例题1】（2022春•黄冈期中）已知等式成立，化简|x﹣6|的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再将x代入化简即可求值．
【解答】解：由题意得，，
∴3＜x≤5，
∴|x﹣6|
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋•海陵区校级期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．
【分析】先根据数轴判断b，b+c，c﹣a的正负性，再根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【解答】解：由题意可知：
∵a＜c，b＜0，c＞0，|b|＞|c|，
∴b+c＜0，c﹣a＞0，
∴
＝|b|﹣|b+c|﹣|c﹣a|
＝﹣b+（b+c）﹣（c﹣a）
＝﹣b+b+c﹣c+a
＝a，
【点评】本题主要考查了数轴和二次根式，理解题意掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋•农安县期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．
【分析】先根据数轴判断a，b，c的正负数，再根据绝对值的意义化简求解．
【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴
＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，绝对值的化简是解题的关键．
【变式1-3】先化简，再求值：，其中．
【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，再把m，n的值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：



，
∵，
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3．
∴原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-4】（2022秋•如东县期末）x，y为实数，且，化简：．
【分析】先根据、有意义的条件可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解可求x＝1，再把x＝1代入y3中，易求
y＜3，从而可对所求式子化简，并合并即可．
【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，
∴x≥1，x≤1，
∴x＝1，
又∵y3，
∴y＜3，
∴|y﹣3|3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值．解题的关键是注意被开方式是≥0的．
【变式1-5】（2022秋•崇川区校级月考）已知：，求的值．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，以此即可得到结果．
【解答】解：由可得，
，
∴，
∴y＞2，
∴


＝﹣1+5﹣2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出，y＞2是解题关键．
【变式1-6】（2021春•睢县期中）已知a、b满足0，求2a（）
【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得：，
解得：，
故2a（）
＝2×（﹣1）×（）
＝﹣2×（）
＝﹣2×3
＝﹣6．
【点评】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键．
【变式1-7】（2021秋•金牛区校级月考）若等式•成立，试化简：|x﹣4||x﹣2|．
【分析】根据题意求出x的取值范围，根据完全平方公式和|a|化简，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：根据题意得：3x+1≥0，2﹣x≥0，
∴x≤2，
∴x﹣4＜0，x﹣2≤0，
∴原式＝|x﹣4||x﹣2|
＝|x﹣4|+|3x+1|+|x﹣2|
＝4﹣x+3x+1+2﹣x
＝x+7．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握|a|是解题的关键．
【变式1-8】（2022春•藁城区校级期中）求代数式a的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2022．
【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；
（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
原式＝a，
∵a＝1011，
∴1﹣a＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，
故答案为：小亮；
（2）原式＝a+2，
∵a＝﹣2022，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）
＝a+6﹣2a
＝6﹣a
＝6﹣（﹣2022）
＝6+2022
＝2028．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握利用完全平方公式分解因式的技巧是解题关键．
题型二 化简后直接代入求值
【例题2】（2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值：，其中x，y．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解答】解：原式•（）2
＝（）•（）
＝x﹣y，
当x3﹣2，y3+2时，
原式＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：，其中：．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当时，原式＝4×（1）﹣3＝44﹣3＝41．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式2-2】（2022春•谷城县期末）已知x＝2，求代数式（7+4）x2+（2）x﹣1的值
【分析】先求出x2的值，代入后先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：∵x＝2，
∴x2＝（2）2＝4﹣43＝7﹣4，
∴（7+4）x2+（2）x﹣1
＝（7+4）×（7﹣4）+（2）×（2）﹣1
＝49﹣48+42231
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式2-3】（2022春•范县期中）先化简，再求值．
（6x）﹣（4y），其中x，y．
【分析】首先把二次根式进行化简，然后再去括号合并同类二次根式，再代入xy的值即可．
【解答】解：原式＝（63）﹣（46），
＝6346，
，
当x，y时，xy1，
则原式＝﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确化简二次根式．
【变式2-4】（2021春•连山区期中）给出以下式子：（），先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值．
【分析】先算括号里面的减法，再根据发送到除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为2，﹣2，﹣1，取x＝2+2，再代入求出答案即可．
【解答】解：（）
＝[]•
＝（）•
•
•
，
由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，
则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，
∴当时
原式．
【点评】本题考查了分式和二次根式的化简求值，能灵活运用分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
【变式2-5】（2022秋•宝山区期中）已知a，求的值．
【分析】先利用分母有理化可得a＝2，然后再代入到化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a2，
∴a﹣2＜0，
∴

＝a+1
＝a+1
＝21+（2）
＝21+2
＝5
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式2-6】（2022春•曹县期中）先化简，再求值．（6x）﹣（4y），其中x，y＝27．
【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（6x••y）﹣（4y•6）
＝6346
，
当x、y＝27时，
原式．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【变式2-7】（2022秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：，其中a＝1，
b＝2．
【分析】利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：




，
∵a＝1，b＝2，
∴原式2．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．
【变式2-8】（2022秋•崇川区校级月考）当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【分析】求出2x＝1，再变形得出4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x﹣2022，再依次代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴2x＝1，
∴4x3﹣2025x﹣2022
＝（4x2﹣2025）x﹣2022
＝[（1）2﹣2025]x﹣2022
＝（1+2022+22025）x﹣2022
＝（﹣2+2）x﹣2022
＝2（﹣1）2022
＝（﹣1）×（1）﹣2022
＝2022﹣1﹣2022
＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
题型三 利用整体思想代入求值
【例题3】（2022•峄城区校级模拟）已知a，b，则a2+b2﹣3ab的值为（ ）
A．5B．65C．95D．135
【分析】由已知可得a﹣b＝﹣4，ab＝1，因为原式＝（a﹣b）2﹣ab，再整体代入即可．
【解答】解：∵a，b，
∴a﹣b＝﹣4，ab＝1，
∴原式＝（a﹣b）2﹣ab
＝96﹣1
＝95．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握计算法则是关键．
【变式3-1】（2021秋•邵阳县期末）若a＝1，b＝1，则代数式的值为（ ）
A．3B．±3C．5D．9
【分析】首先把所求的式子化成的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
【变式3-2】（2022春•藁城区校级月考）已知a1，b1，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可得ab＝2，a﹣b＝2，a+b＝2，再整理所求的式子，代入运算即可．
【解答】解：∵a1，b1，
∴ab＝（1）×（1）＝2，
a﹣b1﹣（1）＝2，
a+b11＝2，
∴



．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式3-3】（2022秋•澧县期末）已知x，y，4＝ ．
【分析】先分母有理化，进一步得到xy，x+y，再将4变形后代入计算即可求解．
【解答】解：∵x3+2，y3﹣2，
∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，
∴4444＝34﹣4＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，关键是求出xy，x+y的值．
【变式3-4】（2022春•渝中区校级期中）已知：x1，y1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．
【分析】先计算出x+y与xy的值，再把代数式变形得到（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后分别利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1，y1，
∴x+y＝2，xy＝2﹣1＝1，
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝8；
（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝8﹣2×1＝6．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
【变式3-5】计算求值 a，b为实数，且a+b＝﹣8，ab＝8，求ba的值．
【分析】首先由a+b＝﹣8，ab＝8，求得a2+b2＝48，然后化简二次根式，代入即可求得答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝8，
∴a，b同号，且均为负数，
∴a2+b2+2ab＝64，
∵ab＝8，
∴a2+b2＝48，
∴原式＝﹣ba（）•12．
【点评】此题考查了二次根式的化简．求得a2+b2＝48是解题的关键．
【变式3-7】已知x2﹣3x+1＝0，求的值．
【分析】把已知等式两边除以x得到x3，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣30，即x3，
∴原式

．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．也考查了代数式的变形能力．
【变式3-8】（2022秋•虹口区校级月考）已知3，则的值为 ．
【分析】根据已知可得（5）（3）＝0，从而可得5，进而可得a＝25b，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵3，
∴（）2315（）2，
∴（）2﹣215（）2＝0，
∴（5）（3）＝0，
∵30，
∴50，
∴5，
∴a＝25b，
∴


＝2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式3-9】（1）已知2，求的值
（2）已知2，求的值．
【分析】（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据题目中的式子，进行变形建立与所求式子之间的关系，注意所求的式子的结果是正值．
【解答】解：（1）∵2，
∴（）（）＝2（），
∴39+x2﹣15﹣x2＝2（），
∴24＝2（），
∴12；
（2）∵2，
∴（）2＝4，
∴，
∴，
∴（）244+2×20＝84，
∴．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答此类问题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
题型四 利用二次根式的整数部分和小数部分求值
【例题4】已知a，b为实数，m，n分别表示5的整数部分和小数部分，且am+bn＝0，求代数式的值．
【分析】根据已知首先求出m，n的值，进而化简原式得出2a+3b＝0，b＝0，求出即可．
【解答】解：∵m，n分别表示5的整数部分和小数部分，
∴m＝2，n＝52＝3，
∴am+bn＝a×2+（3）b＝2a+（3）b＝0，
∴
∴．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的根据是求出m，n的值．
【变式4-1】（2021秋•普陀区校级月考）如果5和2小数部分分别为a，b，那么2＝ ．
【分析】先估算，进而求得a、b的值，再代值计算便可．
【解答】解：∵23，
∴7＜58，02＜1，
∵5和2小数部分分别为a，b，
∴a＝572，b2，
∴22＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式除法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键．
【变式4-2】（2022秋•宛城区校级月考）已知x，y．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
【分析】（1）利用分母有理化化简x和y，并将所求式变形后代入可答案；
（2）根据无理数的估算可知0＜21，3＜24，可得a和b的值，代入所求式可得答案．
【解答】解：（1）∵x2，y2，
∴x2+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝（22）2﹣3（2）（2）
＝16﹣3
＝13；
（2）∵12，
∴0＜21，3＜24，
∴a＝0，b＝231，
∴5a2021+（x﹣b）2﹣y
＝5×0+（21）2﹣（2）
＝（3﹣2）2﹣2
＝9﹣1212﹣2
＝19﹣13．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本题的关键．
【变式4-3】（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知7的小数部分是a，7的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
【分析】（1）由4＜7＜9，得出23，确定7的小数部分，可得a的值，然后确定用7的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；
（2）同理估算的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴23，
∴97＜10，4＜75，
∴7的整数部分是9，小数部分a7﹣92，7的小数部分是74＝3，
∴a2，b＝3，
∴a+b2+31；
（2）∵1＜3＜4，
∴12，
∴6＜57，1＜32，
∴a＝6，b＝561，c＝1，d＝31＝2，
∴ab﹣cd＝6（1）﹣1×（2）＝66﹣278．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数或的范围入手．
【变式4-4】（2022秋•古田县期中）已知|b+3|＝b+3，x为的整数部分，y为的小数部分．求2x﹣3y的值．
【分析】由|b+3|＝b+3，可得a+b＝33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值，代入计算即可．
【解答】解：由|b+3|＝b+3，可得a+b＝33，
∵56，x为的整数部分，y为的小数部分，
∴x＝5，y5，
∴2x﹣3y＝10﹣3（5）＝25﹣3，
答：2x﹣3y的值为25﹣3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的意义是解决问题的关键．
【变式4-5】（2022春•大观区校级期末）阅读下列材料：
∵，即12，
∴的整数部分为1，小数部分为1．
请根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2的值．
（3）已知：10a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值．
【分析】（1）估算的大小即可；
（2）估算无理数和的大小，进而确定m，n的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数的大小，进而确定10的大小，确定a，b的值即可．
【解答】解：（1）∵，即34，
∴的整数部分是3，小数部分是3，
故答案为：3，3；
（2）∵23，45，
∴m2，n＝4，
∴2m+n﹣2
＝2（2）+4﹣2
＝24+4﹣2
＝0；
（3）∵56，
∴15＜1016，
∴10的整数部分是15，小数部分是10155，
∵10a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
∴a＝15，b5．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
【变式4-6】（2022秋•西安月考）观察：因为，即23，所以的整数部分为2，小数部分为2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[]＝2．按此规定，那么[1]的值为 ．
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，|c|，求c（a﹣b﹣6）+12的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，进而确定1的大小即可；
（2）估算无理数的大小，确定a、b的值，再根据绝对值的定义得出c的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵，即34，
∴41＜5，
∴1的整数部分为4，
即[1]＝4，
故答案为：4；
（2）∵，即34，
∴的整数部分a＝3，小数部分b3，
∵|c|，
∴c＝±，
当a＝3，b3，c时，
c（a﹣b﹣6）+12（33﹣6）+12
＝﹣11+12
＝1；
当a＝3，b3，c时，
c（a﹣b﹣6）+12（33﹣6）+12
＝11+12
＝23；
答：c（a﹣b﹣6）+12的值为1或23．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定整数部分、小数部分是正确解答的前提．